第六章 空间解析几何与向量代数 第一节 空间直角坐标糸
第六章 空间解析几何与向量代数 第一节 空间直角坐标糸
第一节空间直角坐标 空间点的直角坐标 1.三根坐标轴:x轴横,y轴(纵轴),z轴(竖轴) 交于原点0,且互相垂直。 2.三个坐标面:x0y面xoz面ya 3.八个排限 这样就在空间的点M和有序数组(x2之间建立起一对应 的关系,这组数xy依次被称为点M的横坐标,纵坐标和竖 坐标
空间直角坐标糸中的三条坐标轴 三条坐标轴的正方向 z竖轴 符合 即以右手握住z轴, 当右手的四个手指 坐标O 从正向x轴以_角 原点 y纵轴 度转向正向y轴 横轴x 时,大拇指的指向 空间直角坐标系 就是z轴的正向
横轴 x y 纵轴 z 竖轴 坐标 • 原点 o 空间直角坐标系 三条坐标轴的正方向 符合右手法则. 即以右手握住z 轴， 当右手的四个手指 从正向x 轴以 2 角 度转向正向y 轴 时，大拇指的指向 就是z轴的正向. 空间直角坐标糸中的三条坐标轴
z0x面 yOz 面 Ⅱ J 面 Ⅶ ⅥI 空间直角坐标系 有三个坐标面和八个卦限
Ⅶ x o y z xoy 面 yoz 面 zox 面 空间直角坐标系 有三个坐标面和八个卦限 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅷ
卦限 横坐标x 纵坐标 竖坐标z 2345678
卦 限 横坐标 x 纵坐标 y 竖坐标 z 1 + + + 2 - + + 3 - - + 4 + - + 5 + + - 6 - + - 7 - - - 8 + - -
空间的点←有序数组(x,y) 坐标轴上的点P,O,R, 坐标面上的点A,B,CO(000) R(0,0,z) B(0,y,z) C(x,0, z) M(,y, 2) Q(0,y,0) xP(x,0,0) (x,y,0)
空间的点 ⎯→ 有序数组 (x, y,z) 1−−1 特殊点的表示: O(0,0,0) • M(x, y,z) x y z o P(x,0,0) Q(0, y,0) R(0,0,z) A(x, y,0) B(0, y,z) C(x,o,z) 坐标轴上的点 P, Q, R, 坐标面上的点 A, B, C
空间两点间的距离 设M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)为空间两点 dEMM=? MP=, PN=32-Vl N= =12 JM, P2+PN2+NM2l MM=(x2-x)+(02-)+(2-z 空间两点间距离公式 特殊地:若两点分别为M(x,y,z),O(000 d=OM=vx2+y2+
, M1P = x2 − x1 , 2 1 PN = y − y , 2 2 1 NM = z − z 2 2 2 2 d = M1P + PN + NM ( ) ( ) ( ) . 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 M M = x − x + y − y + z − z 空间两点间距离公式 特殊地：若两点分别为 M(x, y,z) , O(0,0,0) d = OM . 2 2 2 = x + y + z x y z o • M1 P N Q R •M2 二、空间两点间的距离 设 ( , , ) 1 1 1 1 M x y z 、 ( , , ) 2 2 2 2 M x y z 为空间两点 d = M1M2 = ?
例1求证以M1(4,3,1)、M2(7,1,2)、M3(5,2,3) 一三点为顶点的三角形是一个等腰三角形 解M1M2=(7-42+(1-3)2+(2-1)2=14 M2M3=(5-7)2+(2-1)2+(3-2)2=6 M3M1}=(4-5)2+(3-2+(1-3)2=6, M2M=MM原结论成立
例 1 求证以 (4,3,1) M1 、 (7,1,2) M2 、 (5,2,3) M3 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解 = 2 M1M2 (7 4) (1 3) (2 1) 14, 2 2 2 − + − + − = = 2 M2M3 (5 7) (2 1) (3 2) 6, 2 2 2 − + − + − = = 2 M3M1 (4 5) (3 2) (1 3) 6, 2 2 2 − + − + − = M2M3 , = M3M1 原结论成立
例2设P在x轴上,它到P(0,2,3)的距离为 到点P2(0,1,-1)的距离的两倍,求点P的坐标 解因为P在x轴上,设P点坐标为(x00) 2 x 2)+32=√x2+11 PP2=x2+(-1)2+12=x2+2 ∵PP=2PP x2+11=2√x2+2 →x=±1,所求点为(1,0,0),(-1,0,0)
例 2 设P在x轴上，它到 (0, 2,3) P1 的距离为 到点 (0,1, 1) P2 − 的距离的两倍，求点P的坐标. 解 因为P在x轴上， 设P点坐标为 (x,0,0), PP1 = ( ) 2 2 2 x + 2 + 3 11, 2 = x + PP2 = ( ) 2 2 2 x + − 1 + 1 2, 2 = x + PP1 =2 , PP2 11 2 x + 2 2 2 = x + x = 1, 所求点为 (1,0,0), (−1,0,0)