第六节定积分在几何中的应用 本节知识 引入 本节目的 与要求 I.定积分的微元法 本节重点 与难点 本节复习 II.平面图形的面积 指 III。体积 IV,平面曲线的弧长 后退 出 第1页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 1 页 第六节 定积分在几何中的应用 I. 定积分的微元法 II.平面图形的面积 IV.平面曲线的弧长 III.体积 第五章 定积分 后退 目录 主 页 退 出 本节知识 引入 本节目的 与要求 本节重点 与难点 本节复习 指导
第六定积分在几何中的用 1.定积分的元素法 本节 知识 引入 、预备知识 本节 要求曲边梯形面积的有关知识 本节 重点 根据定积分的几何意义 y=f(r) 知,如图所示曲边梯形的面 积为 指导 b A=f()dx o a bx 后退 第2页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 2 页 I. 定积分的元素法 求曲边梯形面积的有关知识 = b a A f (x)dx 一、预备知识 a b x y o 根据定积分的几何意义 y = f (x) 知，如图所示曲边梯形的面 积为 第六节 定积分在几何中的应用 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第六定积分在几何中的用 求面积A的步骤为: 本节 |(1)分割:把区间a,b分成个长度为Ax的小区 本节 要相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形,第个 |窄曲边梯形的面积为△4,则A=∑△4 点 i=1 本(2)近似:计算△41的近似值 指导 △4≈∫(5;),8;∈[x11x 后退 (3)求和:得的近似值A≈∑∫(5)△ 第3页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 3 页 （1）分割：把区间[a,b]分成n 个长度为 i x 的小区间， 相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，第i 个小 窄曲边梯形的面积为Ai ，则 = = n i A Ai 1 . 求面积A的步骤为: （2）近似：计算Ai 的近似值 ( ) , i i xi A f （3）求和: 得A的近似值 ( ) . 1 i i n i A f x = [ ] i xi−1, xi 第六节 定积分在几何中的应用 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第六定积分在几何中的用 (4)求极限:得A的精确值 本节 知识 引入 A=im∑f(5)G,/(xltc 本节 i=1 面积元素 提示若用△4表示任一小区间 [x,x+△xl上的窄曲边梯形的面积, 与难 yyf(x) 则A=∑△A,并取△A≈f(x)d 本节 品于是A≈∑f(x)x d a xx+dsx A=lim∑f(x)x=/(x)d ● 后退 第4页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 4 页 （4） 求极限: 得A的精确值 i i n i A = f x = → lim ( ) 1 0 若用A 表示任一小区间 [x, x + x]上的窄曲边梯形的面积， 则A = A，并取A f ( x)dx， 于是A f ( x)dx A = lim f (x)dx a b x y o y = f (x) dA 面 积 元 素 x x + dx ( ) . = b a f x dx 提示 = b a f (x)dx 第六节 定积分在几何中的应用 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第六定积分在几何中的用 二、微元法 本节 知识 引入 以所求量A的元素f(x)dx为被积表达式, 可在区间b上作定积分,得4=[( 即为所求量A的积分表达式 本节 这个方法通常叫做元素法(微元法 点 本节应用范围: 指导 平面图形的面积;体积;平面曲线的弧长; 功;水压力;引力和平均值等 后退 第5页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 5 页 这个方法通常叫做元素法(微元法)． 以所求量A的元素 f (x)dx为被积表达式， 在区间[a,b]上作定积分，得 = b a A f (x)dx， 即为所求量A的积分表达式. 应用范围： 平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 功；水压力；引力和平均值等． 二、微元法 第六节 定积分在几何中的应用 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第六定积分在几何中的用 微元法的一般步骤: 知识 ()确定积分变量x(或y,并求出相应的积分 盟区间a,bl; 求 两(2)在区间a,b内任取一小区间x,x+d, 求出相应的微元素 本节 dA= f(x)dx 指导 (3)求A=dA=f(xd a a 后退 士页下页返回 第6页
上页 下页 返回 第 6 页 微元法的一般步骤： (1) 确定积分变量x(或y)，并求出相应的积分 区间[a,b]； (2) 在区间[a,b]内任取一小区间[x, x + dx]， 求出相应的微元素 dA = f (x)d x (3) 求 A dA f x dx b a b a = = ( ) 第六节 定积分在几何中的应用 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第六定积分在几何中的用 1.平面图形的面积 本节 知识 、预备知识 引入 本节 1直角坐标系的概念和二次曲线的有关知识 求 精2极坐标系的概念及双纽线、心形线等曲线的 与难 点 本节 相关知识。 3扇形的面积公式:4=R2一圆心角 2 圆半径 后退 士页下页返回 第7页
上页 下页 返回 第 7 页 II. 平面图形的面积 一、预备知识 1.直角坐标系的概念和二次曲线的有关知识 。 2.极坐标系的概念及双纽线、心形线等曲线的 相关知识。 3.扇形的面积公式： = 2 2 1 A R 圆半径 圆心角 第六节 定积分在几何中的应用 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第六定积分在几何中的用 二、平面图形的面积 菇1直角坐标系下平面图形的面积 引入 本节 如图:由曲线y=f(x)y↑y=f(x) 目的 和直线x=a,x=bx=0所组 本节 成的曲边梯形的面积的微元素 点 0axx+Axb支 本节 dA=f(xdx 指导 所以曲边梯形的面积 A=5f(x)dx 后退 第8页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 8 页 1.直角坐标系下平面图形的面积 x y o y = f (x) a x x + xb 曲边梯形的面积 A f x dx b a ( ) = 如图：由曲线 y = f (x) 和直线 x = a, x = b, x = 0 所组 成的曲边梯形的面积的微元素： dA = f (x)dx 所以 二、平面图形的面积 第六节 定积分在几何中的应用 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第六定积分在几何中的用 如图:求由曲线y=f1(x)和y=f2(x), 且f(x)≥f(x),以及直线x=a,x=b所围成 知识 引入 图形的面积 本节 要(1)如图以x为积分变量,积分区间为 本节 la, b y/2(x) 重点 (2)在ab内任取一小区间1 E Ix,x+dxl sayi=f(x) 指导 d4=/(x)-f(x) dx o a xx+△支 b (3)A=」dA=1/2(x)-f(x)x 后退 士页下页返回 第9页
上页 下页 返回 第 9 页 x y o ( ) y = f 1 x ( ) y = f 2 x a x x + xb = = − b a b a (3) A dA [ f2 (x) f1 (x)]dx 如图：求由曲线 ( ) ( ), y = f1 x 和y = f2 x ( ) ( ), 且f 1 x f 2 x 以及直线 x = a, x = b 所围成 （1）如图,以 x [a,b]. （2）在 [a,b] [x, x + dx] dA = [ f 2 (x) − f 1 (x)]dx 为积分变量，积分区间为 图形的面积 内任取一小区间 第六节 定积分在几何中的应用 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第六定积分在几何中的用 例1求由抛物线y2=x和y=x2所围成的图形 本节 |的面积 解两曲线的交点(0.0)(,1)x=y2 求 西以为积分变量,积分区间为 y=p 与难 点 0,] 本节 指导 面积元素d4=(x-x2)x A=(x-x2)t=/2ar1 2 后退 33 3 0 第10页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 10 页 例 1 求由抛物线y = x 2 和 2 y = x 所围成的图形 的面积. 解 两曲线的交点 (0,0) (1,1) dA ( x x )dx 2 面积元素 = − A ( x x )dx 2 1 0 = − 1 0 3 3 3 2 2 3 = − x x . 3 1 = 2 y = x 2 x = y 以 为积分变量，积分区间为 [0,1]; x 第六节 定积分在几何中的应用 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导