第二节 可分离变量的微分方程
第二节 可分离变量的微分方程
、可分离变量的微分方程 形如8(y)=f(x)dt 的方程称为可分离变量的微分方程 例如 d=2xy5→y5=2x2d, d 解法:设函数g(y)和f(x)是连续的, dy=ff(r)dx 分离变量法 设函数G(y)和F(x)是依次为g(y)和f(x)的原函 数,G()) 为微分方程的解
一、可分离变量的微分方程 g( y)dy = f (x)dx 的方程称为可分离变量的微分方程. 5 4 2 2x y dx dy 例如 = 2 , 5 2 4 y dy = x dx − 设函数g( y)和 f (x)是连续的, g( y)dy = f (x)dx 设函数G( y)和F(x)是依次为g( y)和f (x) 的原函 数, G( y) = F(x) + C 为微分方程的解. 分离变量法 形如 解法：
二、典型例题 dh 例1求解微分方程 2xy的通解 解分离变量=2xx, 小y 两端积分 rdx Iny=x+CI Cex为所求通解
例1 求解微分方程 2xy的通解. dx dy = 解 分离变量 2xdx, y dy = 两端积分 2 , = xdx y dy 1 2 ln y = x + C . 2 y = Ce x 为所求通解 二、典型例题
例2:求解微分方程 小y x-y rt y t cOS COS dx 2 2 解;收 x-y +cos - cOS x+y=0 dx 2 2 cosa-cos B=-2sin a+B. a- sIn y 2 2 x.y Isin sin=0 SIn dx 22 2sin 2 2 两边积分,得解:y cot =2cos +C, 2 2 2 Jcsc xdx=Inlc CSCx-ctgx+C
例2：求解微分方程 . 2 cos 2 cos x y x y dx dy + = − + 解： 0, 2 cos 2 cos = + − − + x y x y dx dy 0, 2 sin 2 + 2sin = x y dx dy , 2 sin 2 2sin = − dx x y dy 2 cot 2 lncsc y y − , 2 2cos C x = + 2 sin 2 cos cos 2sin + − − = − xdx = x − ctgx + c csc ln csc 两边积分，得解：
例3衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量M成 正比,已知M1=0=M02求衰变过程中铀含量M(r) 随时间t变化的规律 解衰变速度 dM d由题设条件 dM dM AM(>0衰变系数) =-入d ndt, In M=-t+InC, EpM=Ce 代入MA=0=M。得M0=Ce"=C, M=M oe n
例 3 衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量M 成 正比,已知M t=0 = M0 ,求衰变过程中铀含量M(t) 随时间t 变化的规律. 解 , dt dM 衰变速度 由题设条件 = −M ( 0衰变系数) dt dM dt M dM = − , = − dt M dM 代入M t=0 = M0 lnM = −t + lnC, , t M Ce− 即 = 0 得 M0 = Ce = C, t M M e − = 0 衰变规律
例4有高为1米的半球形容器,水从它的底部小 孔流出,小孔横截面积为1平方厘米(如图).开始 时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器 里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时 间r变化规律. 解由力学知识得,水从孔口流 出的流量为 =0.62·S√2gh, 流 口截面面积重力加速度
例 4 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小 孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始 时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器 里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时 间t的变化规律. 解 由力学知识得,水从孔口流 出的流量为 0.62 S 2gh, dt dV Q = = 流量系数 孔口截面面积 重力加速度
. S=l cm2 h 一÷d=0.62√2ghd,(1) cm +d 设在微小的时间间隔[,t+dl 水面的高度由降至h+,则W=-m2h 1002-(100-1)2=√200h-h2 H=7(200h-h2)dh 比较(1)和(2)得:-7(200-h)h=0.622ghd
100 cm h o r h h+ dh dV = 0.62 2ghdt, (1) 设在微小的时间间隔 [t, t + dt], 水面的高度由h降至 h+ dh , , 2 则dV = −r dh 100 (100 ) 200 , 2 2 2 r = − − h = h − h (200 ) , (2) 2 dV = − h− h dh 比较(1)和(2)得: (200h h )dh 2 − − = 0.62 2ghdt, S = 1 cm , 2
7(200h-h2)h=0.62√2ghd 即为未知函数的微分方程 可分离变量 t 1(200k-Vh2)lh 0.62√2g T 400 2 62√2g3 h)+ 5 T =n=100,∴C -×10 0.622g15 所求规律为t= T 4.652g (7×105-103h3+3h2)
(200h h )dh 2 − − = 0.62 2ghdt, 即为未知函数的微分方程. 可分离变量 (200 ) , 0.62 2 3 h h dh g dt − = − ) , 5 2 3 400 ( 0.62 2 3 5 h h C g t − + = − | 100, h t=0= 10 , 15 14 0.62 2 5 = g C (7 10 10 3 ). 4.65 2 5 3 3 5 h h g t − + 所求规律为 =
例5某车间体积为12000立方米,开始时空气中 含有01%的CO2,为了降低车间内空气中CO2 的含量,用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机 通入含003%的CO2的新鲜空气,同时以同样的 风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动6分 钟后,车间内CO,的百分比降低到多少? 解设鼓风机开动后时刻CO2的含量为x% 在t+山内, CO的通入量=2000.d0.03 CO的排出量=20004·x(1)
解 例5 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中 含有 的 , 为了降低车间内空气中 的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机 通入含 的 的新鲜空气, 同时以同样的 风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分 钟后, 车间内 的百分比降低到多少? 1% CO2 0. CO2 CO2 CO2 0.03% 设鼓风机开动后 t 时刻 CO2 的含量为 x(t)% 在 [t, t + dt] 内, CO2 的通入量 CO2 的排出量 = 2000 dt 0.03, = 2000 dt x(t)
CO,的改变量=CO,的通入量-CO2的排出量 12000dx=2000.dt.0.03-2000·dtx(t) dh (x-0.03),→x=0.03+Ce dt 6 =0.1,∴C=0.07,→x=0.03+0.07e6, x==0.03+0.07e≈0.056, 6分钟后,车间内CO的百分比降低到0056%
CO2 的改变量 = CO2 的通入量 −CO2 的排出量 12000dx = 2000 dt 0.03− 2000 dt x(t), ( 0.03), 6 1 = − x − dt dx 0.03 , 6 1 t x Ce − = + | 0.1, x t=0= C = 0.07, 0.03 0.07 , 6 1 t x e − = + | 0.03 0.07 0.056, 1 6= + − = x e t 6分钟后, 车间内 的百分比降低到 0.056%. CO2
