《矩阵论》课程教学讲义：第八讲 矩阵函数的求法

第八讲矩阵函数的求法 、利用 Jordan标准形求矩阵函数。 对于矩阵的多项式,我们曾导出f(A)=Pf(P1,f:多项式 f(4 f(2) f(j f(J f(J f(4)f(4)f(入) 2 实际上,以上结果不仅对矩阵的多项式成立,对矩阵的幂级数也成立。由此 引出矩阵函数的另一种定义及计算方法。 1.定义:设n阶矩阵A的 Jordan标准形为」 J( 0 有非奇异矩阵P使得:P"AP=J 对于函数f(z),若下列函数 (入),f(入) (λ)(λ=1,2,…,s) 均有意义,则称矩阵函数f(A)有意义,且

第八讲 矩阵函数的求法 一、利用 Jordan 标准形求矩阵函数。 对于矩阵的多项式，我们曾导出 -1 f(A)= Pf(J)P ，f ：多项式       f(J )1 f(J )2 f(J)= f(J )s ( )                       m -1 1 1 i f(λ) f (λ) f (λ) f (λ) f(J )= i i i i 2! m -1! i i 实际上，以上结果不仅对矩阵的多项式成立，对矩阵的幂级数也成立。由此 引出矩阵函数的另一种定义及计算方法。 1. 定义：设 n 阶矩阵 A 的 Jordan 标准形为 J       J 1 J 2 J = Js ，                     λ 1 0 i λ 1 i J(λi )= λi 1 0 λi 有非奇异矩阵 P 使得： -1 P AP = J 对于函数 f(z)，若下列函数 ( )  m -1 i i i i f(λ),f (λ), ,f (λ) (λ= 1,2, ,s) 均有意义，则称矩阵函数 f(A)有意义，且

(1) f(0)=PF(P-1=P f(λ)f(λ)f"(λ) 吗1(x f(J)= 矩阵函数的求法(步骤): I求出A的 Jordan标准形及变换矩阵P,PAP=J 2对于J的各 Jordan块↓求出f(u),即计算出 f(A),f(λ),…,(入) 并按照顺序构成f(), fd:(4)(f( f(J f(J 3合成f(J)= 4矩阵乘积给出f(A)=PF(UP 需要说明的是,计算结果与 Jordan标准形中 Jordan块的顺序无关

                f(J )1 f(J )2 -1 -1 f(A)= Pf(J)P = P P f(J )s ( )                       m -1 1 1 i f(λ) f (λ) f (λ) f (λ) f(J )= i i i i 2! m -1! i i m×m i i 2. 矩阵函数的求法（步骤）： 1 求出 A 的 Jordan 标准形及变换矩阵 P， -1 P AP = J 2 对于 J 的各 Jordan 块 i J 求出 i f(J ) ，即计算出 ( )  i m -1 i i i f(λ),f (λ), ,f (λ) 并按照顺序构成 i f(J )， ( )                       m -1 1 1 i f(λ) f (λ) f (λ) f (λ) f(J )= i i i i 2! m -1! i i m×m i i 3 合成       f(J )1 f(J )2 f(J)= f(J )s 4 矩阵乘积给出 -1 f(A)= Pf(J)P 需要说明的是，计算结果与 Jordan 标准形中 Jordan 块的顺序无关

1234 例1(教材P176例3-8).A 12求 [解]1°求出J及P 1100 8400 2-2-10 420 P P 16 816 16 2°求出f(A),f(入),…,升(入)并构成f() =1,m1=4f(z) f(1)=1, Z 82z=8 168-21 168 f(j) 16816 16 3°合成f(U)=f( 40 f(A)=Pf(])P-1, f(A= 说明 123 (1)o=

例 1 （教材 P176 例 3-8）.             1 2 3 4 1 2 3 A = 1 2 1 ,求 A [解] 1 o 求出 J 及 P                                     -1 1 1 0 0 8 4 0 0 2 -2 -1 0 1 1 0 4 -1 1 4 2 0 1 J = ,P = ,P = 1 1 2 -2 8 16 16 1 1 16 2 o 求出 ( )  i m -1 i i i f(λ),f (λ), ,f (λ) 并构成 i f(J ) ： λ1 1 = 1,m = 4,f(z)= z f(1)=1,    1 3 5 - - - 2 2 2 1 1 1 1 3 3 f (1)= z | = ,f (1)= - z | = - ,f (1)= z | = 2 2 4 4 8 8 z=1 z=1 z=1             1 16 8 -2 1 16 8 -2 1 f(J )= 16 8 16 16 3 o 合成 1 f(J)= f(J ) 4 o 求 -1 f(A)= Pf(J)P ，             1 1 1 1 1 1 1 f(A)= 1 1 1 说明： （1）                         2 2 1 1 1 1 1 2 3 4 1 1 1 1 2 3 [f(A)] = = = A 1 1 1 2 1 1

可见这样的√A确与A2构成反函数; (2)矩阵函数的种类不仅是我们介绍的这种,如辛矩阵。以 土i0 A 为例,以我们这里的定义,√A= 0-1 0±i/8/0 10 亦满足B2=A,即B也可以看作某种√A 二、利用零化多项式求解矩阵函数 利用 Jordan标准型求解矩阵函数的方法比较复杂,它需要求」 和P。下面我们介绍根据零化多项式求解矩阵函数的一种方法。 定律:n阶方阵A的最小多项式等于它的特征矩阵的第n个(也就是最后一个) 不变因子d(λ)。(可参见张远达《线性代数原理》P215 设n阶方阵A的不变因子反向依次为dn(λ),d(λ),…(λ)由它们 给出的初等因子分别为 (λ-4)、(λ-2),…(λ-A;(λ-),…(-);∑吗=n 。由于4(λ)/d2(λ),d2(λ)d3(λ)…,d(λ)d(λ),故 入入。必定出现在入A中 2若A(i>r)=A(j≤r)则m≤m 根据上述定理,A的最小多项式 q(λ)=(λ-λ)(λ-λ2)严…(λ-入 A的最小多项式为其零化多项式, (入-A)"(A2-A…(入|-A)=0 令m=∑吗,则可见A可以由A=AA2,,Am线性表示,从而

可见这样的 A 确与 2 A 构成反函数； （2）矩阵函数的种类不仅是我们介绍的这种，如辛矩阵。以       -1 0 A = 0 -1 为例，以我们这里的定义，       ±i 0 A = 0 ±i ，但       0 -1 B = 1 0 亦满足 2 B = A ，即 B 也可以看作某种 A 二、利用零化多项式求解矩阵函数. 利用 Jordan 标准型求解矩阵函数的方法比较复杂，它需要求 J 和 P。下面我们介绍根据零化多项式求解矩阵函数的一种方法。 定律：n 阶方阵 A 的最小多项式等于它的特征矩阵的第 n 个（也就是最后一个） 不变因子 n d (λ) 。（可参见张远达《线性代数原理》P215） 设 n 阶方阵 A 的不变因子反向依次为 n d (λ), n-1 1 d (λ), ,d(λ) ，由它们 给出的初等因子分别为 1 2 r m m m 1 2 r (λ-λ) ,(λ-λ) , ,(λ-λ) ； r+1 s m m r+1 s (λ-λ ) , ,(λ-λ) ；  s i i=1 m = n 由于 1 2 2 3 n-1 n d(λ)|d (λ),d (λ)|d (λ), ,d (λ)|d (λ) ，故 1 oλr+1 s ~λ 必定出现在 λ1 r ~λ 中； 2 o 若 λi j (i> r)=λ(j r)  则 m m i j  根据上述定理，A 的最小多项式 1 2 r m m m 0 1 2 r  (λ)=(λ-λ) (λ-λ) (λ-λ) A 的最小多项式为其零化多项式， 即 1 2 r m m m 1 2 r (λI- A) (λI- A) (λI- A) = O 令  r i i=1 m = m ，则可见 m A 可以由 0 2 m-1 A =I,A,A , ,A 线性表示，从而

A(λ>0)亦可由A°=1A,A2,…Am线性表示所以矩阵函数f(A若存在, 也必定可由A0~Am线性表示 因此我们定义一个系数待定的m-1次多项式g(A)=∑cN根据以上论述 适当选择系数。o"cn,就可以使f(A)=g(A) 又,假设JP分别为A的 Jordan标准形及相应变换矩阵:A=PJP1 f(A)=Pf()P,g()=Pg(UP1→f0)=9(→f()=g(u) f(A)=g(A)f(A)=g(A),…,f?(λ)=g"(A)(i=1,…,r) 由于g(A)为待定系数的多项式,上面就成为关于cocm1的线性方程组。 且方程的个数为m=∑m等于未知数个数,正好可以确定cocm1 由此给出根据最小多项式求矩阵函数的一般方法。 1°求出最小多项式 q(λ)=d(λ)=(入-入)(A-2)…(λ-A),∑吗m (或者特征多项式()=(A-入)(入-A2)…(A-,∑吗=n) 2°形式上写出待定多项式 )=∑cN=+c+2+…+。n (或者g(A)=∑c=c+oλ+o2+…+on 3°求解关于ccn1的线性方程组 g"()=f0(A)k=012:12,r)

m+i A (λ> 0) 亦可由 0 2 m-1 A =I,A,A , ,A 线性表示。所以，矩阵函数 f(A)若存在， 也必定可由 0 m-1 A ~ A 线性表示。 因此，我们定义一个系数待定的(m-1)次多项式  m-1 i i i=0 g(λ)= cλ ，根据以上论述， 适当选择系数 0 m-1 c ~ c ，就可以使 f(A)=g(A). 又，假设 J,P 分别为 A 的 Jordan 标准形及相应变换矩阵： -1 A = PJP 则 -1 f(A)= Pf(J)P ， -1 g(A)= Pg(J)P → f(J)=g(J) → i i f(J )= g(J )    i i (m -1) (m -1) i i i i i i f(λ)= g(λ),f (λ)= g (λ), ,f (λ)= g (λ) (i= 1,2, ,r) 由于 g(A)为待定系数的多项式，上面就成为关于 c ~ c 0 m-1 的线性方程组。 且方程的个数为  r i i=1 m = m 等于未知数个数，正好可以确定 c ~ c 0 m-1 由此给出根据最小多项式求矩阵函数的一般方法。 1 o 求出最小多项式 1 2 r  r m m m 0 n 1 2 r i i=1  (λ)= d (λ)=(λ-λ) (λ-λ) (λ-λ) , m = m ； （或者特征多项式 1 2 r  r n n n 1 2 r i i=1 (λ)=(λ-λ) (λ-λ) (λ-λ) , n = n ） 2 o 形式上写出待定多项式  m-1 i 2 m-1 i 0 1 2 m-1 i=0 g(λ)= cλ= c + cλ+ cλ + + c λ （或者  n-1 i 2 n-1 i 0 1 2 n-1 i=0 g(λ)= cλ= c + cλ+ cλ + + c λ ） 3 o 求解关于 0 m-1 c ~ c 的线性方程组 (k) (k) i i g (λ)= f (λ) i ( ) k = 0,1,2, ,m;i= 1,2, ,r

(或者k=01,2,…n;=12…;r) 4°求出qA),即可得f(A)=g(A) 从推导的过程看,似乎不仅最小多项式可用于矩阵函数的计算,一般的零化多项 式也可以,其中以特征多项式最为方便。 例2.采用新方法计算A= 的函数A。(f(λ)=A) 解1°g(λ)=g(λ)=(λ-1)4.m1=4=m=n,入=1 2g(λ)=c+c+c2+o3 3°方程组为 g(1)=f(1)=1=c+c1+c2+c3g(1)=f(1)==c1+2a2+30 g"(1)=f"(1)=-=2c2+ g(1)=f"()3=69 5 155 1616 4°g(A)=(5|+15A-5A2+A3) 16 141020 162156 4103 621

（或者 i k = 0,1,2, ,n;i= 1,2, ,r ） 4 o 求出 g(A)，即可得 f(A)=g(A). 从推导的过程看，似乎不仅最小多项式可用于矩阵函数的计算，一般的零化多项 式也可以，其中以特征多项式最为方便。 例 2. 采用新方法计算               1 2 3 4 1 2 3 A = 1 2 1 的函数 A 。（ f(λ)= λ ） [解] 1 o 4 0   (λ)= (λ)=(λ- 1) . 1 1 m = 4 = m = n,λ = 1 ； 2 o 2 3 0 1 2 3 g(λ)= c + cλ+ cλ + cλ 3 o 方程组为 0 1 2 3 g(1)= f(1)= 1= c + c + c + c   1 2 3 1 g (1)= f (1)= = c + 2c + 3c 2   2 3 1 g (1)= f (1)= - = 2c + 6c 4   3 3 g (1)= f (1)= = 6c 8 → 3 2 1 0 1 5 15 5 c = ,c = - ,c = ,c = 16 16 16 16 4 o 1 2 3 g(A)= (5I+ 15A - 5A + A ) 16               1 4 10 20 1 4 10 2 A = 1 4 1 ，               1 6 21 56 1 6 21 3 A = 1 6 1

50001「153045601「520501001「162156 500 153045 52050 1621 fA 16 1530 520 5 5 与 Jordan标准形方法完全—致。 作业:P1636

                                                              5 0 0 0 15 30 45 60 5 20 50 100 1 6 21 56 1 5 0 0 15 30 45 5 20 50 1 6 21 f(A)= + - + 16 5 0 15 30 5 20 1 6 5 15 5 1 =             1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 与 Jordan 标准形方法完全一致。 作业： P163 6