曲线积分和曲面积分 对弧长的曲线积分
第三节 曲线积分和曲面积分 对弧长的曲线积分
问题的提出 B L 实例曲线形构件的质量 匀质之质量M=ps A M.M 1 29 M,→△s 1 取(5,m)∈△s;,△M1≈p(51,m)·△s 求和M≈∑p(5,n)△s 近似值 i=1 精确值 取极限M=im∑(5,7)△s
一、问题的提出 实例:曲线形构件的质量 o x y A B Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 ( , ) i i L 匀质之质量 M = s. 分割 , , , , 1 2 n 1 i M M M → s − ( , ) , i i i 取 s ( , ) . i i i i M s 求和 ( , ) . 1 = n i i i i M s 取极限 lim ( , ) . 1 0= → = n i i i i M s 近似值 精确值
二、对弧长的曲线积分的概念 1.定义 设L为xoy面内一条光滑曲线弧函数f(x,y) 在L上有界用L上的点M1M2…,Mn把L分成n 个小段设第个小段的长度为△,又(,m;)为第 i个小段上任意取定的一点 B 作乘积(,n)·△s 并作和∑f(5,n)△s, i=1
二、对弧长的曲线积分的概念 ( , ) , ( , ) , , . , ( , ) . , , , , ( , ) 1 1 2 1 = − n i i i i i i i i i i n f s f s i i s L L M M M L n L xoy f x y 并作和 作乘积 个小段上任意取定的一点 个小段设 第 个小段的长度为 又 为 第 在 上有界用 上的点 把 分 成 设 为 面内一条光滑曲线弧函 数 1.定义 o x y A B Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 ( , ) i i L
如果当各小弧段的长度的最大值λ→0时, 这和的极限存在则称此极限为函数f(x,y) 在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲 线积分,记作[f(x,y),即 (x,Db=1m2/(,n),△y i=1 积分弧段 曲线形构件的质量M=p(x,y)k
( , ) lim ( , ) . , ( , ) , , ( , ) 0 , 1 0 = → = → n i i i i L L f x y ds f s f x y ds L f x y 线积分 记 作 即 在曲线弧 上对弧长的曲线积分或第一类曲 这和的极限存在 则称此极限为函数 如果当各小弧段的长度的最大值 时 被积函数 积分弧段 积分和式 曲线形构件的质量 ( , ) . = L M x y ds
2.存在条件(充分条件) 当f(x,y)在光滑曲线弧L上连续时, 对弧长的曲线积分f(x,y)存在 函数f(x,y,z)在空间曲线弧上对弧长的 曲线积分为 f(x)=1m∑(5,n,)
2.存在条件（充分条件）： ( , ) . ( , ) , 对弧长的曲线积分 存 在 当 在光滑曲线弧 上连续时 L f x y ds f x y L 3.推广（将平面曲线推广到空间曲线） 曲线积分为 函 数 f (x, y,z)在空间曲线弧上对弧长的 ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i n i i i i f x y z ds = f s = →
注意: 1.若L(或)是分段光滑的,(L=L1+L2)8 2.函数f(x,y)在闭曲线L上对弧长的 曲线积分记为f(x,y)
注意： 1. ( ) , ( ) 若 L 或 是分段光滑的 L = L1 + L2 ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2 1 2 = + L +L L L f x y ds f x y ds f x y ds ( , ) . 2. ( , ) L f x y ds f x y L 曲线积分记为 函 数 在闭曲线 上对弧长的
注意: 1.若L(或)是分段光滑的,(L=L1+L2)8 2.函数f(x,y)在闭曲线L上对弧长的 曲线积分记为f(x,y)
注意： 1. ( ) , ( ) 若 L 或 是分段光滑的 L = L1 + L2 ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2 1 2 = + L +L L L f x y ds f x y ds f x y ds ( , ) . 2. ( , ) L f x y ds f x y L 曲线积分记为 函 数 在闭曲线 上对弧长的
4.性质 ()JU(x,)+(x,)=f(x,y)士8(x (2),f(x,y)s=k,f(x,y)ds(k为常数) (3) f(x,y)ds= f(x, y)ds+l f(x, y)ds. (L=L1+L2)
4.性质 (1) [ ( , ) ( , )] ( , ) ( , ) . = L L L f x y g x y ds f x y ds g x y ds (2) kf (x, y)ds k f (x, y)ds (k为常数). L L = (3) ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2 = + L L L f x y ds f x y ds f x y ds ( ). L = L1 + L2
对弧长曲线积分的计算 定理设f(xy)在曲线弧L上有定义且连续, L的参数方程为 =(a≤t≤B)其中 y=v() 9(),v(1)在a,B上具有一阶连续导数,且 1f(xy)hb=Jno(,y(o)p"()+v(nht (a<B) 其中弧微分ds=Vx2+(ay?2=1+[y(x)dx V1+[x'(y) ]dy= Vo(t)12+ Ly(t)]dt x2()+x()a6
三、对弧长曲线积分的计算 定理 ( ) ( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) ( ), ( ) [ , ] , ( ) ( ), ( ), ( , ) , 2 2 = + = = f x y ds f t t t t dt t t t y t x t L f x y L L 在 上具有一阶连续导数 且 的参数方程为 其中 设 在曲线弧 上有定义且连续 其中弧微分 ds dx dy y x dx 2 2 2 = ( ) + ( ) = 1 + [ ( )] x y dy t t dt 2 2 2 = 1 + [ ( )] = [( )] + [( )] r () r ()d 2 2 = +
注意: 1.定积分的下限a一定要小于上限B; 2.f(x,y)中x,y不彼此独立,而是相互有关的 L的参数方程x=0(),y=W(t 确定了一条平面曲线f(xy) (1)L:y=y(x)a≤x≤b. L(, y)ds=J, fIx, w(x)l1+v(x)dx(a<b)
注意: 1. 定积分的下限 一定要小于上限 ; 2. f (x, y)中x, y不彼此独立, 而是相互有关的. 特殊情形 (1) L : y =(x) a x b. ( , ) [ , ( )] 1 ( ) . 2 f x y ds f x x x dx b L a = + (a b) （L的参数方程 确定了一条平面曲线 x = (t),y = (t) f(x,y) = C ）