第妥章定載 第五节广义积分 本节知识 引入 本节目的 与要求 本点.元穷区间上的广义积分 本节复习 指 ⅠI.无界函数的广义积分 后退 出 第1页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 1 页 第五节 广 义 积 分 I. 无穷区间上的广义积分 II.无界函数的广义积分 第五章 定积分 后退 目录 主 页 退 出 本节知识 引入 本节目的 与要求 本节重点 与难点 本节复习 指导
第量广义积 I.无穷区间上的广义积分 本节 知识 引入 本节 、预备知识 目的 求 本节 1定积分的概念 重点 与难 点 2极限的概念及计算方法 本节 指导 3牛顿莱布尼兹公式 后退 第2页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 2 页 I. 无穷区间上的广义积分 一、预备知识 1.定积分的概念 3.牛顿-莱布尼兹公式 2.极限的概念及计算方法 第五节 广 义 积 分 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第量广义积 二、无穷区间上的广义积分 本节 级定义1设函数f(x)在区间[a,+∞)上连续,取 本节 盟b>a,如果极限lm「f(x)存在,则称此极 求 b→+Ja 限为函数f(x)在无穷区间[a,+∞)上的广义积 与难 点 本节 分,记作f(x)x. 指导 + b f(x)dx= lim f(x)dx b→ +oo da 当极限存在时,称广义积分收敛;当极限不存在 后退 时,称广义积分发散 第3页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 3 页 定 义 1 设函数 f (x) 在区间[a,+)上连续，取 b a，如果极限 →+ b b a lim f (x)dx存在，则称此极 限为函数 f (x) 在无穷区间[a,+) 上的广义积 分，记作 + a f (x)dx. + a f (x)dx →+ = b b a lim f (x)dx 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散. 二、无穷区间上的广义积分 第五节 广 义 积 分 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第量广义积 类似地可f(x)在(-∞,b上的广义积分,为: 本节 b 知识 b 引入 f(xdx=lim f(x)dx a→)-0a 本节 而f(x)在区间(,+)上的广义积分为: 本节 重点 ToO HOO 与难 f(x)dx="f(x)t+「f(x) 点 a 本节 翻=limf(x)dx+li b a→-0· lim o f()dx 极限存在称广义积分收敛;否则称广义积分发散 后退 (其中a为任意常数) 第4页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 4 页 类似地可 f (x)在(− ,b]上的广义积分，为： − b f (x)dx →− = b a a lim f (x)dx 而 f ( x)在区间(−,+)上的广义积分为： − = a f (x)dx + − f (x)dx + + a f (x)dx →− = 0 lim ( ) a a f x dx →+ + b b f x dx 0 lim ( ) 极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散. （其中 a 为任意常数） 第五节 广 义 积 分 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第广义令 coax 本节 例1计算广义积分J1+∵ 知识 引入 本节 解 oo e d x 1c+∞d(x2+1) 目的 01+x22J01+r 求 本节 重点 与难 =,n(1+x2)=+0 点 本节 ao 指导 广义积分1+2 发散 后退 第5页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 5 页 例1 计算广义积分 解 . 0 1 2 + + x xdx + 0 + 2 1 x xdx + + + = 0 2 2 1 ( 1) 2 1 x d x + = + 0 2 [ln(1 )] 2 1 x = + 广义积分 + 0 + 2 1 x xdx 发散 第五节 广 义 积 分 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第广义令 例2计算广义积分 本节 ∫= J∞1+x 知识 引入 本节 目的 解 d x 0 dx dx 1+x27J1+x2 01+x 求 本节 重点 与难 lim ,1+m「,1 d x 2 点 a→-aa1+y b→)+ 1 本节 a=lim[arctan x]+ lim [arctanx1 b→)+0 π.兀 =-lim arctan a t lim arctan T。 a→ b→+0 2)2 后退 士页下页返回 第6页
上页 下页 返回 第 6 页 例2 计算广义积分 + − + 2 1 x dx 解 + − + 2 1 x dx − + = 0 2 1 x dx + + + 0 2 1 x dx + = →− 0 2 1 1 lim a a dx x + + →+ b b dx x 0 2 1 1 lim 0 lim arctan a a x →− = b b arctan x 0 lim →+ + a a lim arctan →− = − b b lim arctan →+ + . 2 2 = + = − − 第五节 广 义 积 分 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第广义令 例3计算广义积分「xex 本节 知识 引入 0 本节 目的 解「xc=「xl(e2) 求 PO 本节 重点 =lxeP。-ed 与难 点 本节 trejo Ixe。-lexp 指导 = lim(-xe-1+e) aO 后退 士页下页返回 第7页
上页 下页 返回 第 7 页 例3 计算广义积分 解 − 0 xe dx x − 0 xe dx x − = 0 ( ) x xd e − = − − 0 0 [xe ] e dx x x 0 0 [ ] [ ] = − − − x x xe e lim ( 1 ) x x x = −xe − + e →− = −1 第五节 广 义 积 分 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第量广义积 I.无界函数的广义积分 本节 定义2设函数f(x)在区间a,b)上连续,而 imf(x)=设<如果极限 求 →b 本节 重点 imf(x)dx=∞, 与难 2→bJa2 点 福存在则称此极限为函数f(x)在区间ab)上的 指导 b 广义积分,记作f(x),即 redx=lim/ f(x)dc 后退 第8页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 8 页 定义 2 设函数 f (x) 在区间[a,b) 上连续，而 lim ( ) = , → − f x x b 设 b,如果极限 lim ( ) = , → − b a f x dx 存在，则称此极限为函数f (x) 在区间[a,b) 上的 广义积分，记作 b a f (x)dx，即 b a f (x)dx → − = b a lim f (x)dx II. 无界函数的广义积分 第五节 广 义 积 分 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第量广义积 当极限存在时,称广义积分都收敛;当极 限不存在时,称广义积分发散。 本节 知识 引入 类似地,当lm∫(x)=∞时,定义: 本节 目的 x→a b 求 f(x)dx= lim f(x)dx,(E>a) 本节 重点 与难 如果∫(x)在{a,b上除c点外都连续 点 本节 (a<c<b),且lim∫(x)=∞,则定义: 指导 x→c b f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx C 当上式右边两个广义积分都收敛时,称广 后退 义积分收敛 士页下页返回 第9页
上页 下页 返回 第 9 页 类似地，当 = → + lim f ( x) x a 时，定义： f (x)dx lim f (x)dx, ( a) b a b a = → + . 如 果 f (x) 在[a,b] 上 除 c 点外都连续 (a c b)，且lim ( ) = , → f x x c 则定义： = + b a c a b c f (x)dx f (x)dx f (x)dx 当上式右边两个广义积分都收敛时，称广 义积分收敛。 当极限存在时，称广义积分都收敛；当极 限不存在时，称广义积分发散。 第五节 广 义 积 分 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第广义令 dx 例4计算广义积分-x 知识 引入 本节 解 lim 目的 xH1-x2=+∞ 求 本节 x=1为被积函数的无穷间断点 重点 与难 点 本节 =m 指导 1-x25rJ1-x2 lim [arcsin xb=lim [arcsin 5-0] ξ→1 →+1 2 后退 第10页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 10 页 例4 计算广义积分 解 − 1 0 2 1 x dx , 1 1 lim 2 1 = + − → − x x x = 1为被积函数的无穷间断点. → − = − 0 2 1 1 lim x dx → − = 0 1 lim arcsin x limarcsin 0 1 = − → − . 2 = − 1 0 2 1 x dx 第五节 广 义 积 分 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导