第五节曲面及其方程
第五节 曲面及其方程
本节必须掌握哪些内容? 。曲面是动点在空间的几何规迹。曲面 与三元方程F(x2y,)=0一对应。 讨论两类问题 1。曲面作为点的几何规迹,如何建立这个曲面 的方程? 2。已知方程F(xy,x)=0,研究这个方程所表示的 曲面的形状。 二。旋转曲面及其方程特点
一。曲面是动点在空间的几何规迹。曲面 与三元方程F(x,y,z)=0一一对应。 本节必须掌握哪些内容？ 讨论两类问题： 1。曲面作为点的几何规迹，如何建立这个曲面 的方程？ 2。已知方程F(x,y,z)=0，研究这个方程所表示的 曲面的形状。 二。旋转曲面及其方程特点 三。柱面及其方程特点
。曲面是动点在空间的几何规迹。曲面 与三元方程F(x2y,2)=0对应。 平面曲线4y=f(x)x∈D即F(xy)=0.x∈D 曲面4=f(x,y)(xy)∈D即F(xy=)=0(xy)∈D 主要讨论两类问题: 1。曲面作为点的几何规迹,如何建立这个曲面的方程? 2。已知方程F(x,y2=0,研究这个方程所表示的曲面的形状。 通过常见曲面的举例来讨论这两类问题。 例1。求球心在点(x02y0=0)半径为R的球面方程。 例2。求以4x12y12=)B(x2y2=2)为端点的线段AB的垂直平分 面的方程。 例3。方程Ax2+4y2+A2+Dx+By+F+G=0 表示怎样的曲面?
一。曲面是动点在空间的几何规迹。曲面 与三元方程F(x,y,z)=0一一对应。 平面曲线 y = f (x), x D 即 F(x, y) = 0, x D 曲面 z = f (x, y),(x, y) D 即 F(x, y,z) = 0,(x, y) D 主要讨论两类问题： 1。曲面作为点的几何规迹，如何建立这个曲面的方程？ 2。已知方程F(x,y,z)=0，研究这个方程所表示的曲面的形状。 通过常见曲面的举例来讨论这两类问题。 例1。求球心在点 (x0 , y0 ,z0 ) 半径为R的球面方程。 例2。求以 为端点的线段AB的垂直平分 面的方程。 ( , , ), ( , , ) 1 1 1 2 2 2 A x y z B x y z 例3。方程 0 2 2 2 Ax + Ay + Az + Dx + Ey + Fz +G = 表示怎样的曲面？
方程2+2+42+Dx+E+F+G=0 的特点是: 1。是三元二次方程;2。平方项糸数相等;3。缺非平方 二次项。 经配方得:(x+)+(+ D F、,D2+E2+F2-4G +(2+ 2A 2A 2A 4A 如果D2+E2+F2-4G>0.为球面。 D2+E2+F2-4G=0为一点。 D2+E2+F2-4G<0无点的实轨迹
0 2 2 2 Ax + Ay + Az + Dx + Ey + Fz +G = 方程 的特点是： 1。是三元二次方程；2。平方项糸数相等；3。缺非平方 二次项。 经配方得： 2 2 2 2 2 2 2 4 4 ) 2 ) ( 2 ) ( 2 ( A D E F G A F z A E y A D x + + − + + + + + = 如果 D E F 4G 2 2 2 + + − D E F 4G 2 2 2 + + − D E F 4G 2 2 2 + + − 0, 为球面。 = 0, 为一点。 0, 无点的实轨迹
二。旋转曲面及其方程 平面上的一条曲线(称母线)绕其上的一条定直线(称旋转轴) 旋转一周所得的曲面称旋转曲面 为使方程形式简单,常取定直线作为坐标轴(比如Z轴)。 旋转曲面的形成(如图): 设M(x,y,z) M1(0,y1,x1) M (1)z=1 (2)点M到轴的距离 d=x2+y2=|y1 将z=x1,y1=土x2+y2代入 f(y12z1)=0
二。旋转曲面及其方程 平面上的一条曲线（称母线）绕其上的一条定直线（称旋转轴） 旋转一周所得的曲面称旋转曲面。 为使方程形式简单，常取定直线作为坐标轴（比如Z轴）。 旋转曲面的形成（如图）： x o z y f ( y,z) = 0 (0, , ) 1 1 1 M y z M 设 M(x, y,z), 1 (1) z = z （2）点M 到z 轴的距离 | | 1 2 2 d = x + y = y 将 代入 2 2 1 1 z = z , y = x + y ( , ) 0 f y1 z1 = d
将z=2,y1=±x2+y2代入f(y1,x1)=0 得方程(x+y2x)=0 y0z坐标面上的已知曲线f(y,z)=0绕z轴旋 转一周的旋转曲面方程 同理:y0z坐标面上的已知曲线f(y,z)=0 绕y轴旋转一周的旋转曲面方程为 ±√x2+z2)=0 例如,园y+2=1绕轴旋转一周所得的旋转曲面方 程为球面:x2+y2+==1
将 代入 2 2 1 1 z = z , y = x + y ( , ) 0 f y1 z1 = ( , ) 0, 2 2 f x + y z = yoz坐标面上的已知曲线 f ( y,z) = 0绕z轴旋 转一周的旋转曲面方程. 得方程 同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y,z) = 0 绕 y轴旋转一周的旋转曲面方程为 ( , ) 0. 2 2 f y x + z = 例如，园 绕z轴旋转一周所得的旋转曲面方 程为球面： 1 2 2 y + z = 1 2 2 2 x + y + z =
例将下列各曲线绕对应的轴旋转一周,求生 成的旋转曲面的方程 (1)双曲线 x3=1分别绕轴和轴; 2 绕x轴旋转 y +Z 2一 绕z轴旋转 x ty Z 转双曲 2
例 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生 成的旋转曲面的方程． （1）双曲线 1 2 2 2 2 − = c z a x 分别绕x 轴和z 轴； 绕x轴旋转 绕z轴旋转 1 2 2 2 2 2 = + − c y z a x 1 2 2 2 2 2 − = + c z a x y 旋 转 双 曲 面
2 2 y4 + (2)椭圆{a2c2绕轴和轴; x=0 2 2 绕y轴旋转+x+x=1旋 2 绕z轴旋转 x +y 乙=1面 (3)抛物线 2=2p2 绕轴 0 x +y=2pz
（2）椭圆 = + = 0 1 2 2 2 2 x c z a y 绕y 轴和z 轴； 绕y轴旋转 绕z轴旋转 1 2 2 2 2 2 = + + c x z a y 1 2 2 2 2 2 + = + c z a x y 旋 转 椭 球 面 （3）抛物线 = = 0 2 2 x y pz绕z 轴； x y 2 pz 2 2 + = 旋转抛物面
例5直线L绕另一条相交的直线旋转一周, 所得旋转曲面叫圆锥面.两直线的交点叫圆锥面的 顶点,两直线的夹角a0<a<叫圆锥面的半顶 2 角.试建立顶点在坐标原点,旋转轴为轴,半顶 角为的圆锥面方程 解y面上直线方程为 M1(0,y31,z1) z= scot a 圆锥面方程 z=±x2+y2cota M(x, v,z) 或写成:=2=(x2+y2)ota=a(x2+y2)
例 5 直线L绕另一条与L 相交的直线旋转一周， 所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的 顶点，两直线的夹角 2 0 叫圆锥面的半顶 角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，半顶 角为 的圆锥面方程． x o z y 解 yoz面上直线方程为 z = y cot (0, , ) 1 1 1 M y z M(x, y,z) 圆锥面方程 cot 2 2 z = x + y o x z y 或写成： ( )cot ( ) 2 2 2 2 2 2 2 z = x + y = a x + y
三。柱面及其方程 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L 所形成的曲面称为柱面 称定直线L为柱面的母线,称定曲线0为柱面的准线。 柱面举例 抛物柱
三。柱面及其方程 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. C L 称定直线L为柱面的母线，称定曲线C为柱面的准线。 柱面举例 x o z y x o z y y 2x 2 = 抛物柱面 y = x 平面