第八节 空间直线及其方程
第八节 空间直线及其方程
本节必须掌握的问题: 。空间直线方程的四种形式: 1。一般方程;2。对称式方程(或称标准方程); 3。两点式方程;4。参数方程 二。如何将直线的一般方程化为对称式方程? 。两直线的位置关系 四。直线与平面的位置关系 五。关于平面束方程的概念
本节必须掌握的问题： 一。空间直线方程的四种形式： 1。一般方程； 2。对称式方程（或称标准方程）； 3。两点式方程；4。参数方程。 二。如何将直线的一般方程化为对称式方程？ 三。两直线的位置关系 四。直线与平面的位置关系 五。关于平面束方程的概念
。空间直线方程的几种形式: 般方程,(Ax+By+C12+D1=0 A,x+By+Cr 2+D2=0(重要) 对称式方程: x-xo y-Vo (重要) 称 m,np}为直线的方向向量 x=x+mt 参数方程:y=y0+mt 、0 y=yo 两点式方程:x o VIvo
一。空间直线方程的几种形式： 一般方程： + + + = + + + = 0 0 2 2 2 2 1 1 1 1 A x B y C z D A x B y C z D 对称式方程： p z z n y y m x x0 0 − 0 = − = − 称 s ={m,n, p} 为直线的方向向量 → 参数方程： = + = + = + z z pt y y nt x x mt 0 0 0 两点式方程： 1 0 0 1 0 0 1 0 0 z z z z y y y y x x x x − − = − − = − − （重要） （重要）
。如何将直线的一般方程化为对称式方程? 般方程: A1x+B1+C,z+D1=0(1) A2x+B2y+C2+D2=0 设平面(1)和(2)的法线向量分别为:n1,n2 直线的方向向量为:s={m.mn,P 则有:s⊥n1S⊥n2 k B, ClC AA B, 2=4B1C1 A2 B A. C 再在直线上取定一点(x0y02=0) x-x0y-y0_2 可得对称式方程:
二。如何将直线的一般方程化为对称式方程？ + + + = + + + = 0 0 2 2 2 2 1 1 1 1 A x B y C z D A x B y C z D p z z n y y m x x0 0 − 0 = − = − 一般方程： 可得对称式方程： （1） （2） 设平面（1）和（2）的法线向量分别为： → → 1 2 n ,n 直线的方向向量为： s ={m,n, p} → 则有： → → → → ⊥ 1 ⊥ 2 s n , s n 2 2 2 1 2 1 1 1 A B C A B C i j k s = n n = → → { , , } 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 A B A B C A C A B C B C = 再在直线上取定一点 ( , , ) 0 0 0 x y z
许多习题都涉及求(用一般方程表示的)直线的方向向量 问题,这是直线问题中最基本的运算之 三。两直线的位置关系 设有直线 L12其方向向量分别为 ,n1,n3,S2={m2,2,P2 M1,=1),M2(x2y2,=2)分别在L,L2上 1。异面 x2-x1y2=y122-21 △= ny P1|≠0
许多习题都涉及求（用一般方程表示的）直线的方向向量 的问题，这是直线问题中最基本的运算之一。 三。两直线的位置关系 设有直线 1 2 L , L 其方向向量分别为 { , , }, { , , } S1 = m1 n1 p1 S2 = m2 n2 p2 ( , , ), ( , , ) 1 1 1 1 2 2 2 2 M x y z M x y z 分别在 L1 , L2 上 1。异面 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 m n p m n p x − x y − y z − z = 0
共面△=0 其中:相交m1:n1:P≠m2:n2:P2 平行m1:11:D1=m2:12:n2≠x2-x1:y2-y1:z2-2 重合m1:n1:P=m2:2:P2=x2-x:y2-y1:z2-21 3.垂直m1m2+n1n2+P1P2=0 两直线的夹角(指锐角): m,++ p,p2 COS +ni+pi vm2 +n,tp
2。共面 = 0 其中：相交 1 1 1 2 2 2 m : n : p m : n : p 平行 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 m : n : p = m : n : p x − x : y − y :z − z 重合 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 m : n : p = m : n : p = x − x : y − y :z − z 3。垂直 m1 m2 + n1 n2 + p1 p2 = 0 两直线的夹角（指锐角）： 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 cos m n p m n p m m n n p p + + + + + + =
四。直线与平面的位置关系 设有:平面:Ax+By+Cz+D=0 和直线L x-xo y=yo 直线与平面平行:Am+Bm+Cp=0 Ax0+By0+C0+D≠0 直线在平面上: ∫Am+Bn+Cp=0 4x+bo+C=0+D=0 直线与平面相交:Am+Bm+CP≠0 AB C 直线与平面垂直: n p
四。直线与平面的位置关系 设有：平面 : Ax + By +Cz + D = 0 和直线 p z z n y y m x x L 0 0 0 : − = − = − 直线与平面平行： + + + + + = Ax By Cz D Am Bn Cp 0 0 0 0 + + + + + = Ax By Cz D Am Bn Cp 0 0 0 0 0 = 0 直线在平面上： 直线与平面相交： 直线与平面垂直： p C n B m A = = Am+ Bn +Cp 0
五。平面束方程 过直线L:Ax+By+C12+D1=01 A2x+B2y+C2+D2=0(2) 的平面方程的全体称平面方程束。记为: (4x+B+C1z+)+(4x+B2y+C2+D2)=0 其中为任意常数,它包括了过L的除(2)以外的所有平面。 当0,(3)为(1),当→>∞,(3)为(2)。 讲解记分作业:P。26八 9 2
五。平面束方程 过直线L： + + + = + + + = 0(2) 0(1) 2 2 2 2 1 1 1 1 A x B y C z D A x B y C z D 的平面方程的全体称平面方程束。记为： (A1 x + B1 y +C1 z + D1 )+(A2 x + B2 y +C2 z + D2 ) = 0 其中 为任意常数，它包括了过L的除（2）以外的所有平面。 当 =0，（3）为（1），当 → ，（3）为（2）。 讲解记分作业：P。26 八。 5 1 2 1 9 1 − − = − = x − y z
本节必须掌握的问题: 。平面方程←>三元一次方程Ax+B+Cx+D=0 二。平面方程常用的四种形式:点法式(重要), 般式(重要) 点式,截距式 三。如何表示特殊位置的平面方程? 四。两平面的位置关系:相交(包括垂直),平行 或重合;两平面的夹角公式;空间一点到平面的距 离公式。 五。在讨论平面的问题时,平面的法线向量是特别 重要的。平面的法线向量的表示形式不是唯一的, 通常用最简形式来表示。比如,XOY平面的法线 向量常表示成{0,0,1}
本节必须掌握的问题： 一。平面方程 三元一次方程 二。平面方程常用的四种形式：点法式（重要）， 一般式（重要）， 三点式，截距式。 三。如何表示特殊位置的平面方程？ 四。两平面的位置关系：相交（包括垂直），平行 或重合；两平面的夹角公式；空间一点到平面的距 离公式。 五。在讨论平面的问题时，平面的法线向量是特别 重要的。平面的法线向量的表示形式不是唯一的， 通常用最简形式来表示。比如，XOY平面的法线 向量常表示成{0，0，1}。 Ax + By +Cz + D = 0
、平面的点法式方程 如果一非零向量垂直 于一平面,这向量就叫做 该平面的法线向量 法线向量的:垂直于平面内的任一向量 已知={A,B,C},M0(x0yn,z) 设平面上的任一点为M(x,y,z) 必有MM⊥nM0Mn=0
x y z o M0 M 如果一非零向量垂直 于一平面，这向量就叫做 该平面的法线向量． 法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量． 已知 n = {A, B, C}, ( , , ), 0 0 0 0 M x y z 设平面上的任一点为 M(x, y, z) M M n 必有 0 ⊥ M0M n = 0 一、平面的点法式方程 n