第二章是与微 第二章习题课 本章的 重点与 难点 、主要内容 本章的 目的与 要求 二、典型例题 本章的 复习指 、测验题 后退 出 第1页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 1 页 第二章 习题课 一、主要内容 二、典型例题 三、测 验 题 第二章 导数与微分 后退 目录 主 页 退 出 本章的 重点与 难点 本章的 目的与 要求 本章的 复习指 导
章影微 、主要内容 关 y分中=y分Ay=+0(△x) 本章 的重 系d 点与 难点 本章 基本公式 的目 导数 微分 要求 △ 高阶导数 的复 lim y=y△x 习指 △x→>0△x 高阶微分 后退 求导法则 第2页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 2 页 求 导 法 则 基本公式 导 数 x y x →0 lim 微 分 dy = yx 关 系 y dy y dx y dy o( x) dx dy = = = + 高阶导数 高阶微分 一、主要内容 第二章 导数与微分 后退 目录 主 页 退 出 本章 的重 点与 难点 本章 的目 的与 要求 本章 的复 习指 导
是路微 1、导数的定义 定义设函数y=f(x)在点x0其附近有 和定义,当自变量x在x处取得增量Ax时, 的重 相应地函数y有增量△y=f(x0+△x)-f(x) 如果极限 要求 △ f(xo+△x)-f(x0) 存在, 的复 Ax→>0△xAx→>0 △x 则称函数y=f(x)在点x处可导,并称这个极 限值为函数y=f(x)在点x处的导数,记为y1=, f(x0+△x)-f(x0) 后退 lim ay=lim yx=x0.△x>0△x△r→ 0 △v 第3页 社页医下页【返回
上页 下页 返回 第 3 页 1、导数的定义 定义 . ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 x f x x f x x y y x x x x + − = = → → = 第二章 导数与微分 后退 目录 主 页 退 出 本章 的重 点与 难点 本章 的目 的与 要求 本章 的复 习指 导 ( ) , , ( ) , , ( ) ( ) lim lim ( ) ( ); , , ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x x x x y f x x y y f x x x f x x f x x y y y f x x f x x x x y f x x = → → = = + − = = + − = 限值为函数 在点 处的导数 记为 则称函数 在点 处可导 并称这个极 存在 如果极限 相应地函数 有增量 定义 当自变量 在 处取得增量 时 设函数 在点 及其附近有
章影微 2、基本导数公式(常数和基本初等函数的导数公式) (C)=0 (x)=μx 本章(sinx)=cosx 的重 (cos x)==sinx 点与 难点 (tan x)=sec x (cot x)==csce 本章(secx)= sec xtgx 的目 (csc x)==csc xctox 鲸(axy=aIna (e)=e 的复(ogax)= (n x) 习指 1 (arcsin x) (arccos x) √1-x 后退 (arctan x) 2 1+x (arccot)=1+x2 第4页 士页」不页返回
上页 下页 返回 第 4 页 2、基本导数公式 2 2 2 1 1 (arctan ) 1 1 (arcsin ) ln 1 (log ) ( ) ln (sec ) sec (tan ) sec (sin ) cos ( ) 0 x x x x x a x a a a x xtgx x x x x C a x x + = − = = = = = = = （常数和基本初等函数的导数公式） 2 2 2 1 1 1 ( cot ) 1 1 (arccos ) 1 (ln ) ( ) (csc ) csc (cot ) csc (cos ) sin ( ) x x x x x x e e x xctgx x x x x x x x x + = − − = − = = = − = − = − = − arc 第二章 导数与微分 后退 目录 主 页 退 出 本章 的重 点与 难点 本章 的目 的与 要求 本章 的复 习指 导
章影微 3、求导法则 (1)函数的和、差、积、商的求导法则 本章 的重 点与 设n=(x),y=v(x)可导,则 难点 (1)(a±y=n!土v,(2)(cy=c(是常数 (3)(ap)=m1+my,(4)("y=-a 2(V≠0) |(2)反函数的求导法则 如果函数x=q(y)的反函数为y=f(x),则有 后退 f(x)=1 p(x) 第5页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 5 页 3、求导法则 设u = u(x), v = v(x)可导，则 （1）(u v) = u v, （2）(cu) = cuc( 是常数), （3）(uv) = uv + uv, （4）( ) ( 0) 2 − = v v u v uv v u . (1) 函数的和、差、积、商的求导法则 (2) 反函数的求导法则 . ( ) 1 ( ) ( ) ( ), x f x x y y f x = 如果函数 = 的反函数为 = 则有 第二章 导数与微分 后退 目录 主 页 退 出 本章 的重 点与 难点 本章 的目 的与 要求 本章 的复 习指 导
章影微 (3)复合函数的求导法则 设y=f(),而=p(x)则复合函数y=fp(x)导数为 本章 的重 dy dy d 点与 或y(x)=f()q'(x) 难点 d x du dx 本章 熙(对数求导法 先在方程两边取对数然后利用隐函数的求导方法 理求出导数 适用范围: 多个函数相乘和幂指函数(x)()的情形 士页下页返回 第6页
上页 下页 返回 第 6 页 (3) 复合函数的求导法则 ( ) ( ) ( ). ( ), ( ) [ ( )] y x f u x dx du du dy dx dy y f u u x y f x = = = = = 或 设 而 则复合函数 的导数为 (4) 对数求导法 先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法 求出导数. 适用范围: ( ) . 多个函数相乘和幂指函数u x v( x)的情形 第二章 导数与微分 后退 目录 主 页 退 出 本章 的重 点与 难点 本章 的目 的与 要求 本章 的复 习指 导
章影微 5)隐函数求导法则 有用复合函数求导法则直接对方程两边求导 的重 点与 难点 6)参变量函数的求导法则 本章 的目 若参数榜x=0(确定与间的函数关系 要求 Ly=y(t) 习指 dh dy dt_y(. dy- y"( t)p(t)-y()p"(t) dx dx (t)d x q°(t) 后退 dt 士页下页返回 第7页
上页 下页 返回 第 7 页 (5) 隐函数求导法则 用复合函数求导法则直接对方程两边求导. , ( ) ( ) 若参数方程 确定y与x间的函数关系 y t x t = = ; ( ) ( ) t t dt dx dt dy dx dy = = . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 t t t t t dx d y − = (6) 参变量函数的求导法则 第二章 导数与微分 后退 目录 主 页 退 出 本章 的重 点与 难点 本章 的目 的与 要求 本章 的复 习指 导
章影微 4、高阶导数(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 阶导数(f(x)=im f(x+△x)-f(x) 本章 的重 △ 点与 难点 本章 记作∫"(x,y d y b d f(x) 2 的目 dx d x 阶导数的导数称为三阶导数,f"(x)y d°y 一般地函数f(x)n-阶导数的导数称为 函数f(x)的n阶导数,记作 后退 f((x),y(),J或 d"f(x) d x dx 第8页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 8 页 4、高阶导数 , ( ) ( ) ( ( )) lim 0 x f x x f x f x x + − = → 二阶导数 记作 . ( ) ( ), , 2 2 2 2 dx d f x dx d y f x y 或 ( ), , . 3 3 dx d y 二阶导数的导数称为三阶导数 f x y , 函数 的 阶导数 记作 一般地 函数 的 阶导数的导数称为 ( ) , , ( ) 1 f x n f x n − . ( ) ( ), , ( ) ( ) n n n n n n dx d f x dx d y f x y 或 (二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数) 第二章 导数与微分 后退 目录 主 页 退 出 本章 的重 点与 难点 本章 的目 的与 要求 本章 的复 习指 导
章影微 5、微分的定义 定义设函数y=f(x)在某区间内有定义,xn及x0+△x |在这区间内如果 Ay=f(x+△x)-f(x0)=A△x+o(△x) 本章 部成立(其中A是与△无关的常数,则称函数y=f(x) 要求 在点x可微,并且称A△为函数y=f(x)在点x相应 的复 型于自变量增量△x的微分,记作小=,或(xn)即 =A·△ x=to 微分小叫做函数增量4y的线性主部(微分的实质) 士页下页返回 第9页
上页 下页 返回 第 9 页 5、微分的定义 定义 . , ( ), , ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 dy A x x dy df x x A x y f x x A x y f x y f x x f x A x o x y f x x x x x x x x = = = = + − = + = + = 于自变量增量 的微分 记作 = 或 即 在点 可微 并且称 为函数 在点 相应 成立 其中 是与 无关的常数 则称函数 在这区间内 如果 设函数 在某区间内有定义 及 微分dy叫做函数增量y的线性主部. (微分的实质) 第二章 导数与微分 后退 目录 主 页 退 出 本章 的重 点与 难点 本章 的目 的与 要求 本章 的复 习指 导
章影微 16、导数与微分的关系 定理函数(x)在点可微的充要条件是函数(x) 本章 盟在点x处可导,且A=f(xn) 本章 7、微分的求法 的复 习指 dy=f'( dx 求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分 后退 第10页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 10 页 6、导数与微分的关系 , ( ). ( ) ( ) 0 0 0 x A f x f x x f x 在点 处可导 且 = 定理 函数 在点 可微的充要条件是函数 7、 微分的求法 dy = f (x)dx 求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分. 第二章 导数与微分 后退 目录 主 页 退 出 本章 的重 点与 难点 本章 的目 的与 要求 本章 的复 习指 导