第六节 空间曲线及其方程
第六节 空间曲线及其方程
本节必须掌握哪些内容? 。空间曲线方程的两种表示形式 般方程和参数方程 二。已知空间曲线,如何求该曲线在坐 标面上的投影曲线? 三。已知立体或曲面,如何求它们在坐标 面上的投影? 四。简单的立体或曲面的作图
本节必须掌握哪些内容？ 一。空间曲线方程的两种表示形式： 一般方程和参数方程 二。已知空间曲线，如何求该曲线在坐 标面上的投影曲线？ 三。已知立体或曲面，如何求它们在坐标 面上的投影？ 四。简单的立体或曲面的作图
。空间曲线方程的两种形式 般方程 F(x,y,z)=0 G(x)=0/理解成两曲面的交线。 x=0( 参数方程:y=W( z=0(t 消去空间曲线参数方程中的参数t,可将参数方程化为一般 方程; 在空间曲线一般方程中引入参数t,可将一般方程化为参 数方程,因引入的参数可以不同
一。空间曲线方程的两种形式： 一般方程： = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 G x y z F x y z 理解成两曲面的交线。 参数方程： = = = ( ) ( ) ( ) z t y t x t 消去空间曲线参数方程中的参数t，可将参数方程化为一般 方程； 在空间曲线一般方程中引入参数t，可将一般方程化为参 数方程，因引入的参数可以不同，一般方程对应的参数方 程不是唯一的
X+y+2 9 例:将曲线 的一般方程化为参数方程。 曲面方程也可以写成参数方程:空间曲线的参数方程 x=x(u, v) x=o(t ∫F(xy2=)=0 y=()F(xy=)=01y=w)4 G(x,y,z)=0 2=2(.1 z=o(t) 比较空间曲线的参数方程和曲面的参数方程,可以看出 空间曲线的参数方程中只有一个参数; 曲面的参数方程中包含两个参数
曲面方程也可以写成参数方程： = = = ( , ) ( , ) ( , ) z z u v y y u v x x u v 比较空间曲线的参数方程和曲面的参数方程， 空间曲线的参数方程中只有一个参数； 曲面的参数方程中包含两个参数。 例 ：将曲线 = + + = y x x y z 9 2 2 2 的一般方程化为参数方程。 = = = ( ) ( ) ( ) z t y t x t 空间曲线的参数方程 F(x, y,z) = 0 = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 G x y z F x y z 可以看出：
x2+y2=1 例1方程组 表示怎样的曲线? 2x+3y+3z=6 解 2 x ty 2=1表示圆柱面 2x+3y+3z=6表示平面, 2 2 x+ 2x+3y+3z=6 交线为椭圆
例1 方程组 表示怎样的曲线？ + + = + = 2 3 3 6 1 2 2 x y z x y 解 1 2 2 x + y = 表示圆柱面， 2x + 3y + 3z = 6 表示平面， + + = + = 2 3 3 6 1 2 2 x y z x y 交线为椭圆
例2方程组 2)+/2表示怎样的曲线? 解z= 上半球面 a￥3+y 圆柱面, 2 4 交线如图
例2 方程组 表示怎样的曲线？ − + = = − − 4 ) 2 ( 2 2 2 2 2 2 a y a x z a x y 解 2 2 2 z = a − x − y 上半球面, 4 ) 2 ( 2 2 2 a y a x − + = 圆柱面, 交线如图
例3如果空间一点M在圆柱面x2+y2=a2上以 角速度绕z轴旋转,同时又以线速度沿平行 轴的正方向上升(其中、v都是常数),那么点 M构成的图形叫做螺旋线.试建立其参数方程 解 取时间参数,动点从A点出 发,经过时间,运动到M点 M在xoy面的投影M(x,y,0 x=acos ot y=asina z= vt
动点从A点出 发，经过t时间，运动到M点 例 3 如果空间一点M 在圆柱面 2 2 2 x + y = a 上以 角速度 绕z 轴旋转，同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升（其中 、v 都是常数），那么点 M 构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程． A • M M M 在xoy面的投影M(x, y,0) x = acost y = asint z = vt t 螺旋线的参数方程 取时间t为参数， 解 x y z o
螺旋线的参数方程还可以写为 x=acos y=asine z=be (6=at,b= 旋转一圈上升的高度h=2b 消去参数O可得螺旋线的一般方程: x ty=a =arcsin
螺旋线的参数方程还可以写为 = = = z b y a x a sin cos ( , ) v = t b = 旋转一圈上升的高度 h = 2b 称为螺距 消去参数 可得螺旋线的一般方程： = + = a y z b x y a arcsin 2 2 2
空间曲线在坐标面上的投影 设有空间曲线C:F(x,y=)=0 G(x,y2)=0 以C为准线,母线平行于轴的柱面被称为C关于XOY坐标面 的投影柱面; 投影柱面与XOY面的交线称为C在XOY面上的投影。 在(1)中消去z,得母线平行于轴的柱面 H(x,y)=0,(2)
二。空间曲线在坐标面上的投影 设有空间曲线C： = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 G x y z F x y z 以C为准线，母线平行于z轴的柱面被称为C关于XOY坐标面 的投影柱面； 投影柱面与XOY面的交线称为C在XOY面上的投影。 （1） 在（1）中消去z，得母线平行于z轴的柱面 H(x, y) = 0,(2)
C:F(xy,=)=0 H(x,y)=0,(2) G(x,y,z)=0 注意到如果xy,满足(1)必有xy满足(2),因 此C必定在(2)上。 那就是说(2)是包含空间曲线C关于XOY的投影柱 面的一个柱面,从而曲线 「H(x,y)=0 是包含C在XOY面上的投影曲线 0 类似地:可定义包含C在其他坐标面上的投影曲线 yO面上的X0面上的 ∫R(y,z)=0 T(x,z)=0 x=0 J 0
注意到如果x,y,z满足（1）必有x,y满足（2），因 此C必定在（2）上。 = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 G x y z F x y z （1） H(x, y) = 0,(2) = = 0 ( , ) 0 z H x y 是包含C在XOY面上的投影曲线。 C： 类似地：可定义包含C在其他坐标面上的投影曲线 = = 0 ( , ) 0 x R y z = = 0 ( , ) 0 y T x z yoz 面上的投影曲线, xoz 面上的投影曲线, 那就是说（2）是包含空间曲线C关于XOY的投影柱 面的一个柱面，从而曲线
