《矩阵论》课程教学讲义：第六讲 Jordon标准形的变换与应用

第六讲 Jordon标准形的变换与应用 一、 Jordon标准形变换矩阵的求法 PAP=J→AP=PJ 1°将P按J的结构写成列块的形式 P=P P 个个 个 列m2列 A[P…P]=[P →>AP=PJ1(i=1,2…r) 2求解r个矩阵方程AP=P,J(i=12…r) 3将r个P合成变换矩阵P=[PB2…P ★关于方程AP=PJ的求解 P=P APi=nPi →(A-2DP1=0 AP2=1+1P (A-d1P2=Pl A-41D)2P2=0 ABm=Pm+1mm→(4-11)m=Pm→(4-2)mm=0 两种具体做法:(i)按照P1→>P2→…→>Pn的顺序求解,即先求出特征向量

第六讲 Jordon 标准形的变换与应用 一、 Jordon 标准形变换矩阵的求法 1 P AP J − = → AP PJ = 1 将 P 按 J 的结构写成列块的形式 P P P P =  1 2 r  m1  列 m2  列 mr  列 →     1 2 1 2 1 2 r r r J J A P P P P P P J     =         → ( 1,2 ) AP PJ i r i i i = = 2 求解 r 个矩阵方程 ( 1,2 ) AP PJ i r i i i = = 3 将 r 个 Pi 合成变换矩阵 P P P P =  1 2 r  ★ 关于方程 AP PJ i i i = 的求解 1 2 i P P P P i i i im =     1 2 1 2 1 0 1 0 i i i i i i im i i im i A P P P P P P            =            AP P i i i 1 1 =  → 1 ( ) 0 A I P − = i i AP P P i i i i 2 1 2 = +  → 2 1 ( ) A I P P − = i i i → 2 2 ( ) 0 A I P − = i i i i i 1 AP P P im im i im  − = + → 1 ( ) i i A I P P i im im − − = → ( ) 0 i i m A I P − = i im 两种具体做法: (ⅰ) 按照 1 2 i P P P i i im → → → 的顺序求解，即先求出特征向量

P,然后由后续方程求出P2、P3、…;(iⅱ)先求(4-2Dy的特征向量Pn,然 后直接得到Pa→Pn 前一做法由于(A-λD)为奇异矩阵,每一步均存在多解及无解问题,故各步之 间不能完全独立,前一步尚需依赖后一步、再后一步、…,直至最后一步才能完 全确定一些待定系数;而后一做法仅岀现一次求解方程,其余为直接赋值,无上 述问题。但又可能导致低阶P,出现零向量的问题 由于P1=(4-41)Pn P2=(A-41)P Pm,=(A-11) 故Pn应满足:(4-4D)Pn=0但(A-2 nP≠0 同一特征值可能出现在不同的 Jordan块中,对于这种情况,按各 Jordan块阶 数高低一次进行处理,高阶先处理,低阶后处理,同阶同时处理。 (1)最高阶(没有属于同一特征值的 Jordan块同阶)可按下述方法求出P,,即 使(A-41)x=0但(4-1)x≠0的x作为Pn。 然后由方程P1=(A-11)P依次求出Pn,Pn2,…直至P且j等于下一个 属于同一特征值的 Jordan块的阶数。 (2)对于上述新 Jordan块,它的P不仅要考虑到满足 (4-21x=0但(A-21)-x≠0, 而且还应与前述P线性无关。 (3)其它属于同一特征值的 Jordan块处理时,按照(2)的原则处理即可 (4)出现多个属于同一特征值的 Jordan块同阶时,还应考虑线性无关问题

Pi1 ，然后由后续方程求出 Pi2 、Pi3、…；（ⅱ）先求 ( )mi A I − i 的特征向量 i Pim ，然 后直接得到 P P P im im i i i − − 1 2 → → → 1。 前一做法由于 ( ) A I − i 为奇异矩阵，每一步均存在多解及无解问题，故各步之 间不能完全独立，前一步尚需依赖后一步、再后一步、…，直至最后一步才能完 全确定一些待定系数；而后一做法仅出现一次求解方程，其余为直接赋值，无上 述问题。但又可能导致低阶 j Pim 出现零向量的问题。 由于 1 1 ( ) i i m P A I P i i im  − = − 2 2 ( ) i i m P A I P i i im  − = − 1 ( ) i i P A I P im i im  − = − 故 i Pim 应满足： ( ) 0 i i m A I P − = i im 但 1 ( ) 0 i i m A I P i im − −  同一特征值可能出现在不同的 Jordan 块中，对于这种情况，按各 Jordan 块阶 数高低一次进行处理，高阶先处理，低阶后处理，同阶同时处理。 （1）最高阶（没有属于同一特征值的 Jordan 块同阶）可按下述方法求出 i Pim ，即 使 ( ) 0 mi A I x − = i 但 1 ( ) 0 mi A I x i − −  的 x 作为 i Pim 。 然后由方程 ( 1) ( ) P A I P i j i j − = −  依次求出 1 2 , , , i i P P im im − − 直至 Pij 且 j 等于下一个 属于同一特征值的 Jordan 块的阶数。 （2）对于上述新 Jordan 块，它的 i Pim 不仅要考虑到满足 ( ) 0 mi A I x − = i 但 1 ( ) 0 mi A I x i − −  ， 而且还应与前述 Pij 线性无关。 （3）其它属于同一特征值的 Jordan 块处理时，按照（2）的原则处理即可。 （4）出现多个属于同一特征值的 Jordan 块同阶时，还应考虑线性无关问题

210-1-10 1200-11 例:求A 1-1410-1 的 Jordan标准形及其变换矩阵。 0-10310 040 1000-13 [解]:上一讲已求出其 Jordan标准形,也可按如下方法求得 (x-4)可采用初等变换化为 (2-2) (2-2)(2-4) 按此得出 Jordon标准形 同时可见de(x-A)∝(A-2)2(-4)3,即=2与λ=4匀为三重特征值 下面求变换矩阵P (1)A=4的 Jordon矩阵仅有一块,m2=3 P=Pi P2 P 先求P3,P3应满足(A-41)P3=0(A-41)P3≠0

例：求                     − − − − − − − − = 1 0 0 0 1 3 0 0 0 0 4 0 0 1 0 3 1 0 1 1 4 1 0 1 1 2 0 0 1 1 2 1 0 1 1 0 A 的 Jordan 标准形及其变换矩阵。 [解]：上一讲已求出其 Jordan 标准形，也可按如下方法求得。 ( I − A )可采用初等变换化为 2 3 1 0 1 1 1 ( 2) 0 ( 2) ( 4)        −   − − 按此得出 Jordon 标准形 2 0 2 1 2 4 1 4 1 0 4       同时可见 3 3 det(I − A)  ( − 2) ( − 4) ,即  = 2与 = 4 匀为三重特征值. 下面求变换矩阵 P （1） 3  = 4 的 Jordon 矩阵仅有一块， 3 m = 3 P P P P 3 31 32 33 =   先求 P33，P33 应满足 3 33 ( 4 ) 0 A I P − = 2 33 ( 4 ) 0 A I P − 

0 000 5-30301 0 -350-10-3 000040 (A-41)= 101 (A-4) 0 -13010-1 000000 00000 1280-80-4 120408 (A-41)3 80408 00000 -80004 00000 求(A-41)3x=0(A-41)2x=0设x=[515253545 (4-4)x=0其通解为5,+5+5 0 0 000010 0 0 (4-41)2x=0其通解为引10 0 可取P3=[000010 P2=(4-4)23=[-1-1010- P1=(4-41)P2=[004000

2 1 0 1 1 0 1 2 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 ( 4 ) 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 A I   − − −   − −     − − − − =   − −         − − 2 5 3 0 3 0 1 3 5 0 1 0 3 0 0 0 0 4 0 ( 4 ) 1 3 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 3 1 0 1 0 1 A I   −   − − −     − =   − −         − − 3 12 8 0 8 0 4 8 12 0 4 0 8 0 0 0 0 0 0 ( 4 ) 4 8 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 8 4 0 4 0 0 A I   − − −   −     − =   −         − 求 3 ( 4 ) 0 A I x − = 2 ( 4 ) 0 A I x − = 设  1 2 3 4 5 6  T x =       3 ( 4 ) 0 A I x − = 其通解为 1 3 5 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0                                  + + −                         2 ( 4 ) 0 A I x − = 其通解为 1 3 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0                       + −                 可取 P33＝0 0 0 0 1 0 T 32 33 ( 4 ) 1 1 0 1 0 1   T P A I P = − = − − − 31 32 ( 4 ) 0 0 4 0 0 0   T P A I P = − =

(2)对A12=2存在两个 Jordan块,J=[2],/2 02 分别对应P,P2=[P1P 从P2入手:(4-2D)2P2=0,(A-2D)P2≠0 010-1-10 1000-11 (A-2)= 0-10110-44444-4 1-1210-1 000020 000040 (4-2)2x=0 x=[1525555]=[15205+2+505] (A-2/)x=0 x=[15253555=[5520520-5 取P2=[-110000 P1=(4-2DP2=[-110-10-] P:(4-2D=0P与P21应线性无关,可取P (3)合成变换矩阵 1-10-1 0000 000 0040 P P存在 10010 00001 1-100 可以验证:P-AP=J

（2）对 1,2  = 2 存在两个 Jordan 块， J1 = 2 ， 2 2 1 0 2 J   =     ， 分别对应 P1，P P P 2 21 22 =   从 P22 入手： 2 22 ( 2 ) 0 A I P − = ， 22 ( 2 ) 0 A I P −  0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 2 1 0 1 ( 2 ) 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 2 0 1 0 0 0 1 1 A I   − −   −     − − − − =   −         − 2 1 1 0 1 4 1 1 1 0 1 4 1 4 4 4 4 4 4 ( 2 ) 1 1 0 1 4 1 0 0 0 0 4 0 1 1 0 1 4 1 A I   − −   − −     − − − − =   − − −         − − 2 ( 2 ) 0 A I x − = →  1 2 3 4 5 6  T x =       ＝ 1 2 1 2 6 6 0 0  T       + + ( 2 ) 0 A I x − = →  1 2 3 4 5 6  T x =       ＝ 1 2 2 1 0 0  T    − 取 22  1 1 0 0 0 0 T P = − 21 22 ( 2 ) 1 1 0 1 0 1   T P A I P = − = − − − P1 ： 1 ( 2 ) 0 A I P − = P1 与 P21 应线性无关，可取 P1＝1 0 0 0 0 1 T − （3）合成变换矩阵 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 4 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 P   − −   − −     =   −         − − − 1 P − 存在 可以验证: P AP = J −1

、 Jordan标准形的幂及多项式 即J 1 0 222A1 12241 2 J亦为类似的上三角形条带矩阵在与主对角线平行的斜线上各元素相等.其中 第一行的元素依次为 0….0(m-k个0),(m1>k 2!(k-2) k! k k-2 2(k-2) Ck=m2=m,(m1≤k) 设有多项式f(x)=∑ax2=a4+ax+…+anx,则 f(J1) f(J2) 1+a1J+.+a f(o) f(4)=a0+a4+…+an2=∑a2 f(4)=a1+2a24+…+mnm=∑ka14

二、 Jordan 标准形的幂及多项式 1 2 k k k k s J J J J     =         , 即 1 0 1 0 i i i i J        =         , 2 2 2 2 2 2 2 1 0 2 1 1 0 2 i i i i i i i i i J                 =           k i J 亦为类似的上三角形条带矩阵,在与主对角线平行的斜线上各元素相等. 其中 k i J 第一行的元素依次为 i 1 2 1 2 ! ... ... 1 0 ... 0 ( 0),( ) 2!( 2)! ! ... ... ... ... ... ,( ) 2!( 2)! i k k k t t i i i k i i i k k k t t k m k m i i i k i k i i k k C m k m k k k k C C m k k          − − − − − −  −    −     − 个 设有多项式 m m m k k k f x = a x = a + a x + + a x = ( ) ... 0 1 0 .则 1 2 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ... ( ) m k m k m k s f J f J f J a J a I a J a J f J =     = = + + + =          又 0 1 0 ( ) m m k i i m i k i k f a a a a     = = + + + =  ' 1 1 1 2 1 ( ) 2 m m k i i m i k i k f a a ma ka     − − = = + + + =  ……

fim()=mla ∫m(2)=0.(=1,2,) 故 0 1 f(i=a +a 0 0 21 22221 21 f(4)f(41)2() fm(2) (m +him+() fm(4) f(4)f()12(4) f(4)f(4) (m+1)! f(2) fm(2) f2)(4) f(4) f() f(4 f() 这就是说,f(J)仍为上三角矩阵,在与主对角线平行的斜线上各元素均相等,而 其第一行元素依次为

i m m f ( ) m!a ( )  = ( ) 0,( 1,2,...) ( ) = = + f l i m l  故 0 1 2 2 2 2 2 2 1 0 1 0 1 1 ( ) 0 1 0 1 1 2 1 0 2 1 1 0 2 i i i i i i i i i f J a a a                     = +         + +   ' (2) ( ) ( 1) ( ) ' (2) ' ( 1) ( ) ' (2) ' (2) ' 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ... ( ) 2! ! ( 1)! ! 1 ( ) ( ) ( ) 2 ! 1 ( ) ( ) ( ) ( 1)! 1 ( ) ( ) ! 1 ( ) ( ) 2 ! 1 ( ) ( ) ( ) 2 ! ( ) ( ) ( ) m m mi i i i i i i i i i i m i i i m i i i i i i i i i i f f f f f f m m m f f f f f f m f f m f f f f f f f f                       + + + + =       这就是说, ( ) i f J 仍为上三角矩阵, 在与主对角线平行的斜线上各元素均相等, 而 其第一行元素依次为

(4)f()12().1y∞()(无论m是否大于m) 若A=PJP,则f(4)=P(J)P计算十分方便,无需再采用矩阵乘积 作业:P10711

' (2) ( ) i 1 1 ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) 2! ! mi i i i i i f f f f m m m     无论 是否大于 若 A P JP −1 = , 则 f (A) P f (J )P −1 = 计算十分方便,无需再采用矩阵乘积. 作业: P107 11