《矩阵论》课程教学讲义：第十三讲 Penrose广义逆矩阵（1）

第十三讲 Penrose广义逆矩阵() 、 Penrose广义逆矩阵的定义及存在性 所谓广义,即推广了原有概念或结果。我们知道,逆矩阵概念是针对 非奇异的(或称为满秩的)方阵。故这一概念可推广到:(1)奇异方阵; (2)非方矩阵。事实上, Penrose广义逆矩阵涵盖了两种情况。 对于满秩方阵A,A→存在,且AA=AA=故,当然有 AAA=A A-AA=A (AA)=AA AAH=A-A 这四个对满秩方阵显然成立的等式构成了 Penrose广义逆的启示 1. Penrose定义:设A∈Cm,若Z∈Cmm且使如下四个等式成立, AZA=A, ZAZ=Z, (AZ)=AZ, (ZA)=ZA 则称Z为A的 Moore-Penrose(广义)逆,记为,A 而上述四个等式有依次称为 Penrose方程(i)f(i),i),(iv) 2. Moore- Penrose逆的存在性和唯一性 定理:任给A∈Cm”,A↑均存在且唯 证明:存在性.ˇA∈Cm,均存在酉矩阵 UeCmxm,v∈C使 UHAV=D 即A=UDH 其中,σ2,σ2…σ2是A"A的全部非零特征值

第十三讲 Penrose 广义逆矩阵(I) 一、Penrose 广义逆矩阵的定义及存在性 所谓广义，即推广了原有概念或结果。我们知道，逆矩阵概念是针对 非奇异的（或称为满秩的）方阵。故这一概念可推广到：（1）奇异方阵； （2）非方矩阵。事实上， Penrose 广义逆矩阵涵盖了两种情况。 对于满秩方阵 A, A −1 存在，且 AA −1＝A −1 A＝I 故，当然有 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 ( ) ( ) H H AA A A A AA A AA AA A A A A  =   =   =   = 这四个对满秩方阵显然成立的等式构成了 Penrose 广义逆的启示。 1. Penrose 定义：设 A  C mn ，若 Z  C nm 且使如下四个等式成立， AZA = A, ZAZ = Z, (AZ) H = AZ , (ZA) H = ZA 则称 Z 为 A 的 Moore-Penrose(广义)逆，记为，A † 。 而上述四个等式有依次称为 Penrose 方程（i）,(ii) ,(iii) ,(iv)。 2. Moore-Penrose 逆的存在性和唯一性 定理：任给 A  C mn，A † 均存在且唯一。 证明：存在性.  A  C m n r  ，均存在酉矩阵 U  C m m m  ，V  C n n n  使 U H AV = D = m n r                      0 0 0 2 1           即 A = UDV H 其中， 2 2 2 2 1 , , ,     r 是 A H A 的全部非零特征值

此时,令Z=VDU∈C 则 0 (1) AZA=(UDV C DU (UDV)=UD DDV=UDV =A (1I) ZAZ= DU UDV DU=VDDD"=VDU=Z (iii)(AZ)=[(UDVH)O DUH)]=(UD DUH)=UD DUH=AZ (iv)(ZA)=(VDDV)=VDDV=ZA 即,Z=A 其中D-/0 0 0/ DD=//0 AZ=UDDU, ZA=V DDyH 00 唯一性:设Z,Y均满足四个 Penrose方程,则 Z=ZAZ=Z(AZ)=ZZ A"=ZZ(AYA"=Z(AZ)"(AY"=Z(AZ)(AY) = ZAY=(ZA"Y=A"ZY=A"Z(YAY=A"Z(YA)"Y=A"ZAYY (AZAYHY=AY Y=(YAY=YAY=Y 即,满足四个 Penrose方程的Z是唯一的 该证明实际上给出了 Moore- Penrose逆的一种构造方法。由A'的唯 性可知:(1)当A为满秩方阵时,A=A;(2)实际上还是一个限制相 当严格,狭窄的量,可考虑更加放宽。 3.{i,j…,l}-逆的定义:A∈Cm,若Z∈Cm且满足 Penrose方程中的 第(1)(八)…()个方程,则称Z为A的{j…,l}-逆,记为A),其 全体记为{…,l}。{j…,l-逆共有C4+C4+C4+C4=15类,但实

此时，令 Z＝V ~ D U  C n m r  则 ~ D＝ n m r  − − −                     0 0 0 1 1 2 1 1           (i) ~ ~ ( )( )( ) H H H H H AZA UDV V DU UDV UD D DV UDV A = = = = (ii) ~ ~ ~ ~ ~ ( )( )( ) H H H H H ZAZ V DU UDV V DU V D DDU V DU Z = = = = (iii) ~ ~ ~ ( ) [( )( )] ( ) H H H H H H H AZ UDV V DU UD DU UD DU AZ = = = = (iv) ~ ~ ( ) ( ) H H H H ZA V D DV V D DV ZA = = = 即， † Z A = 其中 ~ 0 0 0 r m m I D D    =     ~ 0 0 0 r n n I D D    =     ~ H AZ UD DU = , ~ H ZA V D DV = 唯一性：设 Z ,Y 均满足四个 Penrose 方程，则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H Z ZAZ Z AZ ZZ A ZZ AYA Z AZ AY Z AZ AY ZAY ZA Y A Z Y A Z YAY A Z YA Y A Z A Y Y AZA Y Y A Y Y YA Y YAY Y = = = = = = = = = = = = = = = = = 即，满足四个 Penrose 方程的 Z 是唯一的. 该证明实际上给出了 Moore-Penrose 逆的一种构造方法。由 † A 的唯一 性可知：(1)当 A 为满秩方阵时， † 1 A A− = ; (2) † A 实际上还是一个限制相 当严格，狭窄的量，可考虑更加放宽。 3. { i j l , , , }-逆的定义： m n A C    ，若 n m Z C   且满足 Penrose 方程中的 第 ( ),( ), ,( ) i j l 个方程，则称 Z 为 A 的 { , , , } i j l -逆，记为 ( , , , ) i j l A ，其 全体记为 A i j l { , , , }。{ , , , } i j l -逆共有 1 2 3 4 4 4 4 4 C C C C + + + =15 类，但实

际上常用的为如下5类:A{1},A{1,2},A{1,3},A{1,4},A{1,2,34}=A 、{1}-逆的性质 引理:rmhk(AB)≤min(rmkA,rmkB) 证明:矩阵的秩=行秩=列秩.将AB成(A∈Cm,B∈CmP) A |=回ana2 bu b b「b 6. b b2。|b2 B b b (1)设ramk(4)=r,则必存在a12a12…a1(4,l2…两两不同)成为线性 无关的向量组。所以,其它列向量a可表示为 ∑P2a1(=1,2,…,m) b21b2…b2 AB=a,a [∑b∑b2a1…∑b b, b 可见AB的各列向量均为a12an2…a的线性组合。亦即 rWk(AB)≤r=rmk(A) (2)同理。设rmk(B)=s,则必存在bn,b,…bn成为线性无关的 向量组。所以,其它列向量b可表示为

际上常用的为如下 5 类：A{1}, A{1,2}, A{1,3}, A{1,4}, A{1,2,3,4}＝ † A 二、{1}-逆的性质 引理： rank AB rankA rank B ( ) min ( , )  证明：矩阵的秩＝行秩＝列秩. 将 ( , ) m n n p A B A C B C   、 写成   11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 [ ] n n n m m mn a a a a a a A a a a a a a     = =         11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 p p n n np n b b b b b b b b B b b b b         = =                 （1）设 rank A r ( ) = ,则必存在 1 2 1 2 , , , ( , , , r l l l r a a a l l l 两两不同） 成为线性 无关的向量组。所以，其它列向量 i a 可表示为: 1 ( 1,2, , ) k r i ik l k a p a i n = = =  11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 [ ] [ ] p n n n p n i i i i ip i i i i n n np b b b b b b AB a a a b a b a b a b b b = = =     = =            可见 AB 的各列向量均为 1 2 , , , r l l l a a a 的线性组合。亦即 rank AB r rank A ( ) ( )  = (2) 同理。设 rank B s ( ) = ,则必存在 1 2 , , , m m mr b b b 成为线性无关的 向量组。所以，其它列向量 i b 可表示为:

b=∑9bm(=1,2,…,n) b AB b2_∑a2b 可见,AB的各行向量均为bn,bn…,b的线性组合,故 nk(AB)≤ rank B 合起来即rmnk(AB)≤min( GrankA, rank B) 定理:设A∈Cm,BEC",A∈C,=2≠0则 0A=0 (1)(A)∈A2{l} (2)AA∈(AA){} (3)S、T为可逆方阵且与A可乘,则 AS∈(SA7){l},(S∈Cmm,T∈C) (4)ramk(A)≥rmkA (5)AA和AA均为幂等矩阵且与垌秩(P2=P) (6)R(AAO)=R(A), N(AA)=N(A), R((AA)=R(A") (7)AA=I A4=1n台 rank(4)=m AB(AB)A=A rank(AB)=rank(A) B(AB)AB=B rank(AB)=rank(B) 证明:(1)(4)A2=(AAA)2 1}

1 ( 1,2, , ) k s i ik m k b q b i n = = =  1 1 11 12 1 1 21 22 2 2 2 1 1 2 1 n i i i n n n i i i m m mn n n mi i i a b a a a b a a a b a b AB a a a b a b = = =                    = =                         可见，AB 的各行向量均为 1 2 , , , m m mr b b b 的线性组合，故 rank AB rank B s ( )  = 合起来即 rank AB rankA rank B ( ) min ( , )  定理：设 , m n n P A C B C     , 1 † 0 , 0 0 C      −    =   = 则 (1) (1) ( ) {1} H H A A  (2) † (1)   A A ( ){1} (3) S、T 为可逆方阵且与 A 可乘，则 1 (1) 1 ( ){1} , ( , ) m m n n T A S SAT S C T C m n − −      (4) rank ( (1) A rankA )  (5) (1) 1 AA A A A 和 （ ） 均为幂等矩阵且与 同秩 ( 2 P P= ) (6) (1) (1) (1) ( ) ( ), ( ) ( ), (( ) ) ( ) H H R AA R A N A A N A R A A R A = = = (7) (1) ( ) A A I rank A n =  = n (1) ( ) AA I rank A m =  = m (8) (1) (1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) AB AB A A rank AB rank A B AB AB B rank AB rank B =  = =  = 证明：(1) (1) (1) (1) ( ) ( ) ( ) {1} H H H H H H H A A A AA A A A A = = → 

(2)λ=0时,A=0nn,A'A=0m,显然成立 λ≠0时,(A)A)(A)=(44)(AAA)=2A ()(SAT(TAS-)(SAT)=S(AAA)T=SAT (4)rank(A)=rank(AAOAsrank(AO) AAOAAO=A.AC (5)AA(A=A AA)=A 和,AA=A.4→( 又 rank(A)=ramk(A4")A)≤runk(AA)≤ramk(4) →rnk(A40)=ramk(A) 同理,rmk(AA)=rmk(A (6)·R(A)={Ax|x∈C"}cCm,R(A4)={A4y|y∈Cm}c R(A)2R(AAO)R(AA A)>R(A)=R(AA) 同理 又法:将A,AA写成A=[aa2…an],AA=[bb2…bn a1,b,均为m维列向量,则 R(4)=spm{a,a2…an}=2∑5|5∈C}→dimR(A)=rmk(A R(A4)=mb…bn}=①n|∈C}→dimR(A1)=rmk(A4") 即dimR(A)= dim r(AA)且R(A)2R(AA) 故R(4)=R(A4) N(A)={x|Ax=0,x∈C"}≤C",N(型A={x|AAx=0,x∈C"}≤CN →N(A)gN(AA)N(AAA)=N(A)→N(A)=N(AA) 同理 又法:dimN(A)=n-rmk(A)=n-rmhk(AA=dimN(AA)

(2)  = 0 时， 0 A＝ m n ， † (1) 0  A = n m .显然成立.   0 时， † (1) 1 (1) ( )( )( ) ( )( )       A A A AA A A − = = (3) 1 (1) 1 (1) ( )( )( ) ( ) SAT T A S SAT S AA A T SAT − − = = (4) (1) (1) rank A rank AA A rank A ( ) ( ) ( ) =  (5) (1) (1) (1) (1) 2 (1) (1) (1) (1) (1) (1) 2 (1) ( ) ( ) AA A A A A AA AA AA A A A AA A A A A A A A   =  → = = →    =  → = 又 (1) (1) (1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) rank A rank AA A rank AA rank A rank AA rank A =   → = 同理， (1) rank A A rank A ( ) ( ) = (6) • ( ) { | }n m R A Ax x C C =   , (1) (1) ( ) { | }m n R AA AA y y C C =   (1) (1) (1) R A R AA R AA A R A R AA ( ) ( ) ( ) ( ) ( )     → = 同理 又法：将 (1) A,AA 写成 (1) 1 2 1 2 [ ], [ ]. A a a a AA b b b = = n m , i j a b 均为 m 维列向量，则 1 2 1 ( ) { , , , } { | } dim ( ) ( ) n n i i i i R A span a a a a C R A rank A   = = =  → =  (1) (1) (1) 1 2 1 ( ) { , , , } { | } dim ( ) ( ) m n i i i i R AA span b b b b C R AA rank AA   = = =  → =  即 (1) (1) dim ( ) dim ( ) ( ) ( ) R A R AA R A R AA =  且 故 (1) R A R AA ( ) ( ) = • ( ) { | 0, } , n n N A x Ax x C C = =   (1) (1) ( ) { | 0 , }n N N A A x A Ax x C C = =   (1) (1) (1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N A N A A N AA A N A N A N A A     = → = 同理 又法： (1) (1) dim ( ) - ( ) - ( ) dim ( ) N A n rank A n rank A A N A A = = =

又N(A)gN(AA)故N(A)=N(AA) 在R(AA)=R(A)中,将A换为,A换为(A),则有 RQ(A2)=R((A)2)=R(AA)) (7)以AA= I e rankA=m为例 rankA=rank(AA)=rank(I)=m rank(Aa)=rankA=m 即AA为m阶满秩可逆方阵,(AA)存在。 又AA幂等:(AA0)=AA,乘以(A4),得AA"=ln (8)R(A)={Ax|x∈"}cC R(AB)={ABy|y∈C"}sCm→R(A2R(AB) 对AB(AB)A=A台rmk(AB)= ranke(A ranke4=rmk(AB(AB)A)≤rwmk(AB)≤rmk(A) rank(AB)=rankA rankA = dim R(A), rank(AB)=dim R(aB) 故R(A)=R(AB) 即,Ⅴx∈C",y∈C,使Ax=ABy.故 Ax=ABy= AB(AB)ABy= AB(AB)Ax (注意x∈C")→AB(AB)"A=A Xf B(AB)AB=B rank(AB)=rank(B) rankB=rumk(B(AB)AB)≤rwk(AB)≤rmk(B) → rank(AB)= rankB ∈R(B(AB)AB)={B(AB)ABy|y∈C"}≤R(B)={Bx|x∈Cn} 又, rankB=rmhk(AB)=rmk(AB(AB)AB)≤rmhk(B(AB)AB)≤rmkB →rmkB=rmk(B(AB)AB)→R(B)=R(B(AB)yAB)

又 (1) N A N A A ( ) ( )  故 (1) N A N A A ( ) ( ) = 在 (1) R AA R A ( ) ( ) = 中，将 A 换为 H A ， (1) A 换为 (1) ( )H A ,则有 (1) (1) ( ) ( ( ) ) (( ) ) H H H H R A R A A R A A = = (7) 以 (1) AA I rankA m =  = m 为例. (1) : ( ) ( ) . m  = = = rankA rank AA rank I m (1)  = = : ( ) rank AA rankA m 即 (1) AA 为 m 阶满秩可逆方阵, (1) 1 ( ) AA − 存在。 又 (1) AA 幂等： (1) 2 (1) （AA AA ）＝ , 乘以 (1) 1 AA （ ）－ ，得 (1) AA I ＝ m (8) ( ) { | }n m R A Ax x C C =   ( ) { | } ( ) ( ) P m R AB ABy y C C R A R AB =   →  (1) •对 ( ) ( ) ( ) AB AB A A rank AB rank A =  = (1) : ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) rankA rank AB AB A rank AB rank A rank AB rankA  =   → = : dim ( ), ( ) dim ( ) ( ) ( ) rankA R A rank AB R AB R A R AB  = = 故 = 即， , , n p     x C y C 使 Ax ABy = . 故 (1) (1) (1) ( ) ( ) ( ) ( ) n Ax ABy AB AB ABy AB AB Ax x C AB AB A A = = = 注意  → = • 对 (1) B AB AB B rank AB rank B ( ) ( ) ( ) =  = (1) : ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) rankB rank B AB AB rank AB rank B rank AB rankB  =   → = (1) (1) : ( ( ) ) { ( ) | } ( ) { | } p p  =   =  R B AB AB B AB ABy y C R B Bx x C 又， (1) (1) rankB rank AB rank AB AB AB rank B AB AB rankB = =   ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) (1) (1) → =  = rankB rank B AB AB R B R B AB AB ( ( ) ) ( ) ( ( ) )

即,x∈C,彐y∈C",使B(AB)ABy=Bx.故 Bx=B(AB) ABy= B(AB)AB(AB)ABy=B(AB)ABx 定理:矩阵A当且仅当A为满秩方阵时具有唯一的{1}逆,此时 作业:P3063,4,5

即， , p p     x C y C ，使 (1) B AB ABy Bx ( ) = . 故 (1) (1) (1) (1) Bx B AB ABy B AB AB AB ABy B AB ABx = = = ( ) ( ) ( ) ( ) 定理：矩阵 A 当且仅当 A 为满秩方阵时具有唯一的{1}逆，此时 (1) 1 A A− = 作业：P306 3，4，5