《矩阵论》课程教学讲义：第七讲 矩阵级数与矩阵函数

第七讲矩阵级数与矩阵函数 矩阵序列 .定义:设有矩阵序列(A0,其中A0=(a),且当k→x时a→a,则称{40) 收敛,并把A=(a)叫做(0的极限,或称(A}收敛于A记为 imA=A或A→A 不收敛的序列则称为发散的,其中又分为有界和无界的情况 2.收敛矩阵序列的性质 设A、B0分别收敛于A、B,则 (1)aA+BB→aA+BB (2)AB→AB (3)(A)1→A,若(A)-1,A_存在 (4)PAQ→PAQ ka→∝ 3收敛矩阵:设A为方阵,且当k→∝时A→0,则称A为收敛矩阵 [定理]方阵A为收敛矩阵的充要条件是A的所有特征值的模值均小于1 证明:对任何方阵A,均存在可逆矩阵P,使得 A=PJP 其中J为A的 Jordan标准形 0 J= Ak=PJP-1=P

第七讲 矩阵级数与矩阵函数 一、 矩阵序列 1. 定义: 设有矩阵序列   (k) A , 其中 (k) (k) A = (a ) ij , 且当 k→ 时 (k) a →ij ij a , 则称   (k) A 收敛, 并把 A = (a )ij 叫做   (k) A 的极限, 或称   (k) A 收敛于 A. 记为  (k) k→ lim A = A 或  (k) k→ A → A 不收敛的序列则称为发散的,其中又分为有界和无界的情况. 2. 收敛矩阵序列的性质: 设 (K) A 、 (K) B 分别收敛于 A、B, 则 (1)  (k) (k) k→ αA +βB →αA +βB (2)  (k) (k) k→ A B → AB (3)  (k) -1 -1 k→ (A ) → A ，若 (k) -1 (A ) ， -1 A 存在 (4)  (k) k→ PA Q → PAQ 3 收敛矩阵: 设 A 为方阵,且当 k→ 时 k A →0 , 则称 A 为收敛矩阵. [定理] 方阵 A 为收敛矩阵的充要条件是 A 的所有特征值的模值均小于 1. 证明: 对任何方阵 A,均存在可逆矩阵 P, 使得 -1 A = PJP 其中 J 为 A 的 Jordan 标准形             1 2 s J J J = J ,             i i i i λ 1 0 λ J = 1 0 λ             k 1 k k k -1 -1 2 k s J J A = PJ P = P P J

2入 k! m (k-m ) 当k> A→0就等价于4→0(i=12…,s),等价于入→0i=1,2,s),而这只有入<1 才可能也必能 [得证] 二、矩阵级数 1定义:矩阵序列{A}的无穷和A0+A0+…+A0+…叫做矩阵级数,而S9=A 称为其部分和,若矩阵序列{S}收敛,且有极限S,则称该级数收敛,且有极限S.记为 AES 不收敛的级数必为发散的 若矩阵级数∑A的所有元素∑a均绝对收敛,则称该级数为绝对收敛 2.绝对收敛矩阵的性质 (1)绝对收敛级数一定收敛,且任意调换它的项所得的级数仍收敛,并具有相同的和 (2)∑A0绝对收敛,则∑PA吗Q也绝对收敛且等于P∑A (3)∑A,∑B均绝对收敛,且和分别为S1,S2则 ∑C∑AB)=SS 三、方阵的幂级数 A为方阵,∑cA,(A°=1)称为A的幂级数∑A称为A的 Neumann级数 1. Neumann级数收敛的充要条件 [定理] Neumann级数收敛的充要条件是A为收敛矩阵,且在收敛时其和为(|-A)1 证明:[必要性

                当 i k k-1 k-m i i i i i k i i k! λ 2λ ... λ m!(k - m )! J = , k > m k A →0 就等价于 k i J →0(i= 1,2, ,s), 等价于 k λi →0(i= 1,2, ,s), 而这只有 λi <1 才可能也必能. [得证] 二、 矩阵级数 1.定义: 矩阵序列   (k) A 的无穷和 (1) (2) (k) A + A + + A + 叫做矩阵级数, 而  N (N) (k) k=1 S = A 称为其部分和, 若矩阵序列   (N) S 收敛,且有极限 S, 则称该级数收敛,且有极限 S. 记为   (k) k=1 A = S 不收敛的级数必为发散的. 若矩阵级数   (k) k=1 A 的所有元素   (k) ij k=1 a 均绝对收敛,则称该级数为绝对收敛. 2. 绝对收敛矩阵的性质 (1)绝对收敛级数一定收敛,且任意调换它的项所得的级数仍收敛,并具有相同的和. (2)   (k) k=1 A 绝对收敛,则   (k) k=1 PA Q 也绝对收敛且等于   (k) k=1 P A Q (3)   (k) k=1 A ,   (k) k=1 B 均绝对收敛,且和分别为 1 S ， 2 S 则    k (i) (k+1-i) 1 2 k=1 i=1 ( A B )= S S 三、 方阵的幂级数 A 为方阵,   k k k=0 c A ， 0 (A =I) 称为 A 的幂级数.   k k=0 A 称为 A 的 Neumann 级数. 1. Neumann 级数收敛的充要条件 [定理] Neumann 级数收敛的充要条件是 A 为收敛矩阵,且在收敛时其和为 -1 (I- A) . 证明: [必要性]

级数SA收敛,其元素为 q+(AU1+(A2)1+(A° 显然也是收敛的.作为数项级数,其通项趋于零是级数收敛的必要条件.故 (A)1→0,即A→0 也就是说A为收敛矩阵. [充分性] A为收敛矩阵,则其特征值的模值均小于1.设A的特征值为λ,(|-A的特征值为μ 则由 det(μ|-(|-A)=det((μ-1)+A=(-1)ydet((1-μ)l-A) 可见1-μ=λ→μ=1-λ 故0<叫<2→以≠0,(-A)的行列式不为零,(-A)存在 而(+A+A2+…+A)(-A)=|-A1 右乘(|-A)得 +A+A2+…+Ak=(|-Ax)(|-A) 当k→∝时,Ak→0,故A(-A)1→0.所以 ∑A=im∑A=(-4) 即 Neumann级数收敛于(-A 2.收敛圆 [定理]若矩阵A的特征值全部落在幂级数q(z)=cz的收敛圆内,则矩阵幂级数 (A=∑,A°=1)是绝对收敛的.反之,若A存在落在p(z)的收敛圆外的特征值, 则p(A)是发散的 证明略 [推论]若幂级数在整个复平面上收敛,则对任何的方阵A,q(A均收敛

级数   k k=0 A 收敛, 其元素为 2 3 σij ij ij ij +(A) +(A ) +(A ) + 显然也是收敛的. 作为数项级数, 其通项趋于零是级数收敛的必要条件. 故  k ij k→ (A ) → 0 ，即  k k→ A → 0 也就是说 A 为收敛矩阵. [充分性]: A 为收敛矩阵, 则其特征值的模值均小于 1. 设 A 的特征值为 λ, (I- A) 的特征值为 μ. 则由 n det(μI-(I- A))= det((μ- 1)I+ A)=(-1) det((1-μ)I- A) 可见 1-μ=λ→μ= 1-λ 故 0 <μ< 2→μ≠0, (I- A) 的行列式不为零, -1 (I- A) 存在. 而 2 k k+1 (I+ A + A + + A )(I- A)=I- A 右乘 -1 (I- A) 得 2 k k+1 -1 I+ A + A + + A =(I- A )(I- A) 当 k→ 时, k+1 A →0, 故 k+1 -1 A (I- A) →0 . 所以    k i i -1 k→ i=0 i=0 A =lim A =(I- A) 即 Neumann 级数收敛于 -1 (I- A) . 2. 收敛圆 [定理] 若矩阵 A 的特征值全部落在幂级数   k k k=0 (z)= c z 的收敛圆内, 则矩阵幂级数   k 0 k k=0 (A)= c A ,(A =I) 是绝对收敛的. 反之, 若 A 存在落在 (z) 的收敛圆外的特征值, 则 (A) 是发散的. 证明略. [推论] 若幂级数在整个复平面上收敛, 则对任何的方阵 A, (A) 均收敛

四、矩阵函数 如:e^,sinA,cosA 以矩阵为自变量的”函数”(实际上是”函矩阵” 我们知道,e2=1+z+1z2+ sin (z= (-1 (2n+1)! 1) 均为整个复平面上收敛的级数,故对任何的方阵A so n! sin(a) (-1 An+ (2n+1)! cos(A=∑ (-1) A 均绝对收敛.三者分别称为矩阵指数函数、矩阵正弦函数、矩阵余弦函数。 [性质] cosA+js inA cosA=-(e+e Cos-A=cosA sin (A=-sinA Cos (A+B=cosAcosB msinAs inB ←AB=BA sin(A士B)= sinAcosB± cosAs inB 但是一般来说e^eB,ee,eA三者互不相等.例如

四、 矩阵函数 如: A e , sinA, cosA 以矩阵为自变量的” 函数”(实际上是”函矩阵”) 我们知道,   z 2 n n=0 1 1 e = 1+ z + z + = z 2! n!   n 2n+1 n=0 (-1) sin(z)= z (2n +1)!   n 2n n=0 (-1) cos(z)= z (2n)! 均为整个复平面上收敛的级数, 故对任何的方阵 A   A n n=0 1 e = A n!   n 2n+1 n=0 (-1) sin(A)= A (2n +1)!   n 2n n=0 (-1) cos(A)= A (2n)! 均绝对收敛. 三者分别称为矩阵指数函数、矩阵正弦函数、矩阵余弦函数。 [性质] jA e = cosA +jsinA 1 jA -jA cosA = (e + e ) 2 1 jA -jA sinA = (e - e ) 2j cos(-A)= cosA sin(-A)= -sinA    cos(A±B)= cosAcosB m sinAsinB ← AB = BA sin(A±B)= sinAcosB±cosAsinB 但是一般来说 A B e e , B A e e , A+B e 三者互不相等. 例如

B 则 00 00 A2 A3=A4 =B3=B4= 00 +(>)A=|+(e-1)A= 01 =H+∑)B=1+(-1B=°1-e n 01 2e+1 0 可见ee≠ee A+B/20 A+B)2=2 00 00|=2A+B),(A+B)3=2(A+B), B+=|+C∑2)(A+B)=|+(a2-1)A+B)=/0 2 所以,e≠e ≠eBe [定理]若AB=BA,则eA=e′eB=ee [证明] eeB=(+A+A2+…)(|+B+B2+…) =|+(A+B)+(A2+2AB+B2)+(A3+3A3+3AB2+B3) 2! =|+(A+B)+(A+B)2+(A+B)+…=eA 3! (A+B)2=(A+B)(A+B)=A+AB+BA +B=A2+2AB+B2 A+B)3=…=A3+3AB+3AB2+B

      1 1 A = 0 0 ,       1 -1 B = 0 0 , 则       2 3 4 1 1 A = = A = A = 0 0       2 3 4 1 -1 B = = B = B = 0 0         A n=1 1 e e - 1 e =I+( )A =I+(e - 1)A = n! 0 1         B n=1 1 e 1- e e =I+( )B =I+(e - 1)B = n! 0 1   =     2 2 A B e 2e - e - 1 e e 0 1   =     2 2 B A e e - 2e +1 e e 0 1 可见 A B B A e e ≠e e       2 0 A + B = 0 0 ,       2 2 0 (A + B) = 2 = 2(A + B) 0 0 , 3 2 (A + B) = 2 (A + B),         2 A+B n-1 2 n=1 1 1 e 0 e =I+( 2 )(A + B)=I+ (e - 1)(A + B)= n! 2 0 1 所以, A+B A B e ≠e e , A+B B A e ≠e e [定理] 若 AB = BA , 则 A+B A B B A e = e e = e e [证明]: A B 2 2 1 1 e e =(I+ A + A + )(I+ B + B + ) 2! 2! 1 1 2 2 3 2 2 3 =I+(A + B)+ (A + 2AB + B )+ (A + 3A B + 3AB + B )+ 2! 3! 1 1 2 3 A+B =I+(A + B)+ (A + B) + (A + B) + = e 2! 3! 2 2 2 2 2 (A + B) =(A + B)(A + B)= A + AB + BA + B = A + 2AB + B 3 3 2 2 3 (A + B) = = A + 3A B + 3AB + B

同理,有eBe4=e4 推论]ee=e"e^=e°=1,(e^)1=e,(e3)=e,e^总存在逆阵 五、矩阵函数的初步计算 1. Hamilton- Cayley定理 n阶矩阵A是其特征多项式的零点,即令 q(λ)=det(入|-A=入+c+…+cnA+cn 则g(A)=A+cA"1+…+cnA+c=0 [证明]:设A的特征值为入λ2,…n,则g(λ)又可写成 q(λ)=(入-入)(λ-λ2)…(λ-入) 由 Schur引理知,存在酉矩阵U,使得 UAU 0 相似矩阵具有相同的特征多项式 所以p()=p(UAU=U厂AU-)UAU-x2)…U厂AU-入) λ2- λ3-k λ3-k2 MM-Mm Am-MO 00 2 λ2-n λ4-k3 00

同理, 有 B A A+B e e = e [推论] A -A -A A 0 e e = e e = e =I, A -1 -A A m mA A (e ) = e ,(e ) = e ,e 总存在逆阵 五、 矩阵函数的初步计算 1. Hamilton-Cayley 定理 n 阶矩阵 A 是其特征多项式的零点, 即令 n n-1 1 n-1 n (λ)= det(λI- A)=λ + cλ + + c λ+ c 则 n n-1 1 n-1 n (A)= A + c A + + c A + c I= 0 [证明]: 设 A 的特征值为 λ1 2 n ,λ, ,λ , 则 (λ) 又可写成  1 2 n (λ)=(λ-λ)(λ-λ) (λ-λ) 由 Schur 引理知, 存在酉矩阵 U, 使得             1 -1 2 n λ * λ U AU = 0 λ 相似矩阵具有相同的特征多项式 所以 -1 -1 -1 -1 1 2 n   (A)= (U AU)=(U AU -λI)(U AU -λI) (U AU -λI)                                                 1 2 1 n 2 1 2 n 3 1 3 2 n-1 n n 1 n 2 0 * λ -λ * λ -λ * λ -λ 0 λ -λ = ... λ -λ λ -λ λ -λ 0 λ -λ 0 λ -λ 0 0                                                 1 3 1 n 2 3 2 n 4 3 n-1 n 0 0 λ -λ λ -λ λ -λ * λ -λ * = ... * 0 λ -λ λ -λ 0 0 0 0 0

000 000 λ2-A4 M2-M λ3-A4 λn-kn 00 00 00 即p(A)=0 2.零化多项式 多项式f(z),若f(A)=0,则称其为A的零化多项式 由以上定理可知,方阵A的特征多项式为A的零化多项式 3.矩阵指数函数、正弦函数、余弦函数的计算 例:已知四阶矩阵的特征值是丌、-z、0、0,求sinA、cosA、e 解:以(λ)=(λ-m)(λ+T)(λ-0)(入-0)=4-m22 t (A=A4-A2=0+A=TA,A=TTA, A=A=TA sin(a=a+ m(2n+1)1=A+S(1)m)N (-1)° (-1 (2n+1)! (2n+1)! T2 )A3 =A+(sinπ-)A3=A-m2A A)+(8/a*20)m2012=+1(01)A=-2n (-1)° (2n) A=|+A+ 2n (2n)! (2n+1)! =|+A+ T(1)A2+ TYrA (2n)! (2n+1)! cosh Tt =|+A+ A2+sInn T-T

                                                1 4 1 n 2 4 2 n 3 4 n-1 n 0 0 0 λ -λ * λ -λ * 0 0 0 λ -λ λ -λ = ... * λ -λ 0 λ -λ 0 0 0 0 0 0                 0 0 0 0 0 0 = = 0 0 0 0 即 (A)= 0 2.零化多项式 多项式 f(z),若 f(A)=0,则称其为 A 的零化多项式。 由以上定理可知，方阵 A 的特征多项式为 A 的零化多项式。 3. 矩阵指数函数、正弦函数、余弦函数的计算 例: 已知四阶矩阵的特征值是  、-π、 0、 0, 求 sinA、 cosA、 A e 解: 4 2 2 (λ)=(λ-π)(λ+π)(λ- 0)(λ- 0)=λ -πλ 故  4 2 2 4 2 2 5 2 3 6 2 4 4 2 (A)= A -πA = 0→A =πA ,A =πA ,A =πA =πA ,       n n n 2n+1 2(n-1) 3 2n+1 3 3 n=1 n=1 n=1 (-1) (-1) 1 (-1) sin(A)= A + A = A + π A =A + ( π )A (2n +1)! (2n +1)! π (2n +1)! 3 -2 3 3 1 = A + (sinπ-π)A = A -π A π     n n 2n 2(n-1) 2 2 -2 2 2 n=1 n=1 (-1) (-1) 1 cos(A)=I+ A =I+ π A =I+ (cosπ- 1)A =I- 2π A (2n)! (2n)! π       A n 2n 2n+1 n=0 n=1 n=1 1 1 1 e = A =I+ A + + A + A = n! (2n)! (2n +1)!     2(n-1) 2 2(n-1) 3 n=1 n=1 1 1 =I+ A + π A + π A (2n)! (2n +1)! 2 3 2 3 coshπ-1 sinhπ-π =I+ A + A + A π π

作业P1633,4,5

作业 P163 3, 4, 5