第二章是与微 第三节函数的微分 本节知识 引入 本节目的 与要求 本节重点 、微分的概 与难点 念 本节复习 指 微分的运算 、微分在近似计算中的应用 后退 出 第1页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 1 页 第三节 函数的微分 三、 微分在近似计算中的应用 二、 微分的运算 一、 微分的概 念 第二章 导数与微分 本节知识 引入 本节目的 与要求 本节重点 与难点 本节复习 指导 后退 目录 主 页 退 出
第三节的微 问题的提出 额实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量 设边长由x变到x+△x, △v 求 正方形面积A=x2, 重点 与难 点 ∴△A=(x0+△)2-x A 本节 指导 =2x0·△x+(△x)2 (2) (1):Ax的线性函数且为△A的主要部分; m-(2):△的高阶无穷小当△x很小时可忽略 第2页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 2 页 问题的提出 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量. 2 A = x0 x0 0 x , 设边长由x0变到x0 + x , 2 0 正方形面积 A = x 2 0 2 0 A = (x + x) − x 2 ( ) . 2 = x0 x + x (1) (2) x的线性函数,且为A的主要部分; x的高阶无穷小,当x很小时可忽略. (1): (2): x x 2 (x) x x 0 x x 0 第三节 函数的微分 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第三常的微 再例如,设函数y=x在点x处的改变量 本节 知识 为△x时,求函数的改变量△y 引入 本节 △y=(x0+△x)3-x0 目的 求 =3x2·△x+3x0(△x)2+(△x)3 本节 (2) 重点 当△很小时,(2)是△A的高阶无穷小(△x), 本节 指导 Δy≈3x2·△x.既容易计算又是较好的近似值 问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 后退 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求? 第3页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 3 页 再例如, , . 0 3 x y y x x = 为 时 求函数的改变量 设函数 在点 处的改变量 3 0 3 0 y = (x + x) − x 3 3 ( ) ( ) . 2 3 0 2 = x0 x + x x + x (1) (2) 当x很小时, 3 . 2 0 y x x (2)是x的高阶无穷小o(x), 既容易计算又是较好的近似值 问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求? 第三节 函数的微分 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第三节的微 、微分的概念 飘定义设函数y=∫(x在某区间内有定义 本节x及x0+A在这区间内如果 目的 4y=f(x+△x)-f(x)=A△x+0(△x) 成立(其中4是与A无关的常数,则称函数 与难 y=f(x)在点x可微,并且称4△为函数 点 y=f(x)在点x相应于自变量增量∧x的微分, 记作小:或(x即小 =A·△ x=0 微分小叫做函数增量y的线性主部(微分的实质) 第4页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 4 页 一、微分的概念 定义 ( ), . ( ) , ( ) , ( ), ( ) ( ) ( ) , ( ) , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 dy df x dy A x y f x x x y f x x A x A x y f x x f x A x o x x x x y f x x x x x = = = = + − = + + = 记 作 = 或 即 = 在 点 相应于自变量增量 的微分 在 点 可 微 并且称 为函数 成 立 其 中 是 与 无关的常数 则称函数 及 在这区间内 如 果 设函数 在某区间内有定义 微分dy叫做函数增量y的线性主部. (微分的实质) 第三节 函数的微分 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第三常的微 由定义知: (1)d是自变量的改变量的线性函数 引入 (2)4y-=0(△x)是比A高阶无穷小 3(3)当4≠0时,小与是等价无穷小 本节 重点 与难 △y 点 s1+0(△x)1(x→0). 本节 A·△v 指导 (4)A是与△x无关的常数但与f(x和x有关; (5)当△x很小时,y≈d(线性主部) 后退 第5页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 5 页 由定义知: (1) dy是自变量的改变量x的线性函数; (2) y − dy = o(x)是比x高阶无穷小; (3)当A 0时,dy与y是等价无穷小; dy y A x o x = + ( ) 1 → 1 (x → 0). (4) , ( ) ; A是与x无关的常数 但与f x 和x0有关 (5)当x很小时,y dy (线性主部). 第三节 函数的微分 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第三节面教的微 可导与可微的关系 本节 额|定理函数f(x)在点x可微的充要条件是函 数f(x)在点x处可导,且A=f(xn) 求 本节 证(1)必要性∵(x)在点x可微, 重点 ∴4y=A·△x+(△,∴2三A,0(△x) 与难 △y 本节 △v 指导 则lm △ 0(△x) =A+lim =A △x→0△c △x→>0△x 即函数f(x)在点x可导,且A=f(x 士页下页返回 第6页
上页 下页 返回 第 6 页 可导与可微的关系 ( ) , ( ). ( ) 0 0 0 f x x A f x f x x 数 在 点 处可导 且 = 定理 函 数 在 点 可微的充要条件是函 证 (1) 必要性 ( ) , f x 在点x0可微 y = A x + o(x), , ( ) x o x A x y = + x o x A x y x x = + → → ( ) lim lim 0 0 则 = A. ( ) , ( ). 0 x0 即函数 f x 在点 x 可导 且A = f 第三节 函数的微分 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第三节教的微 (2)充分性函数f(x)在点x0可导 本节 △y 知识 引入 △x→0△x =f(x),即=∫(xn)+a, 本节 自的从而Ay=f(x1)·△x+a(△x),:α→0(Ax→0, 求 本节 重点 =f(x0)·△x+o(△x), 与难 点 本节 函数f(x)在点x可微,且f(x)=A 删可导可微A=f(x 函数y=f(x)在任意点x的微分,称为函数的 微分,记作的或矿(x即p=f(x)Ax 士页下页返回 第7页
上页 下页 返回 第 7 页 (2) 充分性 ( ) ( ), 从而 y = f x0 x + x ( ) , = 0 + f x x y 即 ( ) , 函数f x 在点x0可导 lim ( ), 0 0 f x x y x = → → 0 (x → 0), ( ) ( ), = f x0 x + o x ( ) , ( ) . 函数 f x 在点 x0可微 且 f x0 = A . ( ). x0 可导 可微 A = f , ( ), ( ) . ( ) , dy df x dy f x x y f x x = = 微 分 记 作 或 即 函 数 在任意点 的微分 称为函数的 第三节 函数的微分 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第三节的微 例1求函数y=x3当x=2,△x=0.02时的微分 本节 飘解:d=(x2)△Ax=3x2Ax. 本节 目的 da2=3x2△xx2=0.24 求 △r=0.02 △r=0.02 本节 当通常把自变量的增量A称为自变量的微分 点 本记作,即=△x 指导 ∴四=∫(x) 小y =f(x) 即函数的微分与自变量的微分之商等于 吗该函数的导数导数也叫微商 第8页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 8 页 例1 解 2, 0.02 . 求函数 y = x 3 当 x = x = 时的微分 dy = (x )x 3 3 . 2 = x x 0.02 2 2 0.02 2 3 = = = = = x x x dy x x x = 0.24. , . , dx dx x x x = 记 作 即 通常把自变量 的增量 称为自变量的微分 dy = f (x)dx. f (x). dx dy = 该函数的导数. 导数也叫"微 商". 即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于 第三节 函数的微分 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第三节的微 微分的几何意义 本节 几何意义:(如图) T 曾当A是曲线的纵 o(△x) 求 本坐标增量时, 占 y=∫(x) 就是切线纵坐标 △x 智对应的增量 指导 x0x0+△x 当△x很小时,在点M的附近, 切线段MP可近似代替曲线段MN 后退 士页下页返回 第9页
上页 下页 返回 第 9 页 微分的几何意义 y = f (x) 0 x M N T dy y o(x) ） x y o x 几何意义:(如图) . , 对应的增量 就是切线纵坐标 坐标增量时 当 是曲线的纵 dy y x + x 0 P . , , MP MN x M 切线段 可近似代替曲线段 当 很小时 在点 的附近 第三节 函数的微分 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第三节面教的微 二、微分的运算 本节 知识 引入 d y=f(x)dx 本节 求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分 求 |1基本初等函数的微分公式 与难 点d(C)=0 d(x)=wxdx 本节 删习|d(sinx)= cos xdx a(cosx)=- sin xdx d(tan x)=sec xdx d(cot x)=csc xdx d(sec x)=sec x tan xdx d(csc x)==csc x cot xdx 后退 第10页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 10 页 二、微分的运算 dy = f (x)dx 求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 1.基本初等函数的微分公式 d x x xdx d x x xdx d x xdx d x xdx d x xdx d x xdx d C d x x dx (sec ) sec tan (csc ) csc cot (tan ) sec (cot ) csc (sin ) cos (cos ) sin ( ) 0 ( ) 2 2 1 = = − = = − = = − = = − 第三节 函数的微分 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
