■第五节 函数的幂级数展开式的应用
▪第五节 函数的幂级数展开式的应用
近似计算 A=a1+a2+…+a.+ ∴A≈a1+a2+…+an 误差rn=an1+an2+ 1给定项数求近似值并估计精度; 2给出精度,确定项数 通过估计余项确定精度或项数
一、近似计算 , A = a1 + a2 ++ an + , A a1 + a2 ++ an . 误差 rn = an+1 + an+2 + 两类问题: 1.给定项数,求近似值并估计精度; 2.给出精度,确定项数. 关健: 通过估计余项,确定精度或项数
1若余项是交错级数,则可放大到余和的首项; 2若不是交错级数,则放大余和中的各项使之成 为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和 例1计算e的近似值使其误差不超过10 解e=1+x+0,x2+…+,x"+…, 令x=1,得e≈1+1+ 2
常用方法: 1.若余项是交错级数,则可放大到余和的首项; 2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成 为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和. 例1 , 10 . 计算 的近似值 使其误差不超过 −5 e 解 , ! 1 2! 1 1 x = + + 2 ++ x n + n e x x 令 x = 1, , ! 1 2! 1 1 1 n 得 e + + ++
余和: (n+1)(n+2)! (n+D( )!n+2 1 10 11 e≈1+1+++…+≈2.71828 2!3
余和: + + + + ( 2)! 1 ( 1)! 1 n n rn ) 2 1 (1 ( 1)! 1 + + + + = n n ) ( 1) 1 1 1 (1 ( 1)! 1 2 + + + + + + n n n ! 1 n n = 10 , −5 欲使 rn 10 , ! 1 −5 n n 只要 ! 10 , 5 即n n 8 8! 322560 10 , 5 而 = 8! 1 3! 1 2! 1 e 1+ 1+ + ++ 2.71828
例2利用sinx≈x-计算sin9的近似值, 3! 并估计误差 解 元 元 sing= sin 2020620 1兀 1 (0.2)< <10-5 5!20 120 300000 ∴sin9≈0.157079-0.000646≈0.156433 其误差不超过105
例2 . sin9 , 3! sin 0 3 并估计误差 利用 计算 的近似值 x x x − 解 20 sin9 sin 0 = ) , 20 ( 6 1 20 3 − 5 2 ) 20 ( 5! 1 r 5 (0.2) 120 1 300000 1 10 , −5 sin9 0.157079 0.000646 0 − 0.156433 其误差不超过 . 5 10−
二、计算定积分 例如函数e 2 sinx 1 原函数不能用初等 x nx 函数表示,难以计算其定积分 解法「被积函数 定积分的近似值 展开成幂级数 逐项积分
二、计算定积分 , . , ln 1 , sin , 2 函数表示 难以计算其定积分 例如函数 原函数不能用初等 x x x e − x 解法 展开成幂级数 逐项积分 被积函数 定积分的近似值
例3计算 oI sinx dx的近似值,精确到10 0 解 SIn =1-x2+x4-1x6+…x∈(=∞,+0) 3! 5! 7 sInd 1 1 dx=1 3.3!5·5!7.7 收敛的交错级数 第四项 <—<10 7.7!3000 取前三项作为积分的近似值得 SIna dxc≈1 ≈0.9461 3·3!5·5!
第四项 3000 1 7 7! 1 10 , −4 取前三项作为积分的近似值,得 5 5! 1 3 3! 1 1 1 sin 0 + − dx x x 0.9461 例3 , 10 . sin 4 1 0 − 计算 dx的近似值 精确到 x x = − 2 + 4 − 6 + 7! 1 5! 1 3! 1 1 sin x x x x x 解 x(−,+) + − + = − 7 7! 1 5 5! 1 3 3! 1 1 1 sin 0 dx x x 收敛的交错级数
。欧拉公式 =COsx+ SIn x称欧拉公式 (e= cos x-isin x) 两式相加得cosx ete e SInx 2 2 也叫欧拉公式 如设复数z=x+y,则e x+ly e(cos y+isin y) 揭示了三角函数和复变量指数函数之间的一种关系
三。欧拉公式： 也叫欧拉公式 两式相加得 称欧拉公式 i e e x e e x e x i x e x i x i x i x i x i x i x i x 2 ,sin 2 cos ( cos sin ) cos sin − − − − = + = = − = + z x iy, e e e e e (cos y isin y) z x i y x i y x = + = = = + 如设复数 则 + 揭示了三角函数和复变量指数函数之间的一种关系
