第7章 多元函数微分法及其应用 第一节多元函数的基本概念
第7章 多元函数微分法及其应用 第一节 多元函数的基本概念
第7章多元函数微分法及其应用 第一节多元函数的基本概念 多元函数和一元函数中一些基本概念的比较 元函数 二元(多元)函数z/z=f(x,y),(x,y)?D ly /y= f(x),x? DI 邻域 邻域 6(x0)={x/x U(F0) x0)2+(y-y0)2 或U(p0)=P/Pl< 去心邻域 U(B)={(x,y)/0<√(x-x0)2+(y-y0)2< (x0)={x/0< <6 或U(2)=(P/0<| 如果对于x?E,存在)如果对于x?E,存在mB)使)?E 使x)?E称x为集合E 称x。为集合E的内点 的内点 如果E内每一点都是内点如果E内每一点都是内点称E为开集 称E为开集
第7章 多元函数微分法及其应用 第一节 多元函数的基本概念 一．多元函数和一元函数中一些基本概念的比较 一元函数 {y / y = f(x), x ? D} 二元（多元）函数{z / z = f(x, y),(x, y) ? D} 邻域 d(x0 ) = {x /x - x0 < d} 邻域 ( ) {( , )/ ( ) ( ) } 2 0 2 U P0 = x y x - x0 + y - y < d 或U(p0 ) = {P /PP0 < d} 去心邻域 d( 0 ) = { / 0 < - 0 < d} ? x x x x ( ) {( , )/ 0 ( ) ( ) } 2 0 2 0 = < - 0 + - < d ? U P x y x x y y 或U(P0 ) ? ={P / 0 < PP0 < d} 如果对于x0 ? E ，存在d(x0 ) 使d(x0 )? E称x0为集合 E 的内点 如果对于 x0 ? E ，存在U(P0 )使U(P0 )? E 称x0 为集合 E 的内点 如果 E内每一点都是内点 称 E 为开集 如果 E 内每一点都是内点称 E 为开集
如果开集E内任意两如果开集E内任意两点都可用折线 点都可用折线连接且连接且该折线上的点都属于E称E 该折线上的点都属于 为连通集 E称E为连通集 连通的开集称区间(开连通的开集称区域(开区域) 区间) 点x的任一邻域内既点x的任一邻域内既有E的内点又 有E的内点又有E外有E外的点,称x为E的边界点 的点,称。为E的边界 点 区间与其边界点的和区域与其边界点的和集称闭区域 集称闭区间 存在正数K,使一切存在正数K,使一切P?E与某定点 P?E与某定点A的距 A的距离a?K 离A?K的点集称有有界点集E,否则称E为无界点集 界点集E
如果开集 E 内任意两 点都可用折线连接且 该折线上的点都属于 E 称 E 为连通集 如果开集 E 内任意两点都可用折线 连接且该折线上的点都属于 E 称 E 为连通集 连通的开集称区间（开 区间） 连通的开集称区域（开区域） 点x0的任一邻域内既 有 E 的内点又有 E 外 的点，称x0为 E 的边界 点 点x0 的任一邻域内既有 E 的内点又 有 E 外的点，称 x0 为 E 的边界点 区间与其边界点的和 集称闭区间 区域与其边界点的和集称闭区域 存在正数 K，使一切 P? E 与某定点 A 的距 离 AP ? K 的点集称有 界点集 E 存在正数 K，使一切 P? E 与某定点 A 的距离 AP ? K 有界点集 E，否则称 E 为无界点集
关于n维空间和n元函数的一些概念 1.n维空间:称有序n元(x1,x2,,x)数组的全体为 n维空间,记作R 2.n维空间中两点P(x1,x2,x) 及Qy1,y2y)之间的距离 PC|=V(y1-x1)2+(y2-x2)2+.+ 3。n维空间中,点2的δ邻域记作 (Po,)={/PB<6,P?R
二．关于 n 维空间和 n 元函数的一些概念 1．n 维空间：称有序 n 元(x1 ,x2 ,..., xn )数组的全体为 n 维空间，记作 n R 2．n 维空间中两点 P(x1 ,x2 ,..., xn ) 及Q(y1 , y2 ,...yn )之间的距离 2 2 2 2 2 PQ = (y1 - x1 ) + (y - x ) + ... + (yn - xn ) 3。 n 维空间中，点P0的d 邻域记作： ( 0 , ) { / 0 , } n U p d = P PP < d P ? R
4.n元函数定义为u=(x,x2,.x),简记为u=f), 其中P(x1,x2,.,x)?D,这里D为n元函数的定义域。 5.二元函数z=fx,y),(x,y)?D 确定了一个空间点集:(x,y,2)/z=f(x,y),(x,y)?D), 这个点集称为二元函数的图形,二元函数的图形是一张曲 面 例:求下列函数的定义域: (1)((x,y)/y2-2x+1>0} (2)(x,y)/x+y>0,x-y>0
4．n 元函数定义为 u = f(x1 ,x2 ,...xn )，简记为u = f(P)， 其中P(x1 ,x2 ,...,xn )? D ，这里 D 为 n 元函数的定义域。 5．二元函数 z = f(x, y)，(x, y) ? D 确定了一个空间点集： {(x, y,z)/ z = f(x, y),(x, y) ? D}， 这个点集称为二元函数的图形，二元函数的图形是一张曲 面。 例：求下列函数的定义域： （1）{(x, y)/ 2 1 0 2 y - x + > } （2）{(x, y)/ x + y > 0,x - y > 0}
(3)(x,y)/x?o,y?o,x2?y) (4)(x,y)/y-x>0,x?0,x2 (5)(x,y,2)/x20,当 0<x-x0<6,总有f(x)-<E成立
（3）{( , )/ 0, 0, } 2 x y x ? y ? x ? y （4）{( , )/ 0, 0, 1} 2 2 x y y - x > x ? x + y ? （5）{( , , )/ } 2 2 2 2 2 x y z r 0 ，存在 d > 0 ，当 0 < x - x0 < d ， 总有 f(x) - A < e 成立
(注意:x?x0意味着点x沿着两个方向趋于x,既是 x?x0+0又是x?x0-0) 二元函数的极限x?x0(x,y)=A?任取>0, 存在δ>0,当0<√(x-x)2+(y-y0)2<6, 总有(x,y)-l|<g成立 (注意:点(xny)的δ邻域是一个园形区域,邻域内的点 (x,y)趋于点(x0,y)的方向和路径都有无穷多个,仅当沿所 有的方向和所有的途径趋于点(xy)时的极限都存在且都 等于A时,才能说二元函数的极限x?x0f(x,y)=A
（注意：x x0 ? 意味着点x 沿着两个方向趋于 x0，既是 x ? x0 + 0又是x ? x0 - 0） 二元函数的极限 0 0 lim y y x x ? ? f(x, y)=A? 任取e > 0， 存在d > 0，当 < - + - < d 2 0 2 0 (x x0 ) (y y ) ， 总有 f(x, y) - A < e 成立。 （注意：点(x0 , y0 )的d 邻域是一个园形区域，邻域内的点 (x, y)趋于点(x0 , y0 )的方向和路径都有无穷多个，仅当沿所 有的方向和所有的途径趋于点(x0 ,y0 )时的极限都存在且都 等于 A 时，才能说二元函数的极限 0 0 lim y y x x ? ? f(x, y)=A
多元函数的极限1(2=A?任取。>0, Po 存在δ>0,当0<P2|<,总有 f(P)-A< 8, 其中是n维空间的一点。 例1:证明1m x,y)?0o0fx,y)不存在 (1)f(x,y)=x+p2x2+y2?0 0 (2)f(x,y)
多元函数的极限 0 lim p ? P f(P)=A? 任取e > 0， 存在d > 0，当0 < PP0 < d ，总有 f(P) - A < e ， 其中P0是 n 维空间的一点。 例 1：证明( , ) (0,0) lim x y ? f(x, y)不存在 （1）f(x, y)= 0, 0 , 0 2 2 2 2 2 2 + = + ? + x y x y x y xy （2） 2 2 2 2 2 ( ) ( , ) x y x y x y f x y + - =
11m 11m 证:) x? 0, y= kx f(x, y) x? 0, y= kx x+ 11m kx k 其值随K而定, x?0x2+k2x21+k 11m 因此 f(x,y)不存在 (x,y)?(0,0) (2) m x? 0,y= kx lim k-x 1,k=1 11m 因此 不 x?0k2x4+(1-k)2x20,k?1 f(x, y) (x,y)?(0,0) 存在
证：（1）x ? 0, y = kx lim f(x, y)= x ? 0, y = kx lim 2 2 x y xy + = 0 lim x ? 2 2 2 2 x k x kx + = 2 1 k k + ，其值随 K 而定， 因此( , ) (0,0) lim x y ? f(x, y)不存在 （2）x ? 0, y = kx lim 2 2 2 2 2 x y (x y) x y + - = 0 lim x ? 2 4 2 2 2 4 k x (1 k) x k x + - = 0, 1 1, 1 ? = k k ，因此( , ) (0,0) lim x y ? f(x, y)不 存在
例2:设r(x,y)=(x2+y2)sin (x2+ 求证: lim (x,y)?0of(x,y)=0 证:任给E>0,由r y)S ?x2+y2<可知,只要取。=√E, 那末当0<√x-02+(-02<6时,必有r(x,y)-0<E 证毕 四.多元函数的连续性 如果 lim (x,y)?(x(x,y)=1(x,y0),则称函数r(x,y)在点 B(xn,y)连续,否则称。(xny)是函数f(x,y)的间断点。例如 y2-2x=0是函数z=y+2的间断点(是一条曲线)
例 2：设 2 2 2 2 1 ( , ) ( )sin x y f x y x y + = + ，( 0) 2 2 x + y ? 求证：( , ) (0,0) lim x y ? f(x, y)=0 证：任给 e > 0，由 f(x, y) - 0 = 0 1 ( )sin 2 2 2 2 - + + x y x y 2 2 ? x + y < e 可知，只要取 d = e ， 那末当 < - + - < d 2 2 0 (x 0) (y 0) 时，必有 f(x, y) - 0 < e ， 证毕。 四．多元函数的连续性 如果( , ) ( , ) lim x y x0 y0 ? f(x, y)= f(x0 , y0 )，则称函数 f(x, y)在点 P0 (x0 , y0 )连续，否则称P0 (x0 , y0 )是函数f(x, y)的间断点。例如， 2 0 2 y - x = 是函数 y x y x z 2 2 2 2 - + = 的间断点（是一条曲线）