第章买氯弩 第一节不定积分的概念 本节知识 引入 本节的I、原函数的概念 本节重点 与难点 Ⅱ、不定积分的定义和几何意义 指 Ⅲ、基本积分公式 Ⅳ、不定积分的性质 后退 第1页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 1 页 Ⅰ、 原函数的概念 Ⅱ、 不定积分的定义和几何意义 Ⅲ、 基本积分公式 第一节 不定积分的概念 第四章 不定积分 后退 目录 主 页 退 出 本节知识 引入 本节目的 与要求 本节重点 与难点 本节复习 指导 Ⅳ、不定积分的性质
第一节采定积令的合 I、原函数的概念 本节 知识 一、预备知识 本节 目的 求 本节 1导基本公式和运算 重点 与难 点 本节 2微分的定义df(x)=f(x)d 指导 后退 第2页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 2 页 Ⅰ、 原函数的概念 一、预备知识 1.导基本公式和运算 2.微分的定义 df (x) = f (x)dx 第一节 不定积分的概念 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第一节采定积令的合 二、原函数的定义 本节 知识 定义:如果在区间内,可导函数F(x)的 本节 导函数为f(x),即Yx∈I,都有F(x)=f(x) 求 |或F(x)=f(x),那么函数F(x)就称为(x) 或f(x)在区间内原函数 本节 时例(Ginx)=cosx,simx是cosx的原函数 (sinx-1)=cos x, 后退 第3页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 3 页 例 (sin x) = cos x， sin x是cos x的原函数. 定义： 如果在区间I 内，可导函数F(x)的 即x I，都有F(x) = f (x) 或dF(x) = f (x)dx，那么函数F(x)就称为f (x) 导函数为 f (x)， 或 f (x)dx在区间I 内原函数. (sin x 1) = cos x, − 二、原函数的定义 第一节 不定积分的概念 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第一节采定积的念 (sinx+C)=cosx(C为任意常数) sInsin-1inx+C都是cosx的原函数 问题:()原函数是否唯一? 本节 目的 (2)若不唯一它们之间有什么联系? 求 三、原函数族定理和原函数存在定理 与难 定理1(原函数族定理): 本节 指导 如果函数f(x)有原函数,那么,它就有无 限多个原函数,并且,其中任意两个原函数的差 是常数 后退 第4页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 4 页 问题： 定理1（原函数族定理）： 如果函数 f (x) 有原函数，那么，它就有无 限多个原函数，并且，其中任意两个原函数的差 是常数。 (1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ sin x、sin x − 1、sin x + C都是cos x的原函数. (sin x C) = cos x + （C为任意常数） 三、原函数族定理和原函数存在定理 第一节 不定积分的概念 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第一节采定积∮的概合 些F(x)是f(x)的一个原函数,刑b F(x)+C是f(x)的所有原函数即原函数族, 本节 其中C为任意常数。 |问题:任何一个函数是否一定有原函数? 求 定理2(原函数存在定理): 重点 与难 点 本节 如果函数f(x)在某一区间上连续,则函数 指导 ∫(x)在该区间上的原函数一定存在。 简言之:连续函数一定有原函数 后退 第5页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 5 页 定理2（原函数存在定理）： 简言之：连续函数一定有原函数. 问题： 任何一个函数是否一定有原函数 ？ 如果函数 f (x) 在某一区间上连续，则函数 f (x) 在该区间上的原函数一定存在。 F(x)是f (x) 的 一个原函数，那么， F(x) + C是f (x) 的所有原函数即原函数族， 其中C为任意常数。 若 第一节 不定积分的概念 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第一节采定积的念 关于原函数的说明 本节 飘(1)若F(x)=f(x),则对于任意常数C, 本节 目的 求 F(x)+C都是f(x)的原函数 (2)若F(x)和G(x)都是f(x)的原函数, 点 本节 指导 则F(x)-G(x)=C (C为任意常数) 后退 士页下页返回 第6页
上页 下页 返回 第 6 页 关于原函数的说明： （1）若 F(x) = f (x) ，则对于任意常数 C ， F(x) + C都是 f (x)的原函数. （2）若 F(x) 和 G(x) 都是 f (x) 的原函数， 则 F(x) −G(x) = C （ C 为任意常数） 第一节 不定积分的概念 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第一节采定积令的合 Ⅱ、不定积分的定义和几何意义 飘一不定积分的定义 本节 目的 求 定义:如果F(x)是f(x)的一个原函数, 那么(x)的所有原函数F(x)+C叫做f(x)的 3不定积分,记为(xk 指导 Lf(dx F(x)+C 积被被 积 积 积 分 后退 意任常数 分函达量 表 变 数 第7页 式 士页下页返回
上页 下页 返回 第 7 页 一.不定积分的定义 不定积分，记为 f (x)dx. f x dx = F x + C ( ) ( ) 积 分 号 被 积 函 数 被 积 表 达 式 意 任 常 数 积 分 变 量 定义：如果 F(x)是f (x) 的一个原函数， 那么f (x) 的所有原函数 F(x) + C 叫做 f (x)的 Ⅱ、不定积分的定义和几何意义 第一节 不定积分的概念 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第一节采定积的念 例1用微分法验证下列各式: 刻(1)xdx=x3+C (2)」jsin3xtc=1 引入 cos 3x+C 3 求 本节 验证(1) Cx+cy'=x 重点 5 与难 点 .xdx==x'+c 本节 5 指导 (2).(cos 3x+C)=Sin 3x 3 sin 3xdx=-=cos 3x+C 后退 3 第8页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 8 页 例1 用微分法验证下列各式： x dx = x + C 4 5 5 1 (1) xdx = − x + C cos 3 3 1 (2) sin 3 验证 cos 3 ) 3 1 (− x + C 4 = x x dx 4 = x + C 5 5 1 (1) (2) = sin 3x sin3xdx = − cos 3x + C 3 1 ) 5 1 ( 5 x + C 第一节 不定积分的概念 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
一节采定积的合 不定积分的几何意义 本节 知识 函数∫(x)的任何一个原函数的图象称为f(x) 引入 的积分曲线 本节 目的 函数f(x)的所有原函数的图象组成f(x)的 求 本节积分曲线族y=F(x)+C.y 重点 与难 点 对于每一条积分曲线, 本专在相同的横坐标处,其斜 y=F(X 率均为f(x)因此:在每 一条积分曲线上横坐标相 0 x uE-同的点处的切线彼此平行。 士页下页返回 第9页
上页 下页 返回 第 9 页 二.不定积分的几何意义 函数 f (x)的任何一个原函数的图象称为f (x) 的积分曲线. 函 数 f (x) 的所有原函数的图象组成f (x) 的 积分曲线族 y = F(x) + C. 对于每一条积分曲线， 在相同的横坐标处，其斜 率均为 f (x)。 因此：在每 一条积分曲线上横坐标相 同的点处的切线彼此平行。 o x y y = F(x) 第一节 不定积分的概念 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第一节采定积令的合 例2设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程 引入 本节 解设曲线方程为y=∫(x), 目的 求 根据题意知=2x, 本节 重点 与难 点 即f(x)是2x的一个原函数 本节 指导 2xx=x2+C,∴f(x)=x+C, 由曲线通过点(1,2)→C=1, 后退 所求曲线方程为y=x2+1. 第10页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 10 页 例2 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. 解 设曲线方程为 y = f (x), 根据题意知 2x, dx dy = 即 f (x)是2x的一个原函数. 2 , 2 xdx = x + C ( ) , 2 f x = x + C 由曲线通过点（1，2） C = 1, 所求曲线方程为 1. 2 y = x + 第一节 不定积分的概念 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导