第三节 多元复合函数的求导法则
第三节 多元复合函数的求导法则
先复习二元复合函数的求导:设正=g在点x可导y= 在点m可导则复合函数y=在点x可导且迎 下面讨论多元复合函数的求导 多元复合函数的求导有如下几种类型: f(u, v),u 如),V=),(即。?u 型 那末,复合函数=[0t),wt)1在点t的导数为 dz ?z du ?z d (1) dt ?u dt ?v dt (要掌握在什么情况下该使用导数的符号,什么情况下该使 用偏导数的符号?)
下面讨论多元复合函数的求导 多元复合函数的求导有如下几种类型： 1．z = f(u,v),u = f(t),v = y(t)，（即z v u ? ? ? t型） 那末，复合函数 z = f[f(t),y(t)] 在点 t 的导数为 dt dv v z dt du u z dt dz ? ? + ? ? = （1） （要掌握在什么情况下该使用导数的符号，什么情况下该使 用偏导数的符号？）
定理可严格叙述如下: 如果函数u=如(及v=w(t都在点t可导, 函数z=1v在对应点v具有连续偏导数, 则复合函数z=红t),vt)在点t可导,且其导数计算公式为 dz z aU t-4 av dt ? u dt ?v at 证:当t?t+△t时,a?u+△u,?w+△v,z?z+△ 因为函数z=(x,v在点v)具有连续偏导数, 因此由P。24公式(6)可知 2Z △ △n+22△y+E1△n+6,△v,这里,当?0,△v?0时, ? E1?0,E2?0,上式两边同除以△t,注意到, 当△t?0,△a?0,△v?0, 因此,=2zm?zd dt ?u dt ?v dt
证：当t ? t + Dt时，u ? u + Du,v ? v + Dv,z ? z + Dz， 因为函数z = f(u,v)在点(u,v)具有连续偏导数， 因此由 P。24 公式（6）可知 v u v v z u u z z D + D + D ? ? D + ? ? D = 1 2 e e ，这里，当Du ? 0, Dv ? 0时， e 1 ? 0,e 2 ? 0，上式两边同除以 Dt，注意到， 当Dt ? 0，Du ? 0, Dv ? 0，因此， dt dv v z dt du u z dt dz ? ? + ? ? = 定理可严格叙述如下： 如果函数 u = f(t)及v = y(t)都在点t可导， 函数z = f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数， 则复合函数 z = f[f(t),y(t)]在点t可导，且其导数计算公式为 dt dv v z dt du u z dt dz ? ? + ? ? =
对于g?t型,除了可用公式=2如+2亚计算 at u dt?v at 外,也可采用一元函数的求导方法,将=如及v=v代入 z=f0,v),可得关于t的一元函数z=f如(),wt)=ot),在此 基础上再求z对于t的导数 公式(1)可推广到三元函数: 设 z= f(u, v, W), u= o(t) y(t) )(t) 则复合函数z=印[0t),v(),a(t)1对t的导数为 a z du ?z dv z QW at Qu dt ?v dt ?w dt
对于z v u ? ? ? t型，除了可用公式 dt dv v z dt du u z dt dz ? ? + ? ? = 计算 外，也可采用一元函数的求导方法，将u = f(t)及v = y(t)代入 z = f(u,v)，可得z关于t的一元函数z = f[f(t),y(t)]=w(t)，在此 基础上再求 z对于t的导数 dt dz 公式（1）可推广到三元函数： 设z = f(u,v,w),u = f(t),v = y(t),w = w(t), 则复合函数 z = f[f(t),y(t),w(t)]对t的导数为 dt dw w z dt dv v z dt du u z dt dz ? ? + ? ? + ? ? =
2.设z=f( (x,y), 则复合函数z=[0(x,y),w(x,y)1 在点(xy)的两个偏导数可用以下公式计算: ?z?1 2x 2x? Qu ?y ?v?y 类似的公式可推广到有三个中间变量的二元复合函数: iz= f(u, v, w), u= o(x, y),v= vx, y), w= o(x, y), 则二元复合函数z=(x,y),W(x,y),o(x,y) 在点(x,y)在两个偏导数的计算公式是: 9z ZW ?u ?x ?v ?x ?w 2z?? 2v ?z ?w ?w?
2．设z = f(u,v),u = f(x, y),v = y(x, y) 则复合函数 z = f[f(x, y),y(x, y)] 在点(x, y)的两个偏导数可用以下公式计算： x v v z x u u z x z ? ? ? ? + ? ? ? ? = ? ? y v v z y u u z y z ? ? ? ? + ? ? ? ? = ? ? 类似的公式可推广到有三个中间变量的二元复合函数： 设z = f(u,v,w)，u = f(x, y),v = y(x, y),w = w(x, y)， 则二元复合函数 z = f[f(x, y),y(x, y),w(x, y)] 在点(x, y)在两个偏导数的计算公式是： x v v z x u u z x z ? ? ? ? + ? ? ? ? = ? ? x w w z ? ? ? ? + y v v z y u u z y z ? ? ? ? + ? ? ? ? = ? ? y w w z ? ? ? ? +
3. iz= f(u, X, y), u= p(x, y) 则二元复合函数z=f[0(x,y),x,y 在点(xy在两个偏导数的计算公式是 ? f?u?f z f ?u? 2x ?u ?x ?X ? Qu 要注意是两元复合函数z=f[,y),x,y对x的偏导数, 2x 此时把y看作常数; 是三元函数z=r(a,xy对x的偏导数,此时把yu都看作 常数。 2与?也有类似的区别
3．设z = f(u,x, y)，u = f(x, y)， 则二元复合函数 z = f[f(x, y),x, y] 在点(x, y)在两个偏导数的计算公式是： x z ? ? = x f x u u f ? ? + ? ? ? ? ， y f y u u f y z ? ? + ? ? ? ? = ? ? 要注意 x z ? ? 是两元复合函数 z = f[f(x, y),x, y]对 x 的偏导数， 此时把 y 看作常数； x f ? ? 是三元函数z = f(u,x, y)对 x 的偏导数，此时把 y,u都看作 常数。 y z ? ? 与 y f ? ? 也有类似的区别
例1.设z= arcsin(x-y),x=3,y=43,求 aZ dt 解:方法1:z= arcsin-y)= arcsIn(t-4t2), 因此, dz 3-12t dt (3t-4t2)2 方法2:a= 2z dx z d 12t2 dt ?x dt at 1-(x-y) 312t √1-(3t-4t3)2 例2.z=n21nv,u=x,=3x-2y,求 2z ?x? 解:2=21n 2x1n(3x-2y) 3x (3x-2y)y ?=21nv(--2)+-(-2).2x21n(3x-2y) 2x (3
例 1．设z = arcsin(x - y)， 3 x = 3t,y = 4t ，求 dt dz 解：方法 1：z = arcsin(x - y)=arcsin(3 4 ) 3 t - t ， 因此， dt dz = 3 2 2 1 (3 4 ) 3 12 t t t - - - 方法 2： dt dz = dt dy y z dt dx x z ? ? + ? ? = - - - 2 1 ( ) 3 x y 2 2 1 ( ) 12 x y t - - = 3 2 2 1 (3 4 ) 3 12 t t t - - - 例 2． ln , , 3 2 , 2 v x y y x z = u v u = = - 求 x z ? ? ， y z ? ? 解： x z ? ? = 3 1 2 ln 2 ? + ? v u y u v = 2 2 2 (3 2 ) 2 ln(3 2 ) 3 x y y x y x x y - + - y z ? ? =2 ln ( ) ( 2) 2 2 - + - v u y x u v = 2 2 3 2 (3 2 ) 2 ln(3 2 ) 2 x y y x y x x y - - - -
例3.设a=xy,2)=e,2=x2s1ny,求2,2 解 Qu?f 2f?z -xe +y4+2+(22)(2x sin y)e+yt+ 2xx2zx 2x(1+2z sin y)e 2x(1 +2x sin pe ty+x? 抽象的多元复合函数的求导比较复杂,书写也有一定的格式 必须引起足够的重视。 例4.设z=xy+xF),而n=y,F()为可导函数,证明: 69x2Z +y Z t XY 证 :?x y+ F(u)+ xFu)( x2/y+ F(u-y F2u) x+ fLu)( +F{u) ? 2Xy XF(u)=z+xy ?x
例 3．设u = f(x,y,z)= 2 2 2 x y z e + + ，z x sin y 2 = ，求 x u ? ? ， y u ? ? 解： x u ? ? = x z z f x f ? ? ? ? + ? ? =2x 2 2 2 x y z e + + +(2z)(2x sin y) 2 2 2 x y z e + + = 2x(1 + 2z sin y) 2 2 2 x y z e + + = x y x y x x y e 2 2 4 2 2 2 sin 2 (1 2 sin ) + + + 抽象的多元复合函数的求导比较复杂，书写也有一定的格式， 必须引起足够的重视。 例 4．设z = xy + xF(u),而 x y u = ，F(u)为可导函数，证明： z xy y z y x z x = + ? ? + ? ? 证： ( ) ( )( )2 x y y F u xF u x z = + + ? - ? ? = ( ) F(u) x y y + F u - ? ) ( ) 1 ( )( x F u x x xF u y z = + ? = + ? ? ? xy xF u z xy y z y x z x = + = + ? ? + ? ? 2 ( )
例5.设w=f(x+y+z,xy2),f有二阶连续偏导数, 求 和 ?x?x? 解:如设n=x+y+2,v=xyz, 那末,w是中间变量u,v的二元函数,而uv又都是自变量 x,y,z的三元函数, 为书写方便起见,记u为第一个中间变量,v为第二个中间变 量。因此, W -f:+ yzf 9 W=f+ xyf12+ yi f2?+ yz(f2?+ xyf2?) y -f?+ y(x +2)f2+ yf2?+xy zf2?
例 5．设w = f(x + y + z,xyz)，f 有二阶连续偏导数， 求 x w ? ? 和 x z w ? ? ? 2 解：如设 u = x + y + z,v = xyz， 那末， w 是中间变量 u,v 的二元函数，而 u,v 又都是自变量 x, y,z的三元函数， 为书写方便起见，记u为第一个中间变量，v 为第二个中间变 量。因此， x w ? ? =f1 yzf2 ? + ?， x z w ? ? ? 2 =f11? + xyf12? + yf2 ? + yz(f21? + xyf22?) = 22 2 f11? + y(x + z)f12? + yf2 ? + xy zf ?
例6.设z=f(sinx,cosy,e*),其中r有二阶连续偏导数, 2 求 解: f? cos x+f'ekty f2-sin y)+fe sin xf?+cos x(f? cos x+ fme+y) tex+f?++y(f? cos x +f?e ty Fextyf3-sin xf?+cos xf?+2ety cos xf+ extyf33 类似地可求出题目要求的其余两个二阶偏导数。 例7.设 y,其中f()为可导函数,求 解 2z xrf f[2xf?+ 2xy(-2y)f4- 2xyf22ff? ? 2x(2yf?-ff? y If2
例 6．设 (sin ,cos , ) x y z f x y e + = ，其中f 有二阶连续偏导数， 求 2 2 2 2 2 , , y z x y z x z ? ? ? ? ? ? ? 例 7．设 ( ) 2 2 f x y y z - = ，其中f(u)为可导函数，求 x y z ? ? ? 2 解： x z ? ? = 2 2 f - xyf?， = ? ? ? x y z 2 4 2 [2 2 ( 2 ) ] 2 (2 ) f f xf? + xy - y f ? - xyf? ff? - = 3 2 2 2 (2 2 ) f x yf? - ff? - y ff ? 解： x z ? ? = x y f x f e ? + 1 ? cos + 3 ， x y f y f e y z ? + = ?- + ? ? 2 ( sin ) 3 2 2 x z ? ? = sin xf1 - ?+cos ( 11 cos 13 ) x y x f x f e + ? + ?? +e f3 x y ? + + ( 31 cos 33 ) x y x y e f x f e + + ? + ? =e f3 x y ? + sin xf1 - ?+ 33 2( ) 11 13 2 cos xf 2e cos xf e f x y x y ? + ? + ? + + 类似地可求出题目要求的其余两个二阶偏导数