第三节 齐次方程
第三节 齐次方程
、齐次方程 1.定义形如=f()的微分方程称为齐次方程 d 2解法作变量代换=y,即y=x du =u+x dx dx du 或写成/NJ(=fn 代入原式 u+x 即 d r dx 可分离变量的方程 f(u-u 3x 齐次方 变量代换化成可分离变量的方程
一、齐次方程 ( ) x y f dx dy 形如 = 的微分方程称为齐次方程. 2.解法 , x y 作变量代换 u = 即 y = xu, 代入原式 , dx du u x dx dy = + f (u), dx du u + x = . ( ) x f u u dx du − 即 = 可分离变量的方程 1.定义 = − x dx f u u du ( ) 或写成 齐次方程可以通过变量代换化成可分离变量的方程
例1求解微分方程 (x-ycos")dx+xcos dy=0. 解一令m=,则=xd+udh, ( cos u)dx + xcosu(udx xdu)=0, dx casual sin u=-In x+C, 微分方程的解为siny_x+C
例 1 求解微分方程 ( − cos ) + cos dy = 0. x y dx x x y x y 令 ， x y u = 则dy = xdu + udx， (x − uxcosu)dx + xcosu(udx + xdu) = 0, cos , x dx udu = − sinu = −ln x + C, sin ln x C. x y 微分方程的解为 = − + 解
例2求解微分方程 dx d x-xy+y 2y'-xy 解=2y2-xy dx 2 2 r -xyt y yy 时dy=xd+udr di 12u2-u du 2u 3u12-2u-u urx + dx1-+ 1-u+L 1-1+a adx用部分分式法对左端的因式 l(l-1)(a-2) 作分解
2 2 2 2 x xy y y xy dx dy − + − = , 1 2 2 2 − + − = x y x y x y x y , x y 令u = 则dy = xdu + udx, . 2 2 2 2 y xy dy x xy y dx − = − + 例 2 求解微分方程 解 2 2 1 2 u u u u dx du u x − + − + = , 1 3 2 1 2 2 2 3 2 2 u u u u u u u u u u dx du x − + − − − = − + − = x dx du u u u u u = − − − + − ( 1)( 2) 1 2 用部分分式法对左端的因式 作分解
2 dx 2u-2uu-2 3 In(u-1)-In(u-2)-Inu=Inx +InC, 2 Cx.将u y 代回 2) 微分方程的解为(y-x)2=O(y-2x
ln ln ln , 2 1 ln( 2) 2 3 ln(u − 1) − u − − u = x + C . ( 2) 1 2 3 Cx u u u = − − 微分方程的解为 ( ) ( 2 ) . 2 3 y − x = Cy y − x ] , 1 1 2 2 ) 1 2 1 ( 2 1 [ x dx du u u u u = − + − − − − 将 代回, x y u =
例3抛物线的光学性质(P。336) 实例:车灯的反射镜面 旋转抛物面 解:OM=OA=APOP PMcota-OP=y-x x +y Y T dx x C +1 是以y为自变量 P 以x为末知函数 的齐次方程=-代入经整理得 y2+1。y 解之得以x为旋转轴,焦点在坐标原点的抛物线y=2c(x× 所求的旋转抛物面为y2+2=2c(x+
例 3 抛物线的光学性质（P。336） 实例: 车灯的反射镜面------旋转抛物面 L X Y O P N M T L S A 解：OM=OA=AP-OP 2 2 cot x x y y y PM OP − = + = − = ( ) 1 2 = + + y x y x dy dx 是以y为自变量 以x为末知函数 的齐次方程 y dy v dv y x v = + = 1 , 2 令 代入经整理得 ) 2 , 2 ( 2 c 解之得以x为旋转轴 焦点在坐标原点的抛物线y = c x + ) 2 2 ( 2 2 c 所求的旋转抛物面为y + z = c x +
求解微分方程常用的方法之一是通过变量代换 将给定的微分方程化成可求解的形式。 利用变量代换求微分方程的解 例7求=(x+y)2的通解 dx 解令x+y= dy du 1代入原方程 dx d =1+n2解得 arctan=x+C, 代回a=x+y得 arctan(x+y)=x+C, 原方程的通解为y=tan(x+C)-x
利用变量代换求微分方程的解 7 ( ) . 例 求 x y 2的通解 dx dy = + 解 令 x + y = u, = − 1 dx du dx dy 代入原方程 2 1 u dx du = + 解得 arctanu = x + C, 代回u = x + y,得arctan(x + y) = x +C, 原方程的通解为 y = tan( x + C) − x. 求解微分方程常用的方法之一是通过变量代换 将给定的微分方程化成可求解的形式
思考题 方程2y()+2+y(o)=9(x) 是否为齐次方程? 思考题解答 方程两边同时对x求导 +yx ty=y+xy' xy=√x2+y2+y,y=11+/) 原方程是齐次方程
思考题 方程 2 ( ) ( ) ( ) 0 2 2 y t t y t dt xy x x + + = 是否为齐次方程? 思考题解答 方程两边同时对 x 求导: 2 , 2 2 y + x + y = y + xy , 2 2 xy = x + y + y 1 , 2 x y x y y + = + 原方程是齐次方程
