第章买氯弩 本章的 第四章不定积分习题课 目的与 要求 本章的 一、主要内容 重点与 难点 本章的 复习指 二、典型例题 三、自测题 后退 出 第1页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 1 页 第四章 不定积分习题课 一、主要内容 二、典型例题 第四章 不定积分 后退 目录 主 页 退 出 本章的 重点与 难点 本章的 目的与 要求 本章的 复习指 导 三、自测题
第章买氯弩 、主要内容 本章 原函数 不定积分 的目 的与 要求 本章 的重 分部 积分法积分法 直接 积分法 本章 习指 选择u有效 基本积分 方第一换元法 几种特殊类型川表 第二换元法 函数的积分 后退 第2页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 2 页 积分法 原 函 数 选 择 u 有 效 方 法 基 本 积 分 表 第一换元法 第二换元法 直接 积分法 分部 积分法 不 定 积 分 几种特殊类型 函数的积分 一、主要内容 第四章 不定积分 后退 目录 主 页 退 出 本章 的重 点与 难点 本章 的目 的与 要求 本章 的复 习指 导
第章买氯弩 1、原函数 定义如果在区间/内,可导函数F(x)的导函数为 她f(x),即x∈I,都有F(x)=f(x)或 要求 F(x)=f(x)dx,那么函数F(x)就称为∫(x)或 的重 f(x)dx在区间/内原函数 强原函数存在定理如果函数f(x)在区间内连续,那 么在区间I内存在可导函数F(x),使Vx∈I,都有 F'(x)=∫(x) 起即:连续函数一定有原函数 第3页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 3 页 1、原函数 如果在区间I 内，可导函数F( x) 的导函数为 f ( x) ， 即 x I ， 都 有 F(x) = f (x) 或 dF( x) = f ( x)dx，那么函数F( x) 就称为 f ( x)或 f ( x)dx在区间I 内原函数. 定义 原函数存在定理 如果函数f (x) 在区间I 内连续，那 么在区间I 内存在可导函数F( x) ， 使x I ，都有 F(x) = f (x). 即：连续函数一定有原函数． 第四章 不定积分 后退 目录 主 页 退 出 本章 的重 点与 难点 本章 的目 的与 要求 本章 的复 习指 导
第章买氯弩 2、不定积分 (1)定义 本章 的目 的与 在区间内,函数f(x)的带有任意常数项 要求 的原函数称为f(x)在区间内的不定积分,记 点为f(x)dx. 本章 习指 f(rdx=F(x)+c 函数∫(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线 后退 第4页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 4 页 2、不定积分 (1) 定义 在区间I 内，函数 f (x) 的带有任意常数项 的原函数称为 f (x) 在区间I 内 的不定积分，记 为 f (x)dx． f (x)dx = F(x) + C 函数 f (x)的原函数的图形称为f (x) 的积分曲线. 第四章 不定积分 后退 目录 主 页 退 出 本章 的重 点与 难点 本章 的目 的与 要求 本章 的复 习指 导
第章买氯弩 (2)微分运算与求不定积分的运算是互逆的 d 本章 [f(x)de]=f(x) diff(r)c=f(r)dx 的目 的与 要求 F(x)dx= F(x)+C dF(x)=F(x)+c 本章 的重 点(3)不定积分的性质 本章 2”j0(x=」f(x)d(k是常数,k≠0) 后退 第5页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 5 页 1 [ f (x) g(x)]dx = 0 f (x)dx g(x)dx (2) 微分运算与求不定积分的运算是互逆的. 2 kf (x)dx = 0 k f (x)dx（k是常数，k 0) (3) 不定积分的性质 f (x)dx f (x) dx d = d[ f (x)dx] = f (x)dx F(x)dx = F(x) + C dF(x) = F(x) + C 第四章 不定积分 后退 目录 主 页 退 出 本章 的重 点与 难点 本章 的目 的与 要求 本章 的复 习指 导
第章买氯弩 3、基本积分表 ∫=k+C《是常数)()mxh=cx+C 本章 的目 +1 的与(2)x"ax= +C(≠-1)(8) =sec xdx= tanx+C 要求 μ+1 cosX 本章 dx 的(3)丁=x+C Icsc xdx=-cot x+C SIn d 本章(4) 1 x dx=arctan x+c(10) sec x tan xd= secx+C 习指 (5)J,. dx=arcsin+c(les x cot xdx =-escx+C (6)∫ cos xx=sinx+C(1)∫ea=c+C 后退 士页下页返回 第6页
上页 下页 返回 第 6 页 3、基本积分表 (1) kdx = kx + C (k 是常数) ( 1) 1 (2) 1 + − + = + C x x dx = x + C x dx (3) ln = + dx x 2 1 1 (4) arctan x +C = − dx x 2 1 1 (5) arcsin x +C (6) cos xdx = sin x +C (7) sin xdx = − cos x +C (10) sec x tan xdx = sec x +C (11) csc x cot xdx = − csc x +C = e dx x (12) e C x + = x dx 2 cos (8) xdx = 2 sec tan x +C = x dx 2 sin (9) xdx = 2 csc − cot x +C 第四章 不定积分 后退 目录 主 页 退 出 本章 的重 点与 难点 本章 的目 的与 要求 本章 的复 习指 导
第章买氯弩 (13)adx=i+C n (20) odx==arctan -+C a+x (14) shrd=chx+C 本章 (21)∫「 x2-a2m O d -a 的目(15)「 chxdx=shx+C 要求 本童(16)∫ tanxu=- -ln cos x+C (22)J22d=hm2+C a- a-C (17)cot xdx=In sinx+C 本章 (23)∫2、d= arcsin+C 的复(18)Jer.n(secx+tanx)+C 习指 (24) dx (19)csc xdx=In(csc x-cot x)+C x2士a =ln(x+√x2±a2)+C 后退 士页下页返回 第7页
上页 下页 返回 第 7 页 a dx = x (13) C a a x + ln (16) tan xdx = −lncos x +C (17) cot xdx = lnsin x +C (18) sec xdx = ln(sec x + tan x) +C (19) csc xdx = ln(csc x − cot x) +C C a x a dx a x = + + arctan 1 1 (20) 2 2 C a x a x a dx a x + − + = − ln 2 1 1 (22) 2 2 C a x dx a x = + − arcsin 1 (23) 2 2 x x a C dx x a = + + ln( ) 1 (24) 2 2 2 2 C x a x a a dx x a + + − = − ln 2 1 1 (21) 2 2 x +C (14) shxdx = ch (15) ch xdx = shx +C 第四章 不定积分 后退 目录 主 页 退 出 本章 的重 点与 难点 本章 的目 的与 要求 本章 的复 习指 导
第章买氯弩 4、直接积分法 由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不 定积分的方法 的与 5、第一类换元法 本章 的重 定理1设f(a)具有原函数,"=q(x)可导, 则有换元公式 习指 ∫f(x)q(x)x=∫f(o)ol- 第一类换元公式(凑微分法) 后退 第8页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 8 页 5、第一类换元法 4、直接积分法 定理 1 设 f (u)具有原函数，u = (x)可导， 则有换元公式 f[(x)](x)dx = = ( ) [ ( ) ] u du u x f 第一类换元公式（凑微分法） 由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不 定积分的方法. 第四章 不定积分 后退 目录 主 页 退 出 本章 的重 点与 难点 本章 的目 的与 要求 本章 的复 习指 导
第章买氯弩 常见类型 1.f(x"+)x"dr; 2 f(x) dx 本章 的目 的与 要求 本章 的重 f(In x) 3. 4.x dx 2 本章 sa 5f(sinx)cos xdx; 6.f(a )a dx 7.f(tan x)sec xd; 8 f(arctan x) 1+x 2 后退 士页下页返回 第9页
上页 下页 返回 第 9 页 1. ( ) ; 1 f x x dx n+ n ; ( ) 2. dx x f x ; (ln ) 3. dx x f x ; ) 1 ( 4. 2 dx x x f 5. f (sin x)cos xdx; 6. f (a )a dx; x x 常见类型: 7. (tan )sec ; 2 f x xdx ; 1 (arctan ) 8. 2 dx x f x + 第四章 不定积分 后退 目录 主 页 退 出 本章 的重 点与 难点 本章 的目 的与 要求 本章 的复 习指 导
第章买氯弩 6、第二类换元法 a定理设x=v(t)是单调的、可导的函数,并 的目 且v()≠0,又设/()y()具有原函数 则有换元公式 Jre)dx=//(Olw'(Mr! 第二类换元公式 其中(x)是x=y()的反函数 后退 第10页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 10 页 6、第二类换元法 定理 设 x =(t)是单调的、可导的函数，并 且(t) 0，又设 f [ (t)](t)具有原函数， 则有换元公式 ( ) ( ) [ ( )] ( ) t x f x dx f t t dt = = 其中(x)是x = (t)的反函数. 第二类换元公式 第四章 不定积分 后退 目录 主 页 退 出 本章 的重 点与 难点 本章 的目 的与 要求 本章 的复 习指 导