第妥章定載 第三节定积分的换元法和分部积分法 本节知识 引入 本节目的 与要求 本节重点 与难点 本节复习 I.定积分的换元积分法 指 Ⅱl定积分的分部积分法 后退 出 第1页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 1 页 第三节 定积分的换元法和分部积分法 I. 定积分的换元积分法 II. 定积分的分部积分法 第五章 定积分 后退 目录 主 页 退 出 本节知识 引入 本节目的 与要求 本节重点 与难点 本节复习 指导
第三专定的换元故和都积方 I.定积分的换元积分法 本节 知识 引入 本节 、预备知识 目的 求 本节 1不定积分的换元法(凑微分法、第二 重点 与难 类换元法) 点 本节 2牛顿莱布尼兹公式 指导 后退 第2页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 2 页 一、预备知识 I. 定积分的换元积分法 1.不定积分的换元法（凑微分法、第二 类换元法） 2.牛顿-莱布尼兹公式 第三节 定积分的换元法和分部积分法 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第三专定的换元故和都积方 二、定积分的换元积分法 本节 飘定理假设 (1)f(x)在a,b上连续; 求 本节 (2)函数x=q(t)在a,月上是单值的且有连续 重点 导数; (3)当在区间a,B上变化时,x=q()的值 在[a,b上变化,且φ(a)=a、φ(B)=b, 则有∫(xx=n1g()p()t 第3页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 3 页 定理 假设 （1） f ( x)在[a,b]上连续； （2）函数x = (t)在[, ]上是单值的且有连续 导数； （3） 当t 在区间[, ]上变化时，x = (t) 的 值 在[a,b]上变化，且() = a、( ) = b， 则 有 f x dx f t t dt b a = ( ) [( )] ( ) . 二、定积分的换元积分法 第三节 定积分的换元法和分部积分法 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第三专定的换元故和都积方 应用换元公式时应注意 本节 知识 皱(1用x=()把变量换成新变量时,积分限也 本节 目的 相应的改变 如(2)求出fg(l(的一个原函数()后,不 删必象计算不定积分那样再要把Φ()变换成原 点 本节 变量x的函数,而只要把新变量的上、下限 指导 分别代入Φ()然后相减就行了. 后退 第4页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 4 页 应用换元公式时应注意: （1） 求出 f [(t)](t)的一个原函数(t)后，不 必象计算不定积分那样再要把(t)变换成原 变量x 的函数，而只要把新变量t 的上、下限 分别代入(t)然后相减就行了. （2） 用x = (t)把变量x 换成新变量t 时，积分限也 相应的改变. 第三节 定积分的换元法和分部积分法 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第三专定的换元故和都积方 例1计算 3 dx 0√1+x 本节 知识 引入 解令1+x=t,则x=t2-1,dkx=2tt 本节 目的 求 x=0→t=1;x=3→t=2 本节 置原式=2r-1 重点 t.tdt= 2 T(t-1)dt 本节 3 8 指导 =2-th= 3 3 后退 第5页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 5 页 例1 计算 + 3 0 1 dx x x 解 令 1 + x = t, 1, 2 则x = t − dx = 2tdt. x = 0 t = 1; x = 3 t = 2 tdt t t 2 2 1 1 2 − = 原式 t dt = − 2 1 2 2 ( 1) 2 1 3 ] 3 2[ t t = − 3 8 = 第三节 定积分的换元法和分部积分法 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第三专定的换元故和都积方 例2计算 sInˇ xcos d 本节 锨|解令inx=t,则dt= cos xd. 本节 目的 x=0→t=0;x=→t=1 求 本节 原式=rdt=21l_1 0 重点 0 与难 点 本节 注意使用定积分换元法,最后不必回代过 程。但必须在换元的同时积分上下限也要 作相应的变换。 后退 士页下页返回 第6页
上页 下页 返回 第 6 页 例2 计算 2 0 3 sin xcos xdx 解 令sin x = t,则dt = cos xdt. 1 2 0 0; = x = t = x = t t dt = 1 0 原式 3 1 0 4 ] 4 1 = [ t 4 1 = 注意 使用定积分换元法，最后不必回代过 程。但必须在换元的同时积分上下限也要 作相应的变换。 第三节 定积分的换元法和分部积分法 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第三专定的换元故和都积方 例3计算 dx.(a>0) 0 +√a--r 本节 鍬解令x= aint,d= a cos tdi, 本节 目的 x=→t=。,x=0→t=0, 求 2 本节 原式= a cos t 重点 与难 dt 点 0 asin+va(1-sin t 本节 cos t 指导 cos t-sin t d=2|1+ ldt 0 sint +cost 2 Jo sint+cos 后退 nsint+ cost 222 4 士页下页返回 第7页
上页 下页 返回 第 7 页 例3 计算 解 + − a dx a x a x 0 2 2 . ( 0) 1 令 x = asint, x = a , 2 t = x = 0 t = 0, dx = acostdt, 原式 + − = 2 0 2 2 sin (1 sin ) cos dt a t a t a t + = 2 0 sin cos cos dt t t t + − = + 2 0 sin cos cos sin 1 2 1 dt t t t t 2 0 lnsin cos 2 1 2 2 1 + + = t t . 4 = 第三节 定积分的换元法和分部积分法 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第三专定的换元故和都积方 例4设∫(x)在-a,上连续,证明 本节 知识 ①f(x)为偶函数,则 引入 本节 目的 ∫。f(x)dx=2f(x)x; 求 本节 ②f(x)为奇函数, 则∫。 f(e)dx=0. 重点 与难 点 证∫/(xk=(x)+(dk 在f(x)中令x=-t, 后退 第8页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 8 页 例 4 设 f (x)在[−a, a]上连续，证明 ① f (x)为偶函数，则 − = a a a f x dx f x dx 0 ( ) 2 ( ) ； ② f (x)为奇函数，则− = a a f (x)dx 0. 证 ( ) ( ) ( ) , 0 0 − − = + a a a a f x dx f x dx f x dx 在− 0 ( ) a f x dx中令x = −t, 第三节 定积分的换元法和分部积分法 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第三专定的换元故和都积方 本节 f()dx=-SfeodtSf(t)dt, 知识 引入 ①f(x)为偶函数,则f(-)=f( 目的 求 本节 ∫。f(x)dx=J。f(x)dx+f(x)d 重点 与难 点 本节 =2(dt 指导 ②f(x)为奇函数,则f(-1)=-f(t), ∫ f(x)dx=f(x)dx+lf(x)dx=0 后退 士页下页返回 第9页
上页 下页 返回 第 9 页 − = 0 ( ) a f x dx − − = 0 ( ) a f t dt ( ) , 0 − a f t dt ① f (x)为偶函数，则 f (−t) = f (t), − − = + a a a a f x dx f x dx f x dx 0 0 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ; 0 = a f t dt ② f (x)为奇函数，则 f (−t) = − f (t), − = − + a a a a f x dx f x dx f x dx 0 0 ( ) ( ) ( ) = 0. 第三节 定积分的换元法和分部积分法 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第三带定积的换元和分都积硫 例5计算 本节 () x'sinxdx(2)∫ 2+rcos x dr 知识 2 1-x 引入 T 本节 解(1)因为∫(x)= x sin x在对称区间[。 目的 22 上是奇函数,故[2 x8sinxdx=0 本节 重点 与难 点 (2)原式 2 l cosx dxt dx 本节 一J 指导 偶函数 奇函数 =4n 后退 -小dx=4 arcsinx=2π 第10页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 10 页 奇函数 例5 计算 解 . 1 2 cos (1) sin (2) 1 1 2 2 2 8 − − − + dx x x x x xdx （2）原式 − − = 1 1 2 1 2 dx x − − + 1 1 2 1 cos dx x x x 偶函数 − = 1 0 2 1 1 4 dx x = 2 1 0 = 4[arcsinx] f (x) x sin x 8 = 在对称区间 ] 2 2 [ − ， 上是奇函数，故 （1）因为 − = 2 2 8 x sin xdx 0 第三节 定积分的换元法和分部积分法 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导