第九讲矩阵微分方程 矩阵的微分和积分 1.矩阵导数定义:若矩阵A(t)=(a(t)2的每一个元素a1(t)是变量t的 可微函数,则称A(t)可微,其导数定义为 A(t)=(-) dt 由此出发,函数可以定义高阶导数,类似地,又可以定义偏导数。 2.矩阵导数性质:若A(t),B(t)是两个可进行相应运算的可徽矩阵,则 1)A(t)±B(=±B dt dt (2).[A(t)B(t)=dA.dB d dt (3)[a(t)A(t)]=,A+a dt (4)(0)M0%(),tin(4)at (A与t无关) 此处仅对(0)=Ae=A加以证明 证:(")=(+t+1t42+1t+)=A+t+2+1+A+ A(H+A+t2A2+…)=Ae 又=(+4++2+)A=6A 3矩阵积分定义:若矩阵A(t)=(4,)的每个元素a(t)都是区间 [tt上的可积函数则称A(t在区间[t,t]上可积,并定义A(t)在tt]
第九讲 矩阵微分方程 一、矩阵的微分和积分 1. 矩阵导数定义：若矩阵 ij m×n A(t)=(a (t)) 的每一个元素 a (t) ij 是变量 t 的 可微函数，则称 A(t)可微，其导数定义为 ij m×n dA da = A (t)=( ) dt dt 由此出发，函数可以定义高阶导数，类似地，又可以定义偏导数。 2. 矩阵导数性质：若 A(t),B(t)是两个可进行相应运算的可微矩阵，则 （1） d dA dB [A(t)±B(t)]= ± dt dt dt （2） d dA dB [A(t)B(t)]= B + A dt dt dt （3） d da dA [a(t)A(t)]= A + a dt dt dt （4） ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) d d d tA tA tA e = Ae = e A cos tA = -Asin tA sin tA = Acos tA dt dt dt (A 与 t 无关) 此处仅对 d tA tA tA (e )= Ae = e A dt 加以证明 证： d d 1 1 1 tA 2 2 3 3 2 2 3 (e )= (I+ tA + t A + t A + )= A + tA + t A + dt dt 2! 3! 2! 1 2 2 tA = A(I+ tA + t A + )= Ae 2! 又 1 2 2 tA =(I+ tA + t A + )A = e A 2! 3. 矩阵积分定义：若矩阵 A(t)=(a (t)) ij m×n 的每个元素 ij a (t) 都是区间 0 1 [t ,t ] 上的可积函数，则称A(t)在区间 0 1 [t ,t ] 上可积，并定义A(t)在 0 1 [t ,t ]
上的积分为 At)t=∫an(t)dt 4.矩阵积分性质 (1)J[A(t)+B(t)]t=JA(tdt+B(tdt (2)∫[A(t)Bt=jA(t)tB,∫AB(t)t=AjB(t t (3)dt A(tdt=A(t),A'(t)=A(b)-A(a) 阶线性齐次常系数常微分方程组 设有一阶线性其次常系数常微分方程组 dt aix(t)+a12(t)+.+a, x(t) dx- =a2,(t)+amx,(t)++a,x,(t) dt anx(t)+anx2(t)+…+a 式中t是自变量,x=x(+)是t的一元函数(i=1,2…n,a(i,j=12…m) 是常系数。 令 x(t)=[x(t),x2t)…,x(t)丁,A=22
上的积分为 1 1 0 0 ij t t A(t)dt = a (t)dt t t m×n 4. 矩阵积分性质 （1） 1 1 1 0 0 0 t t t t t t [A(t)±B(t)]dt = A(t)dt± B(t)dt （2） 1 1 1 1 0 0 0 0 t t t t t t t t [A(t)B]dt = A(t)dt B, [AB(t)]dt = A B(t)dt （3） t b a a d A(t )dt = A(t), A (t)dt = A(b)- A(a) dt 二、 阶线性齐次常系数常微分方程组 设有一阶线性其次常系数常微分方程组 1 11 1 12 2 1n n 2 21 1 22 2 2n n n n1 1 n2 2 nn n dx = a x (t)+ a x (t)+ + a x (t) dt dx = a x (t)+ a x (t)+ + a x (t) dt dx = a x (t)+ a x (t)+ + a x (t) dt 式中t 是自变量， i i x = x(t) 是t的一元函数 ij (i= 1,2, ,n),a (i,j= 1,2, ,n) 是常系数。 令 T 1 2 n x(t)=[x(t),x (t), ,x (t)] ， 11 12 1n 21 22 2n n1 n2 nn a a a a a a A = a a a
则原方程组变成如下矩阵方程 d 其解为 2(×0-的,x)=ext 对该解求导,可以验证 dx(t) =Aec=Ax(t)且t=0时,x(t)=ec=lc=c=x(0) 表明x(t)确为方程的解,积分常数亦正确 例:求解微分方程组吐 ,初始条件为(01=「 0) 解:A= ,f(A=etA→f(λ) t入 1求出A的特征多项式 =(A2+1)=(λ-j(λ+j), λ=j,m1=1;λ2=-m2=1m=n=2 2定义待定系数的多项式g(λ)=c0+c入 3解方程g(λ)=f(A)=et= cost+jsint=a」。 g(λ2)=f(λ2)=e-lt=cost-」 joint=c-」jc, Co =cost
则原方程组变成如下矩阵方程 dx = Ax(t) dt 其解为 tA tA x(t)= e x(0)= e c ⎯⎯⎯⎯→ 更一般的 0 (t-t )A 0 x(t)= e x(t ) 对该解求导，可以验证 dx(t) tA = Ae c = Ax(t) dt 且 t＝0 时， 0A x(t)= e c =Ic = c = x(0) 表明 x(t)确为方程的解，积分常数亦正确 例：求解微分方程组 1 2 2 1 dx = x dt dx = -x dt ， 初始条件为 1 1 2 2 x (0) r = x (0) r 解： 0 1 A = -1 0 ， tA f(A)= e → f(λ)= etλ o 1 求出 A 的特征多项式， λ 2 -1 (λ)= =(λ +1)=(λ-j)(λ+j) 1 λ ， j= -1 λ1 1 2 2 = j,m = 1;λ = -j,m = 1 m = n = 2 o 2 定义待定系数的多项式 g(λ)= c + cλ 0 1 o 3 解方程 1 1 0 1 2 2 0 1 jt g(λ)= f(λ)= e = cost +jsint = c +jc -jt g(λ)= f(λ)= e = cost -jsint = c -jc 0 1 c = cost c = sint o 4
cost 0 0 sint「 cost sint g(A=col+CA f(a=e 0 cost -sint 0 int cost cost roosters in x(t)=eAx(O)= sint r sint cost52rcost-rsint x,(t) 一阶线性非齐次常系数常微分方程组 dt=a,x,(t)+a, x, (t) +a,x t)+b t) dt2 *g (t)+a,x, (t)+.+a2*, (t)+b, (t) =anx(t)+anx, (t)+ .+a,(t)+b, (t) 令x(t)=x(t),x2t),…,xn(t) b(t)=[b,,t2t),…,bn(t) 12 a 方程组化为矩阵方程 Ax+b 采用常数变易法求解之;齐次方程的解为ec,可设非齐次方程的解为 代入方程,得 dx d L (e )c(t) Ax(址)+e dt =Ax(t)+b(t) tb(t) dt
0 1 cost 0 0 sint cost sint tA g(A)= c I+ c A = + = = f(A)= e 0 cost -sint 0 -sint cost 1 1 2 1 2 2 1 2 cost sint r rcost +rsint x(t) tA x(t)= e x(0)= = = -sint cost r rcost -rsint x (t) 三、 一阶线性非齐次常系数常微分方程组 1 11 1 12 2 1n n 1 2 21 1 22 2 2n n 2 n n1 1 n2 2 nn n n dx = a x(t)+ a x (t)+ + a x (t)+ b(t) dt dx = a x(t)+ a x (t)+ + a x (t)+ b (t) dt dx = a x(t)+ a x (t)+ + a x (t)+ b (t) dt 令 方程组化为矩阵方程 dx = Ax + b dt 采用常数变易法求解之；齐次方程的解为 tA e c ，可设非齐次方程的解为 tA e c(t)， 代入方程，得： dx d dc dc tA tA tA = (e )c(t)+ e = Ax(t)+ e = Ax(t)+ b(t) dt dt dt dt dc -tA = e b(t) dt T 1 2 n T 1 2 n 11 12 1n 21 22 2n n1 n2 nn x(t)=[x (t),x (t), ,x (t)] b(t)=[b (t),b (t), ,b (t)] a a a a a a a a a
c(t)=。-b()de+c(o)←由积分性质(3)可验证(是解 加上初始条件x(O)=c(0),有 x(t)=ex(0)+[e t吣b(s)ds 说明:高阶常微分方程常常可以化为一阶常微分方程组来处理, dy dy 如: b-+cy=f 令x,=、_凼,则可得 dt dK2二 -(f-Cx, -bx2 f 1--X2 一般地,n阶常微分方程可以化为n个一阶常微分方程组成的方程组。 作业:p170-1715、9 p1773、4
t -sA 0 c(t)= e b(s)ds + c(0) 由积分性质(3)可验证 c(t)是解。 加上初始条件 x(0)= c(0) ，有 t tA -sA 0 x(t)= e [x(0)+ e b(s)ds] 说明:高阶常微分方程常常可以化为一阶常微分方程组来处理， 如： 2 2 d y dy a + b + cy = f dt dt 令 1 2 dy x = y,x = dt ，则可得 1 2 2 1 2 1 2 dx = x dt dx 1 c b f = (f - cx - bx )= - x - x + dt a a a a 一般地，n 阶常微分方程可以化为 n 个一阶常微分方程组成的方程组。 作业：p170-171 5、9 p177 3、4