前言:为什么要学习矩阵理论?怎么来学习、掌握? ★向量、矩阵及其运算法则是描述、分析、处理线性系统的有力工具——其“有力”具体 表现在这种工具的普适性和简便性上 ★学习基础知识→专业课程中进一步认知→科学硏究中应用 第一讲线性空间 线性空间的定义及性质 预备知识 ★集合:笼统地说是指一些事物(或者对象,称为元素)组成的整体 集合的表示:枚举、表达式,如 A={1,25}:A={23…};A={x+x2x>0 集合的运算:并(U),交(∩) 另外,集合的“和”(+):并不是严格意义上集合的运算,因为它限定了集合中元素须 有可加性。 ★数域:一种数集,对四则运算封闭(除数不为零λ比如有理数域、实数域(R)和复 数域(C)实数域和复数域是工程上较常用的两个数域 线性空间是线性代数最基本的概念之一,也是学习矩阵理论的重要基础。线性空间的概 念是对各种具体线性系统的一种统一的抽象。 1.线性空间的定义 设V是一个非空集合,其元素用x,y,等表示;K是一个数域,其元素用k,l,m等表 示。如果V满足 (I)在V中定义一个“加法”运算,即当x,yz∈V时,有唯的“和”x+y∈V(封
前言：为什么要学习矩阵理论？怎么来学习、掌握？ ★ 向量、矩阵及其运算法则是描述、分析、处理线性系统的有力工具——其“有力”具体 表现在这种工具的普适性和简便性上。 ★ 学习基础知识 → 专业课程中进一步认知 → 科学研究中应用 第一讲 线性空间 一、线性空间的定义及性质 [预备知识] ★ 集合：笼统地说是指一些事物（或者对象，称为元素）组成的整体。 集合的表示：枚举、表达式，如 A={1, 2,5} ; A={1, 2, 3,...} ; 2 A x x x = + { 0} 集合的运算：并（ ），交（ ） 另外，集合的“和”（ + ）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须 有可加性。 ★ 数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。比如有理数域、实数域（ R ）和复 数域（ C ）。实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习矩阵理论的重要基础。线性空间的概 念是对各种具体线性系统的一种统一的抽象。 1. 线性空间的定义： 设 V 是一个非空集合，其元素用 x y z , , 等表示； K 是一个数域，其元素用 k l m , , 等表 示。如果 V 满足 （I）在 V 中定义一个“加法”运算，即当 x y z V , , 时，有唯一的“和” x y V + （封
闭性),且加法运算满足下列性质 (1)结合律x+(y+z)=(x+y)+z; (2)交换律x+y=y+x (3)零元律存在零元素0,使x+0=x (4)负元律对任元素x∈V,存在一元素y∈V,使x+y=0,且称y为x的 负元素,记为(-x)。即,x+(-x)=0。 (Ⅱ)在V中定义一个“数乘”运算,即当x∈V,k∈K时,有唯一的“积”k∈V(封 闭性),且数乘运算满足下列性质 (5)数因子分配律k(x+y)=kx+k (6)分配律 (k+D)x=hr+l (7)结合律 (h)x=k(lr)i (8)恒等律 Ix=x 则称V为数域K上的线性空间。 注意 (1)线性空间不能离开某一数域来定义。实际上,对于不同数域,同一个集合构成的线 性空间会不同,甚至一种能成为线性空间而另一种不能成为线性空间。 (2)两种运算、八条性质 数域K中的运算是具体的四则运算,而ψ中所定义的加法运算和数乘运算则可以十分抽 象 (3)除了两种运算和八条性质外,还应注意唯一性、封闭性 唯_性一般较显然,封闭性还需要证明,岀现不封闭的情况∶集合小、运算本身就不满 足 当数域K为实数域时,V就称为实线性空间;K为复数域,V就称为复线性空间
闭性），且加法运算满足下列性质 （1）结合律 x y z x y z + + = + + ( ) ( ) ； （2）交换律 x y y x + = + ； （3）零元律 存在零元素 0 ，使 x x + = 0 ； （4）负元律 对于任一元素 x V ，存在一元素 y V ，使 x y + = 0 ，且称 y 为 x 的 负元素，记为 ( ) −x 。即， x x + − = ( ) 0。 （II）在 V 中定义一个“数乘”运算，即当 x V ，k K 时，有唯一的“积” kx V （封 闭性），且数乘运算满足下列性质 （5）数因子分配律 k x y kx ky ( ) + = + ； （6）分配律 ( ) k l x kx lx + = + ； （7）结合律 ( ) ( ) kl x k lx = ； （8）恒等律 1x x = ； 则称 V 为数域 K 上的线性空间。 注意： （1）线性空间不能离开某一数域来定义。实际上，对于不同数域，同一个集合构成的线 性空间会不同，甚至一种能成为线性空间而另一种不能成为线性空间。 （2）两种运算、八条性质 数域 K 中的运算是具体的四则运算，而 V 中所定义的加法运算和数乘运算则可以十分抽 象。 （3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭性 唯一性一般较显然，封闭性还需要证明，出现不封闭的情况：集合小、运算本身就不满 足。 当数域 K 为实数域时， V 就称为实线性空间； K 为复数域， V 就称为复线性空间
例1.设R=全体正实数},其“加法”及“数乘”运算定义为 相y=y,k ox=x 证明:R是实数域R上的线性空间。 证:首先需要证明两种运算的唯一性和封闭性 ①唯一性和封闭性 唯一性显然 若X>0y>0k∈R,则有 y=y∈R+kox=x∈R封闭性得证 ②八条性质 (1)畑(地z)=X2=(Xy)z=(z (2)妞y=y=yx=yx (3)1是零元素1=x·1=x[o=x>X0=X->0=1] (4)2是X的负元素厢2=x:2=1+y=0 (5)ko(y)=(x)=xy=ko畑koy隞数因子分配律] (6)(k+1)ox=x=x2x=(koX)田(lox)份分配律] (7)ko(ox)=(x)=x“=()ox偌合律 (8)1ox=x=x [恒等律] 由此可证,R是实数域R上的线性空间。 1.定理:线性空间具有如下性质 (1)零元素是唯一的,任元素的负元素也是唯一的 (2)如下恒等式成立:0x=0,(-1)x=(-x) 证明:(1)采用反证法
例 1. 设 R +＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为 x y=xy , k k x x o = 证明： R + 是实数域 R 上的线性空间。 证：首先需要证明两种运算的唯一性和封闭性 ①唯一性和封闭性 唯一性显然 若 x>0,y>0, k R ，则有 x y=xy R + k k x x o = R + 封闭性得证。 ②八条性质 （1） x （y z）=x(yz)=(xy)z=(x y) z （2） x y=xy＝yx= y x （3） 1 是零元素 x 1＝ x x 1= [x o=x——>xo=x－>o=1] （4） 1 x 是 x 的负元素 x 1 x ＝ 1 1 x x = [x+y=o ] （5） ko （x y） ( ) k k k = = = xy x y ko x ko y [数因子分配律] （6） ( ) k l k l k l x x x x + + = = = o （ ko x） （ l o x） [分配律] （7） ( ) ( ) ( ) k l kl k l x x x kl x o o o = = = [结合律] （8） 1 1 x x x o = = [恒等律] 由此可证， R + 是实数域 R 上的线性空间。 1． 定理：线性空间具有如下性质 （1） 零元素是唯一的，任一元素的负元素也是唯一的。 （2） 如下恒等式成立： 0x = o， (− = − 1 x x ) ( )。 证明：（1）采用反证法：
①零元素是唯一的。设存在两个零元素o1和o2,则由于o1和o2均为零元素,按 零元律有 [交换律] 所以o1=2 即o1和2相同,与假设相矛盾,故只有一个零元素 ②任元素的负元素也是唯一的。假设ⅵx∈,存在两个负元素y和z,则根据负元 律有 x+y=0=x+2 y=y+0=y+(x+-)=(y+x)+=0+ 零元律] [结合律] [零元律] 即y和=相同,故负元素唯一 (2)①:设W0x,则W=1x+0x=(1+0)X=X,故W=o [恒等律] 设W=(-1)X,则x1X+(-1)X=[1+(-1)x=0x=o,故W=-X 2.线性相关性 线性空间中相关性概念与线性代数中向量组线性相关性概念类似。 线性组合:x1,x2Lxn∈V,c1,C2Lcn∈K cx1+c2x2+L+cmxn@∑cx 称为元素组x,x2Lx的一个线性组合。 线性表示:V中某个元素X可表示为其中某个元素组的线性组合,则称x可由该元素组 线性表示 线性相关性:如果存在一组不全为零的数c1,c2Lcn∈K,使得对于元素x,x2Lxn∈V有
①零元素是唯一的。 设存在两个零元素 o1和 o2，则由于 o1和 o2 均为零元素， 按 零元律有 [交换律] o1＋o2＝o1 ＝ o2＋o1＝o2 所以 o1＝o2 即 o1和 o2 相同，与假设相矛盾，故只有一个零元素。 ②任一元素的负元素也是唯一的。假设 x V ，存在两个负元素 y 和 z ，则根据负元 律有 x y + = o＝ x z + y y y x z y x z z z = + = + + = + + = + = o o ( ) ( ) [零元律] [结合律] [零元律] 即 y 和 z 相同，故负元素唯一。 （2） ①：设 w=0x，则 x+w=1x+0x=(1+0)x=x，故 w=o。 [恒等律] ②：设 w=(－1)x，则 x+w=1x+(－1)x=[1+(－1)]x=0x=o，故 w=－x。 2． 线性相关性 线性空间中相关性概念与线性代数中向量组线性相关性概念类似。 •线性组合： 1 2 m 1 2 m x ,x x V ,c ,c c K L L m 1 1 2 2 m m i i i 1 c x c x c x c x = + + + L @ 称为元素组 1 2 m x ,x x L 的一个线性组合。 •线性表示： V 中某个元素 x 可表示为其中某个元素组的线性组合，则称 x 可由该元素组 线性表示。 •线性相关性：如果存在一组不全为零的数 1 2 m c ,c c K L ，使得对于元素 1 2 m x ,x x V L 有
0 则称元素组x,x,Lx线性相关,否则称其线性无关。【线性相关性概念是个非常重要的概念, 有了线性相关性才有下面的线性空间的维数、基和坐标】 3.线性空间的维数 定义:线性空间V中最大线性无关元素组所含元素个数称为V的维数,记为dim 本课程只考虑有限维情况,对于无限维情况不涉及 例2.全体mXn阶实矩阵的集合构成一个实线性空间(对于矩阵加法和数对矩阵的数乘运 算),求其维数。 解:一个直接的方法就是找一个最大线性无关组,其元素尽可能简单 令历为这样的一个mxn阶矩阵,其(j)元素为1,其余元素为零。 显然,这样的矩阵共有m个,构成一个具有m个元素的线性无关元素组 En,E2LEm;Ey,E2LE2,L;Em,Emn,LEm}。另一方面,还需说明元素个数最大。对于任 意的A=(a),都可由以上元素组线性表示, A=∑E—>∑2En+A=0 即{E|=1:m,=1:n}构成了最大线性无关元素组,所以该空间的维数为m 二、线性空间的基与坐标 1.基的定义:设V是数域K上的线性空间,x,x2Lx(≥1是属于v的个任意元素, 如果它满足 (1)x,x2Lx线性无关 (2)V中任一向量x均可由x,xLx,线性表示 则称x,x2Lx为V的一个基,并称x,x2Lx为该基的基元素
m i i i 1 c x 0 = = 则称元素组 1 2 m x ,x x L 线性相关，否则称其线性无关。【线性相关性概念是个非常重要的概念， 有了线性相关性才有下面的线性空间的维数、基和坐标】 3． 线性空间的维数 定义：线性空间 V 中最大线性无关元素组所含元素个数称为 V 的维数，记为 dimV 。 本课程只考虑有限维情况，对于无限维情况不涉及 。 例 2. 全体 m×n 阶实矩阵的集合构成一个实线性空间（对于矩阵加法和数对矩阵的数乘运 算），求其维数。 解：一个直接的方法就是找一个最大线性无关组，其元素尽可能简单。 令 Eij 为这样的一个 m×n 阶矩阵，其（i, j）元素为 1，其余元素为零。 显然，这样的矩阵共有 mn 个，构成一个具有 mn 个元素的线性无关元素组 E ,E , E ;E ,E , E ; ;E ,E , E 11 12 1n 21 22 2n m1 m2 mn L L L L 。另一方面，还需说明元素个数最大。对于任 意的 ( ij)m n A a = ，都可由以上元素组线性表示， ij ij i ,j A a E = ——> 0 ij ij i ,j a E A + = 即 E |i 1 m, j 1 n ij = = : : 构成了最大线性无关元素组，所以该空间的维数为 mn。 二、 线性空间的基与坐标 1． 基的定义：设 V 是数域 K 上的线性空间， ( ) 1 2 r x ,x x r 1 L 是属于 V 的 r 个任意元素， 如果它满足 （1） 1 2 r x ,x x L 线性无关； （2）V 中任一向量 x 均可由 1 2 r x ,x x L 线性表示。 则称 1 2 r x ,x x L 为 V 的一个基，并称 1 2 r x ,x x L 为该基的基元素
基正是V中最大线性无关元素组;V的维数正是基中所含元素的个数。 ·基是不唯一的,但不同的基所含元素个数相等。 例1.考虑全体复数所形成的集合C。如果K=C(复数域),则该集合对复数加法和复数复 数的乘法构成线性空间,其基可取为1,空间维数为1;如果取K=R(实数域),则 该集合对复数加法及实数对复数的数乘构成线性空间其基可取为(1,}空间维数为2。 数域K两种运算 基一般元素空间类型维数 (1)复数加法 复线性空 C=C 复数域C(2)复数对复{1 数的数乘 (1)复数加法 c=a·1+bi实线性空 实数域R(2)实数对复{1 数的数乘 2.坐标的定义:称线性空间V"的一个基x,xLxn为V的一个坐标系,x∈V",它在 该基下的线性表示为 ∑5x (∈k,x,∈V,i=,2Ln 则称5,2L5为x在该坐标系中的坐标或分量,记为(5,52L5n) 讨论:(1)一般来说,线性空间及其元素是抽象的对象,不同空间的元素完全可以具有干差 万别的类别及性质。但坐标表示却把它们统一了起来,坐标表示把这种差别留给了基 和基元素,由坐标所组成的新向量仅由数域中的数表示出来 (2)更进步,原本抽象的“加法”及“数乘”经过坐标表示就演化为向量加法及数
•基正是 V 中最大线性无关元素组；V 的维数正是基中所含元素的个数。 •基是不唯一的，但不同的基所含元素个数相等。 例1． 考虑全体复数所形成的集合 C。如果 K＝C（复数域），则该集合对复数加法和复数复 数的乘法构成线性空间，其基可取为 1，空间维数为 1；如果取 K＝R（实数域），则 该集合对复数加法及实数对复数的数乘构成线性空间，其基可取为{1,i}，空间维数为 2。 数域 K 两种运算 基 一般元素 空间类型 维数 复数域 C （1）复数加法； （2）复数对复 数的数乘 {1} c c 1 = 复线性空 间 1 实数域 R （1）复数加法； （2）实数对复 数的数乘 {1,i} c a 1 b i = + 实线性空 间 2 2． 坐标的定义：称线性空间 n V 的一个基 1 2 n x ,x x L 为 n V 的一个坐标系， n x V ，它在 该基下的线性表示为： n i i i 1 x = ( ) i i = K,x V ,i 1,2, n L 则称 1 2 n , L 为 x 在该坐标系中的坐标或分量，记为 ( ) T 1 2 n , L 讨论：（1）一般来说，线性空间及其元素是抽象的对象，不同空间的元素完全可以具有千差 万别的类别及性质。但坐标表示却把它们统一了起来，坐标表示把这种差别留给了基 和基元素，由坐标所组成的新向量仅由数域中的数表示出来。 （2）更进一步，原本抽象的“加法”及 “数乘”经过坐标表示就演化为向量加法及数
对向量的数乘。 1x+y=(51x1+52x2+…+5nxn)+(x1+hx2+…+7nxn) (51+n)x1+(52+n2)x2+…+(5n+mn)x 正对应 y=(7,n2,…,n) →x+y=(51+n,2+n2,5n+7 2kx=k(5x+52x2+…+5nxn)=(k5)x1+(k2)x2+…+(k)x 正对应x=(51,52…,5n)→kx=(k5,k52…,k5n) (3)显然,同一元素在不同坐标系中的坐标是不同的。后面我们还要研究这一变换关 三、基变换与坐标变换 基是不唯一的,因此,需要研究基改变时坐标变换的规律。 设x,x2Lx是V的旧基,y,y2Ly是V的新基,由于两者都是基,所以可以相互线性 表示 y=∑Cx (i=1,2,Ln) 即 =[,x2 L x CL c M MO M Kp, x, L x,C C,C,Lc 其中C称为过渡矩阵,上式就给出了基变换关系,可以证明,C是可逆的。 设x∈V,它在旧基下的线性表示为 L x
对向量的数乘。 1 1 1 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) n n n n x y x x x x x x + = + + + + + + + 1 1 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) n n n = + + + + + + x x x 正对应 ( ) 1 2 1 1 2 2 1 2 ( , , , ) , ,, ( , , , ) n n n n x x y y = → + = + + + = 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 n n n n kx k x x x k x k x k x = + + + = + + + ( ) 1 2 , , , n → k k k 正对应 1 2 ( , , , ) n x = ( ) 1 2 , , , n → = kx k k k （3）显然，同一元素在不同坐标系中的坐标是不同的。后面我们还要研究这一变换关 系。 三、 基变换与坐标变换 基是不唯一的，因此，需要研究基改变时坐标变换的规律。 设 1 2 n x ,x x L 是 n V 的旧基， 1 2 n y , y y L 是 n V 的新基，由于两者都是基，所以可以相互线性 表示 n j ij i i 1 y c x = = ( i 1,2, n = L ) 即 11 12 1n 21 22 2n 1 2 n 1 2 n 1 2 n n1 n 2 nn c c c c c c y , y y x ,x x x ,x x C c c c = = L L L L L M M O M L 其中 C 称为过渡矩阵，上式就给出了基变换关系，可以证明，C 是可逆的。 设 n x V ，它在旧基下的线性表示为 1 n 2 i i 1 2 n i 1 n x x x ,x , x = = = L M
它在新基下的线性表示为 x=∑5=[yy2L y,Lyall=[x, x, L xl 由于基元素的线性无关性,得到坐标变换关系 作业:P25-263,5,7,9 补充:证明对于线性空间的零元素o,Vk∈K,均有ko=o
它在新基下的线性表示为 1 2 i n ' ' n ' i 1 2 n i 1 ' x y y , y , y = = = L M 则 1 2 n ' 1 ' 2 1 2 n 1 2 n ' n y , y , y x ,x , x = L L M M 由于基元素的线性无关性，得到坐标变换关系 1 2 n ' 1 ' 2 ' n C = M M 1 2 n ' 1 ' 1 2 ' n C − = M M 作业：P25－26 3，5，7，9 补充：证明对于线性空间的零元素 o， k K ，均有 ko＝o