第三章条的液碧 第四节曲线的凹凸与拐点 本节知识 引入 本节目的 与要求 本节重点 曲线的凹凸 与难点 本节复习 指 二、曲线的拐点 后退 出 第1页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 1 页 第四节 曲线的凹凸与拐点 一、 曲线的凹凸 二、 曲线的拐点 第三章 导数的应用 后退 目录 主 页 退 出 本节知识 引入 本节目的 与要求 本节重点 与难点 本节复习 指导
第。曲賞的凹县与上 -、曲线的凹凸 B 本节 知识 引入 问题:如何研究曲线的弯曲方向? 本节 目的 求 y4y=∫(x 本节 y=∫(x) 重点 与难 点 本节 指导 :x 1 曲线弧位于任一点的 曲线弧位于任一点切 后退 切线上方 线的下方 第2页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 2 页 一、曲线的凹凸 问题:如何研究曲线的弯曲方向? x y o x y o 1 x x2 y = f (x) 曲线弧位于任一点切 线的下方 x y o y = f (x) 1 x 2 x 曲线弧位于任一点的 切线上方 A B C 第四节 曲线的凹凸与拐点 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第。曲賞的凹县与上 本节 知识 引入 都定义如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切 目的 繁线的上方那么此曲线弧叫做在该区间内是凹的; 本节 重点 与难 点 如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切 本节 品线的下方那么此曲线弧叫做在该区间内是凸的; 后退 第3页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 3 页 定义 线的上方,那么此曲线弧叫做在该区间内是凹的; 如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导 线的下方,那么此曲线弧叫做在该区间内是凸的; 如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切 第四节 曲线的凹凸与拐点
第。曲賞的凹县与上 曲线凹凸的判定: 本节 知识 引入 y=f(x)/B J f(x)∠B 本节 目的 求 本节 重点 0 a b o/a b x 与难 点 ∫(x)递增y”>0 f(x)递减y”0,则f(x)在|a,b上的图形是凹的; (2)r"(x)<0则f(x)在|a,b上的图形是凸的 第4页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 4 页 曲线凹凸的判定： x y o y = f (x) x y o y = f (x) a b A B f (x) 递增 a b B A y 0 f (x) 递减 y 0 定理1 (2) ( ) 0, ( ) [ , ] . (1) ( ) 0, ( ) [ , ] ; , ( , ) ( ) [ , ] , ( , ) 则 在 上的图形是凸的 则 在 上的图形是凹的 二阶导数 若 在 内 如 果 在 上连续 在 内具有 f x f x a b f x f x a b a b f x a b a b 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导 第四节 曲线的凹凸与拐点
第。曲賞的凹县与上 例1判断曲线y=x3的凹凸性 本节 知识 解y=3x2,y=6x, 本节 目的 录当x时,y>0,:曲线在0+∞)为四的; 注意到,点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点 后退 第5页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 5 页 例1 . 判断曲线 y = x 3 的凹凸性 解 3 , 2 y = x y = 6x, 当x 0时， y 0, 曲线 在(−,0]为凸的； 当x 0时， y 0, 曲线 在[0,+)为凹的； 注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点. 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导 第四节 曲线的凹凸与拐点
第。曲賞的凹县与上 二、曲线的拐点 本节 知识 1.定义 本节 连续曲线上叫凸的分界点称为曲线的拐点 求 注意拐点处的切线必在拐点处穿过曲线 与难 向2.拐点的求法 本节 点(x0,f(x0)是曲线拐点的必要条件为(x0)=0 后退 士页下页返回 第6页
上页 下页 返回 第 6 页 二、曲线的拐点 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点. 1.定义 注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 2.拐点的求法 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导 点（x0 , f (x0 ))是曲线拐点的必要条件为f (x0 ) = 0 第四节 曲线的凹凸与拐点
第。曲賞的凹县与上 本判定曲线的凹凸与拐点的一般方法为: 知识 引入 本节 (1)确定函数的定义域 (2)求其二阶导数 6)求出满足二阶导数为零的所有点 点难点 重 (4)以(2)中找出的点为界,把函数的定义域分成 若干个部分区间,然后考察二阶导数在各部分区 本节 间的符号,从而判定曲线的拐点 指导 后退 士页下页返回 第7页
上页 下页 返回 第 7 页 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导 判定曲线的凹凸与拐点的一般方法为： y = f (x) (1)确定函数的定义域 (2)求其二阶导数； (3)求出满足二阶导数为零的所有点； (4) 以（2）中找出的点为界，把函数的定义域分成 若干个部分区间，然后考察二阶导数在各部分区 间的符号，从而判定曲线的拐点。 f (x) f (x) = 0 第四节 曲线的凹凸与拐点
第。曲賞的凹县与上 例2求曲线y=3x+-4x3+1的拐点及 本节 凹、凸的区间 知识 引入 解D:(-∞,+∞) 本节 目的 J’=1)、3-1r2 2 y=36x(x- 求 令y"=0,得x;=0,x 2 3 本节 重点 与难 点 0)0(0.3223(23 + 本节 指”(x)+ 0 0 f(x)凹的 拐点 拐点 凸的 2/11 凹的 (0,1) 后退 第8页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 8 页 例2 . 3 4 1 4 3 凹、凸的区间 求曲线 y = x − x + 的拐点及 解 D :(−,+) 12 12 , 3 2 y = x − x ). 3 2 y = 36x(x − 令y = 0, . 3 2 0, 得 x1 = x2 = x (−,0) , ) 3 2 ) ( + 3 2 0 (0, 3 2 f (x) f (x) + 0 − 0 + 凹的 凸的 凹的 拐点 拐点 (0,1) ) 27 11 , 3 2( 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导 第四节 曲线的凹凸与拐点
第。曲賞的凹县与上 本节 知识 引入 本节 目的 求 本节 重点 与难 0.5 点 本节 指导 凹凸区间为(∞0,.23,已23,+∞0 后退 士页下页返回 第9页
上页 下页 返回 第 9 页 , ). 3 2 ], [ 3 2 凹凸区间为(−,0], [0, + 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导 第四节 曲线的凹凸与拐点
第。曲賞的凹县与上 方法2:设函数f(x)在x0的邻域内三阶可导,且 f"xn)=0,而fm(x)≠0,那末(xnf(x)是曲 引入 本节 线y=f(x)的拐点 目的 录例3求曲线 y=sin x+ cos x( 0,2T 内)的拐点 AE y=cos x-sinx, y"=-sinx-cos x 与难 点 =-coSx+sinx 本节 令y”=0,得x1= 3 7兀 4 2 4 7 fmC)=2≠0,∫"()=-2≠ 0, 后退 第10页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 10 页 方法2: ( ) . ( ) 0, ( ) 0, ( , ( )) ( ) , 0 0 0 0 0 线 的拐点 而 那 末 是 曲 设函数 在 的邻域内三阶可导 且 y f x f x f x x f x f x x = = 例3 求曲线 y = sin x + cos x ([0,2]内)的拐点. 解 y = cos x − sin x , y = −sin x − cos x , y = −cos x + sin x . 令 y = 0, . 4 7 , 4 3 1 2 = 得 x = x ) 2 4 3 ( = f 0, ) 2 4 7 ( = − f 0, 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导 第四节 曲线的凹凸与拐点