空间直角坐标系 空间点的直角坐标系 为了沟通空间图形与数的研究,我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系,为此我们通过 引进空间直角坐标系来实现 过定点O,作三条互相垂直的数轴,它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位这三条轴 分别叫做x轴(橫轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴);统称坐标轴通常把ⅹ轴和y轴配置在水平面上 而z轴则是铅垂线:它们的正方向要符合右手规则,即以右手握住z轴,当右手的四指从正向x 轴以π/2角度转向正向y轴时,大拇指的指向就是z轴的正向,这样的三条坐标轴就组成了一个 空间直角坐标系,点O叫做坐标原点。(如下图所示) 条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面,这样定出的三个平面统称坐标面 取定了空间直角坐标系后,就可以建立起空间的点与有序数组之间的对应关系。 例:设点M为空间一已知点我们过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴、z轴,它们与 轴、y轴、z轴的交点依次为P、Q、R,这三点在x轴、y轴、z轴的坐标依次为x、y、z于是空 间的一点M就唯一的确定了一个有序数组x,yz这组数xyz就叫做点M的坐标,并依次称xy 和z为点M的横坐标,纵坐标和竖坐标。(如下图所示) 坐标为xyz的点M通常记为M(x,yz) 这样,通过空间直角坐标系,我们就建立了空间的点M和有序数组xyz之间的一一对应关 系 注意:坐标面上和坐标轴上的点,其坐标各有一定的特征 例:如果点M在yOz平面上,则x=0;同样,zOx面上的点,y=0;如果点M在x轴上,则y=z=0 如果M是原点 则 空间两点间的距高 设M(x1y1,z)、M(x2y2z)为空间两点,为了用两点的坐标来表达它们间的距离d我们有公式: 2|=x2-x)2+(2-y)2+(z2-z1 例题:证明以A(43,1)B(7,1,2)C(2,3)为顶点的三角形△ABC是一等腰三角形 解答:由两点间距离公式得: =√(5-7)2+(2-1)2+(-2)2 k=√4-52+(3-2)2+(1-232=√6
空间直角坐标系 空间点的直角坐标系 为了沟通空间图形与数的研究，我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系，为此我们通过 引进空间直角坐标系来实现。 过定点 O，作三条互相垂直的数轴，它们都以 O 为原点且一般具有相同的长度单位.这三条轴 分别叫做 x 轴(横轴）、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴)；统称坐标轴.通常把 x 轴和 y 轴配置在水平面上， 而 z 轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则，即以右手握住 z 轴，当右手的四指从正向 x 轴以 π/2 角度转向正向 y 轴时，大拇指的指向就是 z 轴的正向，这样的三条坐标轴就组成了一个 空间直角坐标系，点 O 叫做坐标原点。（如下图所示） 三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称坐标面。 取定了空间直角坐标系后，就可以建立起空间的点与有序数组之间的对应关系。 例：设点 M 为空间一已知点.我们过点 M 作三个平面分别垂直于 x 轴、y 轴、z 轴，它们与 x 轴、y 轴、z 轴的交点依次为 P、Q、R，这三点在 x 轴、y 轴、z 轴的坐标依次为 x、y、z.于是空 间的一点 M 就唯一的确定了一个有序数组 x,y,z.这组数 x,y,z 就叫做点 M 的坐标，并依次称 x,y 和 z 为点 M 的横坐标，纵坐标和竖坐标。(如下图所示） 坐标为 x,y,z 的点 M 通常记为 M(x,y,z). 这样，通过空间直角坐标系，我们就建立了空间的点 M 和有序数组 x,y,z 之间的一一对应关 系。 注意：坐标面上和坐标轴上的点，其坐标各有一定的特征. 例：如果点 M 在 yOz 平面上，则 x=0；同样，zOx 面上的点，y=0；如果点 M 在 x 轴上，则 y=z=0； 如果 M 是原点， 则 x=y=z=0，等。 空间两点间的距离 设 M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)为空间两点，为了用两点的坐标来表达它们间的距离 d 我们有公式： 例题：证明以 A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的三角形△ABC 是一等腰三角形. 解答：由两点间距离公式得：
由于|BC-4-√6 开以△ABC是一等腰三角形 方向余弦与方向数 解析几何中除了两点间的距离外,还有一个最基本的问题就是如何确定有向线段的或有向直线的 方向。 方向角与方向余弦 设有空间两点(1,1,马,(2,P2),若以P1为始点,另一点P2为终点的线段称为有向 线段记作P2通过原点作一与其平行且同向的有向线段OP将OP与 Ox, Oy, Oz三个坐标轴 正向夹角分别记作aBx这三个角aBy称为有向线段月P2的方向角其中05x03sm,0sysr 关于方向角的问题 若有向线段的方向确定了,则其方向角也是唯一确定的。 方向角的余弦C.09By称为有向线段P2或相应的有向线段的方向余弦 设有空间两点(1,1,1P2(x2P2,2),则其方向余弦可表示为 A nn2lx2-x)2+02-y2+(2-)2 COS 3E x2-x1)“+(y2-y1)“+(z2-z1 cosy=- ic (x2-x1)2+(2-y1)2+(z2-z1) 从上面的公式我们可以得到方向余弦之间的一个基本关系式: cosa+cos“B+cosy=1 注意:从原点出发的任一单位的有向线段的方向余弦就是其端点坐标。 方向数 方向余弦可以用来确定空间有向直线的方向,但是,如果只需要确定一条空间直线的方位( 条直线的两个方向均确定着同一方位),那末就不一定需要知道方向余弦,而只要知道与方向余 弦成比例的三个数就可以了。这三个与方向余弦成比例且不全为零的数A,B,C称为空间直线 的方向数,记作:{A,B,C}即 B COSa C0 sB cosy 据此我们可得到方向余弦与方向数的转换公式
由于 ，所以△ABC 是一等腰三角形 方向余弦与方向数 解析几何中除了两点间的距离外，还有一个最基本的问题就是如何确定有向线段的或有向直线的 方向。 方向角与方向余弦 设有空间两点 ，若以 P1 为始点，另一点 P2 为终点的线段称为有向 线段.记作 .通过原点作一与其平行且同向的有向线段 .将 与 Ox,Oy,Oz 三个坐标轴 正向夹角分别记作 α,β,γ.这三个角 α,β,γ 称为有向线段 的方向角.其中 0≤α≤π,0≤β≤π,0≤γ≤π. 关于方向角的问题 若有向线段的方向确定了，则其方向角也是唯一确定的。 方向角的余弦 称为有向线段 或相应的有向线段的方向余弦。 设有空间两点 ，则其方向余弦可表示为： 从上面的公式我们可以得到方向余弦之间的一个基本关系式： 注意：从原点出发的任一单位的有向线段的方向余弦就是其端点坐标。 方向数 方向余弦可以用来确定空间有向直线的方向，但是，如果只需要确定一条空间直线的方位(一 条直线的两个方向均确定着同一方位)，那末就不一定需要知道方向余弦，而只要知道与方向余 弦成比例的三个数就可以了。这三个与方向余弦成比例且不全为零的数 A，B，C 称为空间直线 的方向数，记作：{A，B，C}.即： 据此我们可得到方向余弦与方向数的转换公式：
COSa= 其中:根式取正负号分别得到两组方向余弦,它们代表两个相反的方向 关于方向数的问题 空间任意两点坐标之差就是联结此两点直线的一组方向数。 两直线的夹角 设L1与L2是空间的任意两条直线,它们可能相交,也可能不相交通过原点O作平行与两条 直线的线段O与0B,则线段Q与O2的夹角称为此两直线L1与L2的夹角 若知道L1与L2的方向余弦则有公式为: os9= cos a]c0s a2+cos F cos B2+cosncos y2 其中:0为两直线的夹角 若知道L1与L2的方向数则有公式为: cosB=± l2+mm2+m72 两直线平行、垂直的条件 两直线平行的充分必要条件为: 。m。为 l2 两直线垂直的充分必要条件为 l2+mm2+m72=0 曲面与空间曲线 曲面的方程 我们知道,在平面解析几何中可把曲线看成是动点的轨迹因此,在空间中曲面可看成是一个 动点或一条动曲线(直线)按一定的条件或规律运动而产生的轨迹。 设曲面上动点P的坐标为(xyz),由这一条件或规律就能导出一个含有变量xyz的方程 F(x,y,2)=0 如果此方程当且仅当P为曲面上的点时,才为P点的坐标所满足。那末我们就用这个方程表 示曲面,并称这个方程为曲面的方程,把这个曲面称为方程的图形 空间曲线的方程 我们知道,空间直线可看成两平面的交线,因而它的方程可用此两相交平面的方程的联立方程 组来表示,这就是直线方程的一般式。 一般地,空间曲线也可以象空间直线那样看成是两个曲面的交线,因而空间曲线的方程就可由 此两相交曲面方程的联立方程组来表示
， ， 其中：根式取正负号分别得到两组方向余弦，它们代表两个相反的方向。 关于方向数的问题 空间任意两点坐标之差就是联结此两点直线的一组方向数。 两直线的夹角 设 L1 与 L2 是空间的任意两条直线，它们可能相交，也可能不相交.通过原点 O 作平行与两条 直线的线段 .则线段 的夹角称为此两直线 L1 与 L2 的夹角. 若知道 L1 与 L2 的方向余弦则有公式为： 其中：θ 为两直线的夹角。 若知道 L1 与 L2 的方向数则有公式为： 两直线平行、垂直的条件 两直线平行的充分必要条件为： 两直线垂直的充分必要条件为： 曲面与空间曲线 曲面的方程 我们知道，在平面解析几何中可把曲线看成是动点的轨迹.因此，在空间中曲面可看成是一个 动点或一条动曲线(直线)按一定的条件或规律运动而产生的轨迹。 设曲面上动点 P 的坐标为(x,y,z)，由这一条件或规律就能导出一个含有变量 x,y,z 的方程： 如果此方程当且仅当 P 为曲面上的点时，才为 P 点的坐标所满足。那末我们就用这个方程表 示曲面，并称这个方程为曲面的方程，把这个曲面称为方程的图形。 空间曲线的方程 我们知道，空间直线可看成两平面的交线，因而它的方程可用此两相交平面的方程的联立方程 组来表示，这就是直线方程的一般式。 一般地，空间曲线也可以象空间直线那样看成是两个曲面的交线，因而空间曲线的方程就可由 此两相交曲面方程的联立方程组来表示
设有两个相交曲面,它们的方程是万(x=0,应2(x2=0,那末联立方程组: 便是它们的交线方程。 两类常见的曲面 1、柱面 设有动直线L沿一给定的曲线C移动,移动时始终与给定的直线M平行,这样由动直线L所 形成的曲面称为柱面,动直线L称为柱面的母线,定曲线C称为柱面的准线 2、旋转面 设有一条平面曲线C,绕着同一平面内的一条直线L旋转一周,这样由C旋转所形成的曲面 称为旋转面,曲线C称为旋转面的母线,直线L称为旋转面的轴 下面我们再列举出几种常见的二次曲面 二次曲面的名称 三二次曲面的方程 椭球面 单叶双曲面 e x2 双叶双曲面 -1 椭圆抛物面 双曲抛物面 x2y=22
设有两个相交曲面，它们的方程是 ， ，那末联立方程组： 便是它们的交线方程。 两类常见的曲面 1、柱面 设有动直线 L 沿一给定的曲线 C 移动，移动时始终与给定的直线 M 平行，这样由动直线 L 所 形成的曲面称为柱面，动直线 L 称为柱面的母线，定曲线 C 称为柱面的准线。 2、旋转面 设有一条平面曲线 C，绕着同一平面内的一条直线 L 旋转一周，这样由 C 旋转所形成的曲面 称为旋转面，曲线 C 称为旋转面的母线，直线 L 称为旋转面的轴。 下面我们再列举出几种常见的二次曲面 二次曲面的名称 二次曲面的方程 椭球面 单叶双曲面 双叶双曲面 椭圆抛物面 双曲抛物面