第六节 对坐标的曲面积分
第六节 对坐标的曲面积分
基本概念 观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的) 曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧 (非封闭曲面) (封闭曲面) 决定了侧的曲面称为有向曲面 有向曲面的侧是由曲面法向量的指向决定的
一、基本概念 观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的) 曲面分上侧和下侧 曲面分内侧和外侧 （非封闭曲面） （封闭曲面） 决定了侧的曲面称为有向曲面. 有向曲面的侧是由曲面法向量的指向决定的
曲面的投影问题:(计算对坐标的曲面积分时要把曲面积 分化成二重积分,涉及曲面在坐标面上的投影问题) 在有向曲面∑上取一小块曲面△S,△S在xo面 上的投影(△S)为 (△G)y当cosy>0时 (AS)y={-(△a)当cosy0 (△a)=,cOsB>0 (△S) 0 cos a=0 AS)==10.,cos=0 (△o)y=,Cosa<0 -(△G)x=,CosB<0 其中C,B,y 分别是曲面在点(x,y,z)的法线向量与X,Y,Z轴正向的夹角
曲面的投影问题:（计算对坐标的曲面积分时要把曲面积 分化成二重积分，涉及曲面在坐标面上的投影问题） 在有向曲面Σ上取一小块 , S在xoy面 . 0 cos 0 ( ) cos 0 ( ) cos 0 ( ) = − = 当 时 当 时 当 时 x y x y S x y 其中( ) 表示投影区域的面积. xy 上的投影(S) xy为 曲面 S 分别是曲面在点（x,y,z)的法线向量与X，Y，Z轴正向的夹角 类似地有： (S) yz = − = ( ) , cos 0 0,cos 0 ( ) , cos 0 yz yz − = = ( ) ,cos 0 0,cos 0 ( ) ,cos 0 ( ) xz xz S xz 其中 , ,
、概念的引入 实例:流向曲面一侧的流量 (1)流速场为常向量ν,有向平面区域A,求单位 时间流过A的流体的质量(假定密度为1) 流量 ①= Av cos =Ap·n=p·A
二、概念的引入 实例: 流向曲面一侧的流量. (1) 流速场为常向量 v ,有向平面区域 A,求单位 时间流过 A 的流体的质量 (假定密度为 1). A v 0 n A Av n v A Av = = = 0 cos 流量
(2)设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为1) 的速度场由 v(x,y,)=P(x,y, z)i+o(x, y, j+R(x, y, z)k 给出,Σ是速度场中的一片有向曲面,函数 P(,v,z),o(x,y,4), R(x, y,) 都在Σ上连续,求在单位 时间内流向Σ指定侧的流 体的质量
(2) 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1) 的速度场由 v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k ( , , ) = ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) 给出,Σ是速度场中的一片有向曲面,函数 P( x, y,z), Q( x, y,z), R( x, y,z) 都在Σ上连续, 求在单位 时间内流向Σ指定侧的流 体的质量 . x y z o
1.分割把曲面Σ分成n小块△s1(△同时也代表 第小块曲面的面积), 在△S,上任取一点 z△S (5,1,5), (5,m2,s;) 则该点流速为v 法向量为n y
x y z o • Si ( , , ) i i i i v ni 把曲面Σ分成n 小块 i s ( i s 同时也代表 第i小块曲面的面积), 在 i s 上任取一点 ( , , ) i i i , 1. 分割 则该点流速为 . i v 法向量为 . ni
=ν(5,m,5;) =P(5,,5)+Q(5,,5;)j+R(5,1,5)k, 该点处曲面∑的单位法向量 i= cos a, i cos B i+ cos y, k, 通过△s流向指定侧的流量的近似值为 n2△S;(i=1,2,…,n) 2求和通过Σ流向指定侧的流量Φ≈∑vn△S i=1
该点处曲面Σ的单位法向量 ni i i i j i k cos cos cos 0 = + + , 通过 i s 流向指定侧的流量的近似值为 v n S (i 1,2, ,n). i i i = ( , , ) ( , , ) ( , , ) , ( , , ) P i Q j R k v v i i i i i i i i i i i i i = + + = 2. 求和 通过Σ流向指定侧的流量 = n i i ni Si v 1
∑|P(5,m,41)c0sa1+Q(5,m;5)cos月 i=1 +R(5;,,51)cosy;|S ∑P(5,n,41)△S)2+Q(5,7,5)AS) +R(5,m,5)(△S) 3.取极限λ-0取极限得到流量Φ的精确值
i i i i i i i i i n i i i i i R S P Q + = + = ( , , )cos ] [ ( , , )cos ( , , )cos 1 i i i i x y yz i i i i x z n i i i i i R S P S Q S ( , , )( ) [ ( , , )( ) ( , , )( ) 1 + = + = 3.取极限 → 0取极限得到流量的精确值
∫(x,a)cd=∑R(5,m,5△S) LE 被积函数 积分曲面 类似可定义 (x,y,)=im∑P(5,m7,5;)△S) ->0 ∑ ∫g(x,,td=m∑Q(5,m,N△S) 0 常用的形式是组合形式 P(x, y, z)dydz+e(x, y, z)dzdx+ r(x, y, z)dxdy
= → = n i dxdy R i i i Si x y R x y z 1 0 ( , , ) lim ( , , )( ) 被积函数 积分曲面 类似可定义 = → = n i P i i i Si yz P x y z dydz 1 0 ( , , ) lim ( , , )( ) = → = n i dzdx Q i i i Si zx Q x y z 1 0 ( , , ) lim ( , , )( ) 常用的形式是组合形式: P(x, y,z)dydz + Q(x, y,z)dzdx + R(x, y,z)dxdy
对坐标的曲面积分存在的充分条件: 当P(x,y,z)2Q(x,y,z),R(x,y,z)在有向光滑曲 面∑上连续时,对坐标的曲面积分存在 对坐标的曲面积分的物理意义: [ P(x, 3, )dydz+e(,J,z)dzdx+R(x, 3, z)dxdy 表示流速为V=Pi++Rk 的稳定的密度为1的不可压缩流体在单位时间内流向∑ 指定侧的流量
对坐标的曲面积分存在的充分条件: 当P(x, y,z),Q(x, y,z),R(x, y,z)在有向光滑曲 面Σ上连续时,对坐标的曲面积分存在. 对坐标的曲面积分的物理意义: = P(x, y,z)dydz + Q(x, y,z)dzdx + R(x, y,z)dxdy v = Pi + Qj + Rk 的稳定的密度为1的不可压缩流体在单位时间内流向 指定侧的流量 表示流速为