第四节全微分及其应用 全微分的定义 区分二元函数的几个基本概念: 二元函数z=f(x,y)在点P(x,y关于自变量增量△x和△y 的全增量为 △z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y 2.二元函数z=x,y)在点Pxy关于自变量增量Ax的偏 增量为f(x+Ax,y)-f(x,y) 二元函数z=f(x,y)在点Px,y)关于自变量增量△y的 偏增量为 f(x,y+△y)-f(x,y)
第四节 全微分及其应用 一。 全微分的定义 区分二元函数的几个基本概念： 1．二元函数z = f(x, y)在点P(x, y)关于自变量增量 Dx 和Dy 的全增量为 Dz =f(x + Dx, y + Dy) - f(x, y) 2．二元函数 z = f(x, y)在点P(x, y)关于自变量增量 Dx 的偏 增量为 f(x + Dx, y) - f(x, y) 二元函数 z = f(x, y)在点P(x, y)关于自变量增量 Dy 的 偏增量为 f(x, y + Dy) - f(x, y)
3.二元函数=f(x,y在点p(x,y)关于自变量增量Ax的偏微 分为f(x,y)△x 二元函数z=f(x,y)在点Px,y)关于自变量增量△y的偏 微分为f,(x,y)△y (其中,x2(x,y)和fy是z=f(xy)分别关于变量x和变量 y的偏导数) 根据一元函数中,函数增量与函数微分的关糸 △y=3x△x+aAx=dy+o(Ax)可知,当x?0时,ay-ay?0 下面讨论二元函数z=(x,y在点x,y)可微及全微分的概念:
3．二元函数z = f(x, y)在点P(x, y)关于自变量增量Dx 的偏微 分为fx (x, y)Dx 二元函数 z = f(x, y)在点P(x, y)关于自变量增量 Dy 的偏 微分为 fy (x, y)Dy （其中，fx (x, y)和fy (x, y)是z = f(x, y)分别关于变量x 和变量 y 的偏导数） 根据一元函数中，函数增量与函数微分的关糸 Dy = f(?x0 )Dx + aDx = dy + o(Dx)可知，当Dx ? 0 时，Dy -dy ? 0 下面讨论二元函数z = f(x, y)在点(x, y)可微及全微分的概念：
定义 如果函数 的全增量 △z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y) 可表示为Az=Ax+BAy+o),其中A,B不依赖于△x,Ay 而仅与x,y有关,p=√△x2+△2,则称函数=f(x,y)在 点(x,y)可微分,而 d=Ax+BAy,称为函数z=f(x,y)在点x;y)的全微分。 如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点处都可微分,那末称 函数在D内可微分
如果函数z = f(x, y)在区域 D 内每一点处都可微分，那末称 函数在 D 内可微分。 定义 如果函数 z = f(x, y) 的全增量 Dz =f(x + Dx, y + Dy) - f(x, y) 可表示为Dz = ADx + BDy + o(r)，其中A，B 不依赖于Dx ，Dy 而仅与x ，y 有关， 2 2 r = (Dx) + (Dy) ，则称函数z = f(x, y)在 点(x, y)可微分，而 dz =ADx + BDy ，称为函数 z = f(x, y)在点(x, y)的全微分
函数在点(x3y)连续,偏导数存在,可微及偏导数连续之间 有如下的关系: 偏导数连续→可微x连续 y偏导数存在 反之不成立(对于一元函数,可导和可微是等价的) 定理1。可微必连续 证:可微?△z=f(x+△x,y+△y)+,y)=MAx+By+0p, 其中p=√4x2+△y)2, lim 1 因此△x?0△z=0,即△x?0r(x+△x,y+△y)r(x,y), △y?0 证毕
函数在点(x,y)连续，偏导数存在，可微及偏导数连续之间 有如下的关系： 偏导数连续→可微↗连续 ↘偏导数存在 反之不成立（对于一元函数，可导和可微是等价的） 定理 1。可微必连续 证：可微 ? Dz =f(x + Dx, y + Dy) - f(x, y)=ADx + BDy +o(r)， 其中 2 2 r = (Dx) + (Dy) ， 因此 0 0 lim D ? D ? y x Dz = 0，即 0 0 lim D ? D ? y x f(x + Dx, y + Dy) = f(x, y)， 证毕
定理2。可微?偏导数2,2必存在,且在=x+BMy中, B= 因此,全微分a=20△x+2△y3 (因为自变量的增量就等于自变量的微分,即 Ax=ax,Ay=y,因此,函数-r(x,y在点(x,的全微分 12=2△x+2△y也可写成a=2ax+22ay,三元函数的全 2x 微分则为au ? Qu dy+ dz 2x 9z
定理 2。可微? 偏导数 x z ? ? ，y z ? ? 必存在，且在dz =ADx + BDy 中， A= x z ? ? ，B= y z ? ? 因此，全微分dz = x z ? ? Dx + y z ? ? Dy （因为自变量的增量就等于自变量的微分，即 Dx = dx, Dy = dy ，因此，函数z = f(x, y)在点(x, y)的全微分 dz = x z ? ? Dx + y z ? ? Dy 也可写成dz = x z ? ? dx + y z ? ? dy ，三元函数的全 微分则为 dz z u dy y u dx x u du ? ? + ? ? + ? ? = ）
证:可微?△z=f(x+Ax,y+△y)-f(x,y)=Ax+BAy+o(p), 特别,当△x=0或Ay=0时,上式也成立,并分别成为: f(x,y+△y)-f(x,y)=B△y+o(△y f(x+ Ax, y)- f(x, y)= AAx O(Ax) 分别除以△y或△x以后,两边令△?0或△x?0求极限,可 得A ,证毕 定理3。偏导数22,22连续必可微 2x 证略,有兴趣可见P。24(较难)
证：可微 ? Dz =f(x + Dx, y + Dy) - f(x, y)=ADx + BDy +o(r)， 特别，当 Dx =0 或Dy =0 时，上式也成立，并分别成为： f(x, y + Dy) - f(x, y) = BDy + o(Dy) f(x + Dx, y) - f(x, y) = ADx + o(Dx) 分别除以Dy 或Dx 以后，两边令Dy ? 0 或Dx ? 0 求极限，可 得 A= x z ? ? ，B= y z ? ? ，证毕 定理 3。偏导数 x z ? ? ， y z ? ? 连续必可微 证略，有兴趣可见 P。24（较难）
值得注意的是应该知道要证明z=f(x,y)在点(x,y)可微, 就是要证明 11m Az-2=0,也就是证明 11m f(x+△x,y+△y)-f(x,y) △x?0 9f(xy△x-8y)△y=0 △y?0 (△x)2+/(△y) 例1.证明函数z=f(x,y)=√x2+y 0,x2+ 在点(0,0)的偏导数存在但在该点不可微。 证 11m f(0+△x,0)-(0,0) f.(0 0,同理,0=0 △x?0 △x
值得注意的是应该知道要证明z = f(x, y)在点(x, y)可微， 就是要证明 0 lim r ? r Dz - dz =0，也就是证明 0 0 lim D ? D ? y x 2 2 ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x y f x x y y f x y fx x y x fy x y y D + D + D + D - - D - D =0 例 1．证明函数 z = f(x, y) = 0, 0 , 0 2 2 2 2 2 2 + = + ? + x y x y x y xy 在点（0，0）的偏导数存在但在该点不可微。 证：f x (0,0)= 0 lim Dx ? x f x f D (0 + D ,0) - (0,0) =0，同理，f y (0,0)=0
△z-az=[f(0+△x0+△y)-f(0,0)]-[f2(0,0)△x+fy(0,0)△y1 11m △x△y 11 △z aZ △x?△y △x?0 △x)2+(△y) (△x)2+(△y) △y?0 lim 注意到△x?0 k(△x) ?0(随k而变) (1+k2)(△x) △y=k△ 因此所给函数在点(0,0)不可微。 由此可见,函数在某点可微保证了函数在该点 的一阶偏导数必定存在;反之,函数在某点的 阶偏导数存在,不能保证函数在该点可微
Dz - dz = [f(0 + Dx,0 + Dy) - f(0,0)]-- [fx (0,0)Dx + fy (0,0)Dy] = 2 2 ( x) ( y) x y D + D D D ， 0 lim r ? r Dz - dz = 0 0 lim D ? D ? y x 2 2 ( x) ( y) x y D + D D ? D 注意到 y k x x D = D D ? 0 lim 2 2 2 (1 )( ) ( ) k x k x + D D = 2 1 k k + ? 0（随k 而变）， 因此所给函数在点（ 0，0）不可微。 由此可见，函数在某点可微保证了函数在该点 的一阶偏导数必定存在；反之，函数在某点的 一阶偏导数存在，不能保证函数在该点可微
x2+y2?0 例2.证明函数z=f(x,y)=√x2+y 0 在点(0,0)连续。①P。13第8题) 证:(x-py2 ?0? x+y ) 由r(x,y)-f0,0) Xy 0? x2+y20,当0<√x-02+0-02< 时 必有 0<,证毕 √x+y 由例1和例2的结论可见,二元函数即使在某点连续,偏导数也 存在,还是不能肯定函数在该点可微
例 2．证明函数 z = f(x, y) = 0, 0 , 0 2 2 2 2 2 2 + = + ? + x y x y x y xy 在点（0，0）连续。（P。13 第 8 题） 证： ( ) 2 1 ( ) 0 2 2 2 x - y ? ? xy ? x + y ， 由 ( , ) (0,0) 0 2 2 - + - = x y xy f x y f ? + 0，当 < - + - < d 2 2 0 (x 0) (y 0) 时， 必有 - < e + 0 2 2 x y xy ，证毕 由例1和例2的结论可见，二元函数即使在某点连续，偏导数也 存在，还是不能肯定函数在该点可微
例3.求函数z=c的全微分及在点(1,2)的值 解:2 y dx+ body ex(ydx-xdy) dzx=l e(2dx- dy 例4.求函数z=当x=2,y=,△x=0.1,Ay 时的全增量和全微分 解: :Az=f(x+△x,y+△y)-f(x,y) 0.8-1=0。119 +0.1 2z 9 dz= △x+-△y dzx=2,y=l ?0.1 ?(-0.2) 0.125 △x=0.1,Ay=-0.2
例 3．求函数 x y z = e 的全微分及在点（ 1，2）的值 解： x z ? ? = x y e ( )2 x y - ， y z ? ? = x y e x 1 ? ，dz = x y e ( )2 x y - dx+ x y e x 1 ? dy = ) 1 ( 2 x - x y e (ydx-xdy)， 2 1 = = y dz x = (2 ) 2 - e dx - dy 例 4．求函数 x y z = 当x = 2, y = 1, Dx = 0.1, Dy = -0.2 时的全增量和全微分 解： Dz = f(x + Dx, y + Dy) - f(x, y) = 2 1 2.1 0.8 2 1 2 0.1 1 0.2 - = - + - =-0。119 2 x y x z = - ? ? ， y x z 1 = ? ? ， y x x x y dz = - D + D 1 2 0.1, 0.2 2, 1 D = D = - = = x y dz x y = ( 0.2) 0.125 2 1 0.1 2 1 2 - ? + ? - = -