第四讲矩阵的对角化 基 元素 坐标向量 元素加法 坐标向量的加法 数乘 数与元素“乘” 数与坐标向量相乘 匚线性变换及其作用 对应关系 矩阵与坐标列向量的乘积 对任何线性空间,给定基后,我们对元素进行线性变换或线性运算时,只需 用元素的坐标向量以及线性变换的矩阵即可,因此,在后面的内容中着重研究矩 阵和向量。 对角矩阵的形式比较简单,处理起来较方便,比如求解矩阵方程Ax=b时 将矩阵A对角化后很容易得到方程的解。对角化的过程实际上是一个去耦的过 程。以前我们学习过相似变化对角化。那么,一个方阵是否总可以通过相似变化 将其对角化呢?或者对角化需要什么样的条件呢?如果不能对角化,我们还可以 做哪些处理使问题变得简单呢? 特征征值与特征向量 1.定义:对m阶方阵A,若存在数λ,及非零向量(列向量)x,使得Ax=Ax, 则称λ为A的特征值,x为A的属于特征值λ的特征向量 特征值不唯 特征向量非零 ·(A-A)x=0有非零解,则det(1-A)=0,称det(/-A)为 A的多项式。 22 例14=212,求其特征值和特征向量。 221 de(-A)=-22-1-2|=0 24- (+1)2(-5)=0 1=2 13=5 属于特征值λ=-1的特征向量(-/-A)x=0
第四讲 矩阵的对角化 基 元素 坐标向量 加法 元素加法 坐标向量的加法 数乘 数与元素“乘” 数与坐标向量相乘 线性变换及其作用 对应关系 矩阵与坐标列向量的乘积 对任何线性空间，给定基后，我们对元素进行线性变换或线性运算时，只需 用元素的坐标向量以及线性变换的矩阵即可，因此，在后面的内容中着重研究矩 阵和向量。 对角矩阵的形式比较简单，处理起来较方便，比如求解矩阵方程 Ax b = 时， 将矩阵 A 对角化后很容易得到方程的解。对角化的过程实际上是一个去耦的过 程。以前我们学习过相似变化对角化。那么，一个方阵是否总可以通过相似变化 将其对角化呢？或者对角化需要什么样的条件呢？如果不能对角化，我们还可以 做哪些处理使问题变得简单呢？ 一、特征征值与特征向量 1. 定义：对 m 阶方阵 A ，若存在数 ，及非零向量（列向量） x ，使得 Ax x = , 则称 为 A 的特征值， x 为 A 的属于特征值 的特征向量。 • 特征值不唯一 • 特征向量非零 • ( ) 0 I A x − = 有非零解，则 det( ) 0 I A− = ，称 det( ) I A − 为 A 的多项式。 [例 1] 1 2 2 2 1 2 2 2 1 A = ，求其特征值和特征向量。 [解] 1 2 2 det( ) 2 1 2 0 2 2 1 I A − − − − = − − − = − − − 2 ( 1) ( 5) 0 + − = 1 2 = = −1 3 = 5 属于特征值 =−1 的特征向量 ( ) 0 − − = I A x
2225 222 051+52+53=0 53=-51-52 可取基础解系为x1=0x2=1 属于=5的特征向量(5/-A)x=0 252=051=52=5 可取基础解系为 2.矩阵的迹与行列式 tA=∑an所有对角元素之和 det4=1λmA=∑4 3.两个定理 (1)设A、B分别为m×n和n×m阶矩阵,则 tr(AB)=tr(BA) (2) sylvester定理:设A、B分别为m×n和n×m阶矩阵,则 det(alm-AB)=2det(al,-Ba) 即:AB与BA的特征值只差零特征值的个数,非零特征值相同。 矩阵对角化的充要条件 定理:n阶方阵A可通过相似变换对角化的充要条件是它具有n个线性无关的特 征向量。 [证明]充分性:已知A具有n个线性无关的特征向量x1,x2,…,xn,则 Ax=1xi=1,2
1 2 3 222 2 2 2 0 222 = 1 2 3 + + = 0 1 1 2 2 3 1 2 = = = − − 可取基础解系为 1 1 0 1 x = − 2 0 1 1 x = − 属于 = 5 的特征向量 (5 ) 0 I A x − = 1 2 3 4 2 2 2 4 2 0 2 2 4 − − − − = − − 1 2 3 = = 可取基础解系为 3 1 1 1 x = 2. 矩阵的迹与行列式 1 n ii i trA a = = 所有对角元素之和 1 det n i i A = = 1 n i i trA = = 3. 两个定理 （1） 设 A、 B 分别为 m n 和 n m 阶矩阵，则 tr AB tr BA ( ) ( ) = （2）sylvster 定理：设 A、 B 分别为 m n 和 n m 阶矩阵，则 det( ) det( ) m n m n I AB I BA − − = − 即：AB 与 BA 的特征值只差零特征值的个数，非零特征值相同。 二、 矩阵对角化的充要条件 定理： n 阶方阵 A 可通过相似变换对角化的充要条件是它具有 n 个线性无关的特 征向量。 [证明] 充分性：已知 A 具有 n 个线性无关的特征向量 1 2 , , , n x x x ，则 Ax x i i i = i n =1,2,
A[x, xn]=[4x1A2x2…xn] 0 n x1,x2…xn线性无关,故P=[x1x2 x,为满秩矩阵, 令A 12 ,则有 AP=PA P AP=A 0 必要性:已知存在可逆方阵P,使P-AP=A= 将P写成列向量P=[PP2…],P为n维列向量 APAP AP]=[AFAB2…λ2B] 可见,为A的特征值,P为A的特征向量, A具有n个线性无关的特征向量。 推论:n阶方阵有n个互异的特征值,则必可对角化。(充分条件) 三、内积空间 1. Euclid空间 设V是实线性空间(k∈R),对于V中任何两个元素x、y均按某一规则 存在一个实数与之对应,记为(x,y),若它满足 (1)交换律(x,y)=(yx) (2)分配律(x,y+-)=(x,y)+(x,)
A x x x x x x 1 2 1 1 2 2 n n n = 1 2 1 2 0 0 n n x x x = 1 2 , , , n x x x 线性无关，故 P x x x = 1 2 n 为满秩矩阵， 令 = 1 2 0 0 n ，则有 AP P= 1 P AP − = 必要性：已知存在可逆方阵 P ，使 1 1 2 0 0 n P AP − = = 将 P 写成列向量 P P P P = 1 2 n ， P n 为 n 维列向量 AP AP AP P P P 1 2 1 1 2 2 n n n = 可见， i 为 A 的特征值， Pi 为 A 的特征向量， A 具有 n 个线性无关的特征向量。 推论： n 阶方阵有 n 个互异的特征值，则必可对角化。（充分条件） 三、 内积空间 1. Euclid 空间 设 V 是实线性空间（ k R ），对于 V 中任何两个元素 x 、 y 均按某一规则 存在一个实数与之对应，记为 ( x y, ) ，若它满足 （1）交换律 ( x y y x , , ) = ( ) （2）分配律 ( x y z x y x z , , , + = + ) ( ) ( )
(3)齐次律(kx,y)=k(x,y) (4)非负性(x,x)≥0,当且仅当x=0时,(x,x)=0 则称(x,y)为x与y的内积,定义了内积的实线性空间称为Euid空间。 对于一个给定的线性空间,可以定义多种内积,较典型的如三维向量空间的 数量积就满足以上四条性质,构成内积。以n维向量空间为例: x=[152…5,y=[nn2…n] 可定义内积(x,y)=∑5n(m>0),它满足内积的四条性质: (1)(x,y)=∑5m=∑n5=(yx) (2)(x,y+)=∑5(n+5;)=∑5m+∑m51=(x,y)+(x,=) (3)(kx,y)=∑(k5)m=k∑m5n=(x,y) (4)(x,x)=∑2≥0当且仅当x=0时,(x,x)=0 该内积可写为:(x,y)=xWy,其中W 更一般的,对实对称正定矩阵A,(x,y)=x4y也满足内积的定义 正定:(1)特征值全为正(2)各阶顺序主子式大于0 2.酉空间: 设V是复线性空间(k∈C),对于V中任何两个元素x、y均按某一规则 存在一个复数与之对应,记为(x,y),若它满足 (1)交换律(x,y)=(y,x) (2)分配律(x,y+-)=(x,y)+(x,)
（3）齐次律 (kx y k x y , , ) = ( ) （4）非负性 ( x x, 0 ) ，当且仅当 x = 0 时， ( x x, 0 ) = 则称 ( x y, ) 为 x 与 y 的内积，定义了内积的实线性空间称为 Euclid 空间。 对于一个给定的线性空间，可以定义多种内积，较典型的如三维向量空间的 数量积就满足以上四条性质，构成内积。以 n 维向量空间为例： 1 2 T n x = ， 1 2 T n y = 可定义内积 ( ) 1 , n i i i i x y w = = ( 0) wi ，它满足内积的四条性质： （1） ( ) ( ) 1 1 , , n n i i i i i i i i x y w w y x = = === （2） ( ) ( ) ( ) 1 1 1 , ( ) , , n n n i i i i i i i i i i i i i x y z w w w x y x z = = = + = + = + = + （3） ( ) ( ) 1 1 , ( ) , n n i i i i i i i i kx y w k k w k x y = = = = = （4） ( ) 2 1 , 0 n i i i x x w = = 当且仅当 0 i x = 时， ( x x, 0 ) = 该内积可写为： ( , ) T x y x Wy = ，其中 1 2 0 0 n w w W w = 更一般的，对实对称正定矩阵 A，( , ) T x y x Ay = 也满足内积的定义。 正定：（1）特征值全为正（2）各阶顺序主子式大于 0 2. 酉空间： 设 V 是复线性空间（ k C ），对于 V 中任何两个元素 x 、 y 均按某一规则 存在一个复数与之对应，记为 ( x y, ) ，若它满足 （1）交换律 ( x y y x , , ) = ( ) （2）分配律 ( x y z x y x z , , , + = + ) ( ) ( )
(3)齐次律(kx,y)=k(x,y)or(xky)=k(x,y) (4)非负性(x,x)≥0,当且仅当x=0时,(x,x)=0 则称(x,y)为x与y的内积,定义了内积的复线性空间称为酉空间。 以n维向量空间为例,A为厄米(A=A)正定(xAx>0)矩阵, (x,y)=x4y=∑∑5 i=l j= 较常见的比如A=diag{1W n],w>0 最简单:实(x,y)=xy 复 3.正交性:若(x,y)=0,则称x与y正交。 x与y的夹角:cosa=(x x1y∝称为x与y的夹角。 4.Gram- Schmidt正交化手续 设x1,x2,…,xn为一组线性无关的元素或向量,可以进行如下正交归一化操 作(正交规范化或正交单位化): VI 2°x2=x2+k21y1选择合适的k2使x2与y1正交, (x2,y)=(x2,y1)+k21(y2y1)=0 k21=-(x2,y)y2 3°x3=x3+k31y1+kx2y2选择k31、k2使x3与y1和y2均正交 (x3,y)=(x3,y2)=0 (x3,y1)=(x2y)+k1=0→k=-(x3,y) (x3,y2)=(x3,y2)+k2=0→k2=-(x3,y2)
（3）齐次律 (kx y k x y , , ) = ( ) or ( x ky k x y , , ) = ( ) （4）非负性 ( x x, 0 ) ，当且仅当 x = 0 时， ( x x, 0 ) = 则称 ( x y, ) 为 x 与 y 的内积，定义了内积的复线性空间称为酉空间。 以 n 维向量空间为例， A 为厄米（ H A A = ）正定（ 0 H x Ax ）矩阵， ( ) 1 1 , n n T i ij j i j x y x Ay a = = = = 较常见的比如 1 2 [ ] A diag w w w = n ， 0 wi 最简单：实 ( , ) T x y x y = 复 ( , ) T x y x y = 3. 正交性：若 ( x y, 0 ) = ，则称 x 与 y 正交。 x 与 y 的夹角： ( , ) cos | || | x y x y = ， 称为 x 与 y 的夹角。 4. Gram-Schmidt 正交化手续 设 1 2 , , , n x x x 为一组线性无关的元素或向量，可以进行如下正交归一化操 作（正交规范化或正交单位化）： o 1 1 1 1 | | x y x = o 2 ' 2 2 21 1 x x k y = + 选择合适的 21 k 使 ' 2 x 与 1 y 正交， ' 2 1 2 1 21 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) 0 x y x y k y y = + = 21 2 1 k x y = −( , ) ' 2 2 ' 2 | | x y x = o 3 ' 3 3 31 1 32 2 x x k y k y = + + 选择 31 k 、 32 k 使 ' 3 x 与 1 y 和 2 y 均正交 ' ' 3 1 3 2 ( , ) ( , ) 0 x y x y = = ' 3 1 3 1 31 ( , ) ( , ) 0 x y x y k = + = ( ) 31 3 1 → = − k x y, ' 3 2 3 2 32 ( , ) ( , ) 0 x y x y k = + = ( ) 32 3 2 → = − k x y
y 一般的,x=x+∑ 1.2 k=-(x,y) y V1, J 成为一组正交归一化向量:()=d∫0i≠j 若x,x2…,xn为一组基元素,则y,y2,…,yn成为标准正交基 作业:Pl06-1071(1)(2),2,4,5,10,11
' 3 3 ' 3 | | x y x = 一般的， 1 ' 1 i i i ij j j x x k y − = = + i n =1,2, , k x y ij i j = −( , ) ' ' | | i i i x y x = 1 2 , , , n y y y 成为一组正交归一化向量： 0 ( , ) 1 i j ij i j y y i j = = = 若 1 2 , , , n x x x 为一组基元素，则 1 2 , , , n y y y 成为标准正交基。 作业：P106－107 1(1)(2),2,4,5,10,11
