第六节方向导数和梯度
第六节 方向导数和梯度
方向导数 1.定义设函数z=r,y,由点cs,y引射线,t与x 轴正向的夹角为,p(x+△x,y+△y)是射线上的另一点,定 义函数a=r,9在点B沿方向c的方向导数为 2=1+A,y+△y<r,p,其中p=x+y2 ?l p 0 当射线(是x轴的正向,即(={1,0)时,2=x, 当射线(是x轴的反向,即(={-1,0)时,2x= 当射线是y轴的正向,即(={0,1}时,2=f2 当射线(是y轴的反向,即={0,-1}时, 90 因此,偏导数是方向导数的特殊情况
一．方向导数 1．定义 设函数z = f(x, y)，由点P(x, y)引射线l ，l 与 x 轴正向的夹角为f ，p(x + Dx, y + Dy)是射线l 上的另一点，定 义函数z = f(x, y)在点P(x, y)沿方向 l的方向导数为 ?l ?f = 0 lim r ? r f(x + Dx, y + Dy) - f(x, y)，其中 2 2 r = (Dx) + (Dy) 当射线 l 是 x 轴的正向，即 l ={1 ， 0} 时， ? l ?f = fx ， 当射 线 l 是 x 轴的反向，即 l ={ - 1 ， 0} 时， ? l ?f = -fx 当射线 l 是 y 轴的正向，即 l ={0 ， 1} 时， ? l ?f = fy 当射线 l 是 y 轴的反向，即 l ={0 ， - 1} 时， ? l ?f = -fy 因此，偏导数是方向导数的特殊情况
2.计算定理如果函数z=x(x,y),在点P(x,y可微,那末函 数在该点沿任一方向的方向导数都存在,且有 2=0+s1n,其中为x轴正向到方向的转角。 上述定理可推广到三元函数u=(xy,2), 有=1csa+ fy cos B+cosy,其中cosa,cosB,cosy分 20 别是方向C的方向余弦
2．计算 定理如果函数z = f(x, y)，在点P(x, y)可微，那末函 数在该点沿任一方向的方向导数都存在，且有 ?l ?f =fx cos f +fy sin f ，其中f 为 x 轴正向到方向 l 的转角。 上述定理可推广到三元函数 u = f(x, y,z)， 有 ?l ?f =fx cosa +fy cos b +fz cos g ，其中cosa ，cos b ，cos g 分 别是方向 l的方向余弦
例1.求函数z=xe2在点P(1,0)处沿从P(1,0)到点Q (2,-1)方向的方向导数。 解:(={2-1,-1-0=1,-1},tan=-1,9=-x,E=e, ,=2×e2y,2=E,0c0+,0.0n=2-=y 2 例2.求函数=1+2)在点(处沿曲线 x+y=1在这点的内法线方向的方向导数。 解: 设 F(x, y) 1
例 1．求函数 y z xe 2 = 在点 P（1，0）处沿从P（1，0）到点Q （2，-1）方向的方向导数。 解：l ={2-1，-1-0}={1，-1}，tan f = -1， 4 p f = - ，fx = y e 2 ， fy = y xe 2 2 ， ?l ?f =fx (1,0)cos f +fy (1,0)sin f = 2 2 - 2 =- 2 2 例 2 ．求函数 1 ( )2 2 2 2 b y a x z = - + 在点 M ) 2 , 2 ( a b 处沿曲线 1 2 2 2 2 + = b y a x 在这点的内法线方向的方向导数。 解：zx ) 2 , 2 ( a b = a 2 - ，zy ) 2 , 2 ( a b = b 2 - ， 设 ( , ) 1 2 2 2 2 = + - b y a x F x y
由隐函数求导公式可得F=2x,F.=2,因此,曲线 +y=1过点(x,y)的切线的斜率为 法线的斜率为 dx bex y?( =2,注意到内法线方向对应的夹角在第三象限,日 tan e 可得 cos e va +> sing= ,因此 Va+ b b )+(-2)( 2(a2+b2) √a2+b b √a+b ab
由隐函数求导公式可得 2 2 a x Fx = ， 2 2 b y Fy = ，因此，曲线 1 2 2 2 2 + = b y a x 过点（x,y）的切线的斜率为 a y b x F F dx dy y x 2 2 = - = - ， 法线的斜率为 b x a y dx dy 2 2 = ， y? ) 2 , 2 ( a b = b a ，注意到内法线方向对应的夹角在第三象限，由 b a tan q = ，可得 cos q = 2 2 a b b + - ,sin q = 2 2 a b a + - ，因此， = ? ? M z l ( a 2 - )( 2 2 a b b + - )+( b 2 - )( 2 2 a b a + - )= ab 2(a b ) 2 2 +
二.梯度 设二元函数z=r(x,y)在平面区域)内具有一阶连续偏导数 那么,对于任取的xy?D,都可对应地定义一个向量 22x+2y,这个向量称为函数+r(s,y)在点x,y的梯度, 记作gra(x,y)=2x+2 对于三元函数u=r(x,y,,)可相应地定义它在点p(x,y,z)?9 的梯度 2f of?f gradf(x y, 2)- 223+ik
二．梯度 设二元函数z = f(x, y ）在平面区域D 内具有一阶连续偏导数， 那么，对于任取的 P(x, y) ? D ，都可对应地定义一个向量 j y f i x f ? ? + ? ? ，这个向量称为函数z = f(x, y ）在点p(x, y)的梯度， 记作gradf(x, y)= j y f i x f ? ? + ? ? 对于三元函数u = f(x, y,z,)可相应地定义它在点 p(x, y,z)? W 的梯度 gradf(x, y,z)= j y f i x f ? ? + ? ? + k z f ? ?
对应于Px,y)?D或p(x,y,2)?9中的一点,f(p)确定了一个数。 因此,对于整个P(x,y)?D或p(x,y,2)?9,r(p)分别在平面或 空间区域内确定了一个数量场。相应地, gradf(p)是数量场f(p) 对应的向量场。这种由数量场的梯度构成的向量场称为梯度 场 函数z=(x,y)的方向导数2=2c9+251n ?61?x 2f?f Acos o, sin g=gradf(x, y)?e ? gradf(x,y) cos gradf(x,y)3,e),其中e为方向的单位向量
对应于P(x, y) ? D 或p(x, y,z)? W 中的一点，f(p)确定了一个数。 因此，对于整个P(x, y) ? D 或p(x, y,z)? W ，f(p)分别在平面或 空间区域内确定了一个数量场。相应地，gradf(P)是数量场f(p) 对应的向量场。这种由数量场的梯度构成的向量场称为梯度 场。 函数z = f(x, y ）的方向导数 ?l ?f = x f ? ? cos f + y f ? ? sin f ={ x f ? ? ， y f ? ? }{cos f ，sin f }=gradf(x, y)? e = gradf(x, y)cos(gradf(x, y) ,e) ? ，其中e为l方向的单位向量
由此可见 1.方向导数就是梯度 radf(x,y在射线c上的投影; 2.沿梯度方向的方向导数达到最大值,其值为梯度的模 gradf(x, y) (梯度方向是各方向中方向导数最大的方向,那就是说,梯 度方向是函数r(x,y在点(x,y 增长最快的方向)。三元函数有类似的结论。 3。由gadn,y2=21+2可知, 2x f 从x轴正向到梯度方向转角的正切为tan=y
由此可见 1．方向导数 ?l ?f 就是梯度 gradf(x, y)在射线 l上的投影； 2．沿梯度方向的方向导数达到最大值，其值为梯度的模 gradf(x, y)= 2 2 ( ) ( ) y f x f ? ? + ? ? （梯度方向是各方向中方向导数最大的方向，那就是说，梯 度方向是函数 f(x, y)在点(x, y) 增长最快的方向）。三元函数有类似的结论。 3。由 gradf(x, y)= j y f i x f ? ? + ? ? 可知， 从 x 轴正向到梯 度方向转角的正切为 x f y f ? ? ? ? tan q = = x y f f
而z=f(x,y)所表示的曲面与平面z=c的交线r(x,y)=c满足 .+.y=0,曲线(s,y)=c的切线的斜率=,从而曲 dx dx 线r(x,y)=c的法线的斜率,曲线fx,y)=c称为等高线 由此可见,函数=x,y的梯度方向就是等高线f(x,y)=c的法 线方向,其指向是从数值较低的等高线指向数值较高的等高 线。 三元函数有类似的结论:即三元函数=f(x,y,z,)的梯度方向 就是等值面r(x,y,z)=c的法线方向,其指向是从数值较低的等 值面指向数值较高的等值面
而z = f(x, y)所表示的曲面与平面 z = c 的交线f(x, y)=c 满足 + = 0 dx dy fx fy ，曲线f(x, y)=c 的切线的斜率dx dy = y x f f - ，从而曲 线f(x, y)=c 的法线的斜率dx dy = x y f f ，曲线f(x, y)=c 称为等高线， 由此可见，函数z = f(x, y)的梯度方向就是等高线f(x, y)=c 的法 线方向，其指向是从数值较低的等高线指向数值较高的等高 线。 三元函数有类似的结论：即三元函数u = f(x, y,z,)的梯度方向 就是等值面f(x, y,z)=c 的法线方向，其指向是从数值较低的等 值面指向数值较高的等值面
例1.问函数a=xy2z在点P(1,-1,2)处沿什么方向的方 向导数最大,并求此方向导数的最大值。 解 ?f of gradf(x, y, z) 1+ ?f计+ k=(y z)i +(2xy2)i+(xy )k graf(,-1,2)=(2-4a),沿此方向的方向导数最大,其值为 22+(-4)2+12=√21 例2.试求数量场所产生的梯度场,其中常数 m>0,r= vX+ y+Z 为原点O到点M(x2y,x)的距离 解:见P。59
例 1．问函数u xy z 2 = 在点 P（1，-1，2）处沿什么方向的方 向导数最大，并求此方向导数的最大值。 解：gradf(x, y,z)= j y f i x f ? ? + ? ? + k z f ? ? =(y z)i (2xyz)j (xy )k 2 2 + + gradf(1,-1,2) = {2,-4,,1}，沿此方向的方向导数最大，其值为 2 ( 4) 1 21 2 2 2 + - + = 例 2 ．试求数量场 r m 所产生的梯度场，其中常数 2 2 2 m > 0,r = x + y + z 为原点 O 到点 M(x,y,z)的距离。 解：见 P。59