第四节 函数的幂级数展开式
第四节 函数的幂级数展开式
、泰勒级数 上节告诉我们 幂级数在其收敛域内有一个和函数,把这句话反过来 说,就是这个和函数在收敛域内可以展开成幂级数。 我们的问题是:任意给定的函数f(x) 1在什么条件下才能展开成幂级数? f(x)=2 2.如果能展开n是什么?3展开式是否唯
一、泰勒级数 上节告诉我们： n n f (x) an (x x ) 0 0 = − = 幂级数在其收敛域内有一个和函数，把这句话反过来 说，就是这个和函数在收敛域内可以展开成幂级数。 我们的问题是：任意给定的函数f(x) 2. 如果能展开, an 是什么? 3.展开式是否唯一? 1.在什么条件下才能展开成幂级数?
定理1如果函数f(x)在U。(x0)内具有任意阶导 数,且在U。(xa)内能展开成(x=x0)的幂级数 oO 即f(x)=∑an(x-x0) 则其系数an=f((x0)(n=0,1,2,…) 且展开式是唯一的 oo 证明∑a1(x-x0)在n(x收敛于f(x),即 n-=0 f(x)=a0+a1(x-x0)+…+an(x-x0)2+
证明 ( 0 ) 在 ( 0 )内收敛于 ( ),即 0 a x x u x f x n n n − = f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) ++ an (x − x0 ) n + 定 理 1 如果函数 f (x)在 ( ) U x0 内具有任意阶导 数, 且在 ( ) U x0 内能展开成( ) x − x0 的幂级数, 即 n n n f (x) a (x x ) 0 0 = − = 则其系数 ( ) ( 0,1,2, ) ! 1 0 = f ( ) x n = n a n n 且展开式是唯一的. （定理1回答了问题2和问题3）
逐项求导任意次,得 f(x)=a1+2a2(x-x0)+:+man(x=x0)+ (n(x)=nlan+(n+1)n…3:2an+1(x-x0)+ 令 x=x因 09 甲得 f(x0)(n=0.12,)泰勒系数 n 泰勒系数是唯一的,f(x)的展开式是唯一的
f (n) (x) = n!an + (n + 1)n3 2an+1 (x − x0 ) + 令 x = x0 , 即得( ) ( 0,1,2, ) ! 1 0 = f ( ) x n = n a n n 泰勒系数是唯一的, f (x)的展开式是唯一的. f (x) = a1 + 2a2 (x − x0 ) ++ nan (x − x0 ) n−1 + 逐项求导任意次,得 泰勒系数
定义 如果f(x)在点x0处任意阶可导,则幂级数 20m(x-10)“称为f(x)在点x的泰勒级数 ∑ f(0 x”称为f(x)在点x=0的麦克劳林级数 n=0 问题:只要函数x)在已知点任意阶可导,f(x) 在该点的泰勒级数总是可以写出的 那末这个泰勒级数在收敛区间内是否 定收敛于fx)呢? 即f(x)?∑ f(o) 不一定 =0
如果 f (x)在点 0 x 处任意阶可导,则幂级数 n n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 0 ( ) − = 称为f (x) 在点x0的泰勒级数. n n n x n f =0 ( ) ! (0) 称为 f ( x)在点x0 = 0的麦克劳林级数. n n n x x n f x f x ( ) ! ( ) ( ) ? 0 0 0 ( ) − = = = 定义 只要函数f(x)在已知点任意阶可导，f(x) 在该点的泰勒级数总是可以写出的， 那末这个泰勒级数在收敛区间内是否 一定收敛于f(x)呢? 即 不一定. 问题：
例如f(x) x≠0 0,x=0 在x=0点任意可导,且f(0)=0(m=01.2,) m lim m 比如f(0)= e XX 0 x→>0x-0x→>0 x→>0 2e oo f(x)的麦氏级数为∑0.x 1= 该级数在(-∞,+0)内和函数s(x)≡0.可见 除s=0外,f(x)的麦氏级数处处不收敛于f(x)
= = − 0, 0 , 0 ( ) 2 1 x e x f x x 例如 (0) 0 ( 0,1,2, ) 且 f (n) = n = = 0 ( ) 0 n n f x 的麦氏级数为 x 该级数在(−,+)内和函数s(x) 0. 可见 除s = 0外, f (x)的麦氏级数处处不收敛于 f (x). 在x=0点任意可导, 0 lim x → f (0) = = − − − 0 0 2 1 x e x 0 lim x → = 2 1 1 x e x 0 lim x → 2 1 2 x e x 比如 = 0
定理2f(x)在点x的泰勒级数,在U。(x)内收 敛于f(x)兮在U。(x0)内 lim R(x)=0 证明 设f(x)能展开为泰勒级数, f(x)=∑ nc()(x0(x-x0)2+Rn(x) i R,(x)=f(x)-Sm+(),. lims(x)=f(x) n→>00 lim r,(x)=limlf(x)-sm(x)=0
定 理 2 f (x)在 点x0的泰勒级数,在 ( ) U x0 内 收 敛 于 f (x)在 ( ) U x0 内lim ( ) = 0 → Rn x n . 证明 必要性 ( ) ( ) ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) x x R x i f x f x n i n i i = − + = ( ) ( ) ( ), Rn x = f x − sn+1 x 设f (x)能展开为泰勒级数, lim ( ) ( ) sn 1 x f x n + = → = → lim R (x) n n lim[ ( ) ( )] f x sn 1 x n + → − = 0;
f(x)-Sm(x)=R,(x). limIf(x)-Sn+(x)=limR(x)=0 n→0 n→00 即 lim s1(x)=f(x) n→0 f(x)的泰勒级数收敛于f(x)
充分性 ( ) ( ) ( ), f x − sn+1 x = Rn x lim[ ( ) ( )] f x sn 1 x n + → − lim R (x) n n→ = = 0, lim ( ) ( ), sn 1 x f x n + = → 即 f (x)的泰勒级数收敛于 f (x)
、函数展开成幂级数 1.直接法(泰勒级数法) 步骤(求(“()写出/(在点的幂级数 ∑a1(x-x0)“并求其收敛域 Iim R,(x)=0 (2)判定 是否成立? n→>00 如条件满足 则级数在收敛区间内收敛于f(x)
二、函数展开成幂级数 1.直接法(泰勒级数法) 步骤: 则级数在收敛区间内收敛于 f (x). 并求其收敛域 求 写出 在点 的幂级数 = − = 0 0 0 0 ( ) ( ) , ( ) ! ( ) (1) n n n n n a x x f x x n f x a 如条件满足， (2) 判定 是否成立？ → = n R x lim n ( ) 0
例1将e2展开成x的幂级数 解一f"(x)=e,fm(0)=1.(n=0,1,2,…) 2 e的麦克劳林级数为∑=1+0+++R=+0 (n+1) IR,(x)I n+1 n+1 x+1→>0,(n→∞) (n+1) (n+1) (n+1 n+1 当x确定后有界而是收敛级数∑的一般项 n+ e=1+x+x2+…+x+…x∈(-∞,+∞) 2
例 1 解 ( ) , (n) x f x = e (0) 1. ( 0,1,2, ) f (n) = n = ( , ) !1 2!1 1 2 = + + + + x + x − + n e x x x n R = + 1 1 1 ( 1) ( 1)! ( 1)! ( 1)! ( ) ( ) + + + + + + = + = n x n n n n x ne x ne x nf R x = + + 0 1 ( 1)! ! , , n n n x nx nx 当x确定后 e 有界 而 是收敛级数 的一般项 → 0,(n → ) 将ex 展开成x的幂级数 ... ! ... 2! 1 ! 0 2 = + + + + n = n n x n x x nx e 的麦克劳林级数为