第二节审敛法 6.比值审敛法(达朗贝尔 D'Alembert判别法): 设∑4n是正项级数,如果Iim“+=p(p数或+∞) n→ n=1 则p1时级数发散;p=1时失效 证明当p为有限数时,对ve>0 彐N,当n>N时,有 .-PN)
6.比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)： 设 n=1 un 是正项级数,如果lim ( ) 1 = + + → 数或 n n n u u 则 1时级数收敛; 1时级数发散; = 1 时失效. 证明 当为有限数时, 对 0, N, 当n N时, , 1 − + n n u u 有 ( ) 1 n N u u n n − + + 即 第二节 审敛法
即p-EN) 当时,取1 当n>N时,un+1>rn>un,limn≠0
当 1时, 当 1时, 取 1− , 使r = + 1, , 1 1 + − + N m uN m r u , N +2 N +1 u ru , 1 2 N +3 N +2 uN + u ru r , , 1 1 1 = + − m N m 而级数 r u 收敛 , 1 1 收敛 = + = + = n N u m uN m u 收敛 取 −1, 使r = − 1, 当n N时, , n 1 n un u + ru lim 0. → n n u 发散 ( ) 1 n N u u n n − + + 即
北值审敛法的优点:不必找参考级数 两点注意: 1.当p=1时比值审敛法失效; 例级数∑发散, (=1) 级数∑立收敛, 但两个级数都有 n→ 即两个级数都是O=1
比值审敛法的优点: 不必找参考级数. 两点注意: 1.当 = 1时比值审敛法失效; , 1 1 例 级数 发散 n= n , 1 1 级数 2 收敛 n= n ( = 1) 但两个级数都有 n → lim 1 1 = + n n u u 即两个级数都是 =1
2.条件是充分的,而非必要 例 2+(-1)3 2 2 15 级数∑n=∑2m”收敛 但 un12+(-1)m n2(2+(-1)") n2 lim a 2n n→00 3 lim a2n+1 2 ∴lim-n+1=ima,不存在 n→00 n→00
, 2 3 2 2 ( 1) n n n n n u = v + − 例 = , 2 2 ( 1) 1 1 级数 收敛 = = + − = n n n n un , 2(2 ( 1) ) 2 ( 1) 1 1 n n n n n a u u = + − + − = + 但 + , 6 1 lim 2 = → n n a , 2 3 lim 2 +1 = → n n a lim lim . 1 n 不存在 n n n n a u u → + → = 2.条件是充分的,而非必要
例4判别下列级数的收敛性: ∑ (2)∑ ∑ n=1 10 =(2n-1)·2n 解(1) ,n+1 (n+1)!1 →0(n→>∞) n n+1 故级数∑收敛 H=1
例 4 判别下列级数的收敛性: (1) =1 ! 1 n n ; (2) =1 10 ! n n n ; (3) = − 1 (2 1) 2 1 n n n . 解 (1) ! 1 ( 1)! 1 1 n n u u n n + = + 1 1 + = n → 0 (n → ), . ! 1 1 故级数 收敛 n= n
(2) n+1 (n+1)!10n+1 n+1 →>00(n→>∞) u 10 n!10 故级数∑n发散 (3), im+=lim (2n-1)·2n n→)∞nn→0(2n+1)·(2m+2) 1 (2n-1)·2n1 级数∑收敛 n→)0 H=1 故级数22n(2 收敛 n-1)
(2) → (n → ), ! 10 10 ( 1)! 1 1 n n u u n n n n + = + + 10 + 1 = n . 10 ! 1 故级数 发散 n= n n (3) (2 1) (2 2) (2 1) 2 lim 1 lim + + − = → + → n n n n u u n n n n = 1, 比值审敛法失效, 改用比较审敛法 , 1 1 级数 2 收敛 n= n . 2 (2 1) 1 1 故级数 收敛 n= n n − 4 1 1 (2 1) 2 1 2 = − n n n n → lim
7.根值审敛法(柯西判别法): 设∑un是正项级数如果imun=p n→00 nE (p为数或+∞),则p1时级数发散:p=1时失效证略。 (注意:与比值审敛法类似,在>1时,可证得 lin ≠0 n→00 例如,设级数 ∑ 0(1→>∞)级数收敛
7.根值审敛法 (柯西判别法)： 设 n=1 un 是正项级数,如果 = → n n n lim u (为数或+ ), 则 1时级数收敛; , 1 , 1 n= n n 例如 设级数n n n n n u 1 = n 1 = → 0 (n → ) 级数收敛. 1时级数发散; = 1时失效. 证略。 （注意：与比值审敛法类似，在 时，可证得 ） 1 n → lim un 0
∑ 2n-1 3n-1 解 2n-1 n 3n-1 lim/u= 39 原级数收敛 n→)00 应作讨论 凡含有参数的级数,通常应作讨论
= − 1 − 2 1 ) 3 1 ( n n n n 解： → = = − = − n u n n u n n n n n n 1 9 1 ) 3 1 lim ( ) , 3 1 ( 2 2 1 原级数收敛 应作讨论 凡含有参数的级数，通常应作讨论
小结:对于正项级数收敛性的判定,除了可用一般常 数项级数的方法以外,还有许多只适用正项级数的方法 它们分两大类: 1。比较判定法(包括比较判定法和极限形式的比较判 定法)。特点是必须用参考级数,技巧性也较强; 2。比值判定法(包括比值和根值判定法)。特点是方 法比较规范便于操作,通常被作为判定正项级数收敛性 的首选方法(级数收敛的必要条件通常被作为判定级数 是否发散的首选方法)。 注意:1。这些方法只适用于正项级数,使用前必须确认 被判定的级数是正项级数; 2。当比值判定法失效时,根值判定法也必定失效,反之 亦反。因此两种方法只选其中之一
小结：对于正项级数收敛性的判定，除了可用一般常 数项级数的方法以外，还有许多只适用正项级数的方法。 它们分两大类： 1。比较判定法（包括比较判定法和极限形式的比较判 定法）。特点是必须用参考级数，技巧性也较强； 2。比值判定法（包括比值和根值判定法）。特点是方 法比较规范便于操作，通常被作为判定正项级数收敛性 的首选方法（级数收敛的必要条件通常被作为判定级数 是否发散的首选方法）。 注意：1。这些方法只适用于正项级数，使用前必须确认 被判定的级数是正项级数； 2。当比值判定法失效时，根值判定法也必定失效，反之 亦反。因此两种方法只选其中之一
二、交错级数及其审敛法 定义:正、负项相间的级数称为交错级数 ∑(-1)a或∑(-1)n(其中un>0) nE nE 莱布尼茨定理如果交错级数满足条件: (i)un≥un+1(n=1,2,3,…);(i) limu2=0, n→ 则级数收敛,且其和s≤u1其余项n的绝对值
二、交错级数及其审敛法 定义: 正、负项相间的级数称为交错级数. n n n n n n u u = = − − − 1 1 1 ( 1) 或 ( 1) 莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件: (ⅰ) ( 1,2,3, ) un un+1 n = ;(ⅱ)lim = 0 → n n u , 则级数收敛,且其和 u1 s ,其余项n r 的绝对值 n un+1 r . ( 0) 其中un