多元函数的概念 我们前面所学的函数的自变量的个数都是一个,但是在实际问题中,所涉及的函数的自变量的个 数往往是两个,或者更多 2 例:一个园柱体的体积3与两个独立变量功h有关。 们先以二个独立的变量为基础,来给出二元函数的定义 二元函数的定 e义 设有两个独立的变量x与y在其给定的变域中D中,任取一组数值时,第三个变量z就以某 确定的法则有唯一确定的值与其对应,那末变量z称为变量x与y的二元函数。 记作:z=f(xy).其中x与y称为自变量,函数z也叫做因变量,自变量x与y的变域D称为 函数的定义域。 关于二元函数的定义域的问题 我们知道一元函数的定义域一般来说是一个或几个区间二元函数的定义域通常是由平面上 条或几段光滑曲线所围成的连通的部分平面这样的部分在平面称为区域围成区域的曲线称为区 域的边界,边界上的点称为边界点,包括边界在内的区域称为闭域,不包括边界在内的区域称为 开域 如果一个区域D(开域或闭域)任意两点之间的距离都不超过某一常数M,则称D为有界区域: 否则称D为无界区域。常见的区域有矩形域和圆形域。如下图所示 例题 的定义域 解答:该函数的定义域为:x2s20 二元函数的几何表示 把自变量x、y及因变量z当作空间点的直角坐标,先在xOy平面内作出函数z=f(xy)的定义 域D:再过D域中得任一点M(xy)作垂直于xOy平面的有向线段MP,使其值为与(x,y)对应的函 数值z 当M点在D中变动时,对应的P点的轨迹就是函数z=f(xy)的几何图形它通常是一张曲面 其定义域D就是此曲面在xOy平面上的投影 元函数的极限及其连续性 在一元函数中,我们曾学习过当自变量趋向于有限值时函数的极限。对于二元函数z=f(xy)我们 同样可以学习当自变量x与y趋向于有限值ξ与n时,函数z的变化状态 在平面xOy上,(xy)趋向Gn)的方式可以时多种多样的,因此二元函数的情况要比一元函数复 杂得多。如果当点(xy)以任意方式趋向点(ξ,n)时,f(xy)总是趋向于一个确定的常数A, 那末就称A是二元函数f(xy)当(x,y)→(ξ,n)时的极限 这种极限通常称为二重极限。 下面我们用δ语言给出二重极限的严格定义:
多元函数的概念 我们前面所学的函数的自变量的个数都是一个，但是在实际问题中，所涉及的函数的自变量的个 数往往是两个，或者更多。 例：一个圆柱体的体积 与两个独立变量 r,h 有关。` 我们先以二个独立的变量为基础，来给出二元函数的定义。 二元函数的定义 设有两个独立的变量 x 与 y 在其给定的变域中 D 中，任取一组数值时，第三个变量 z 就以某一 确定的法则有唯一确定的值与其对应，那末变量 z 称为变量 x 与 y 的二元函数。 记作：z=f(x,y). 其中 x 与 y 称为自变量，函数 z 也叫做因变量，自变量 x 与 y 的变域 D 称为 函数的定义域。 关于二元函数的定义域的问题 我们知道一元函数的定义域一般来说是一个或几个区间.二元函数的定义域通常是由平面上一 条或几段光滑曲线所围成的连通的部分平面.这样的部分在平面称为区域.围成区域的曲线称为区 域的边界，边界上的点称为边界点，包括边界在内的区域称为闭域，不包括边界在内的区域称为 开域。 如果一个区域 D(开域或闭域)中任意两点之间的距离都不超过某一常数 M，则称 D 为有界区域； 否则称 D 为无界区域。常见的区域有矩形域和圆形域。如下图所示： 例题：求 的定义域. 解答：该函数的定义域为：x≥ ,y≥0. 二元函数的几何表示 把自变量 x、y 及因变量 z 当作空间点的直角坐标，先在 xOy 平面内作出函数 z=f(x,y)的定义 域 D；再过 D 域中得任一点 M(x,y)作垂直于 xOy 平面的有向线段 MP,使其值为与(x,y)对应的函 数值 z； 当 M 点在 D 中变动时，对应的 P 点的轨迹就是函数 z=f(x,y)的几何图形.它通常是一张曲面， 其定义域 D 就是此曲面在 xOy 平面上的投影。 二元函数的极限及其连续性 在一元函数中，我们曾学习过当自变量趋向于有限值时函数的极限。对于二元函数 z=f(x,y)我们 同样可以学习当自变量 x 与 y 趋向于有限值 ξ 与 η 时，函数 z 的变化状态。 在平面 xOy 上，(x,y)趋向(ξ,η )的方式可以时多种多样的，因此二元函数的情况要比一元函数复 杂得多。如果当点(x,y)以任意方式趋向点(ξ,η)时，f(x,y)总是趋向于一个确定的常数 A， 那末就称 A 是二元函数 f(x,y)当(x,y)→(ξ,η)时的极限。 这种极限通常称为二重极限。 下面我们用 ε-δ 语言给出二重极限的严格定义：
二重极限的定义 如果定义于(ξ,η)的某一去心邻域的一个二元函数f(xy)跟一个确定的常数A有如下关系:对于 任意给定的正数ε,无论怎样小,相应的必有另一个正数δ,凡是满足 0<(x-2)2+(y-m)2<a 的一切(xy)都使不等式 xy)-4<5 那末常数A称为函数f(xy)当(xy)(2n)时的二重极限 正像一元函数的极限一样,二重极限也有类似的运算法则 二重极限的运算法则 如果当(xy)(n)时,f(x,y)→A,gxy)→B. 那末(1):f( x,yg(x,y)→A+B (2):f(xy)g(xy)→AB (3):f(x, yAg(x,y)→AB;其中B0 像一元函数一样,我们可以利用二重极限来给出二元函数连续的定义 二元函数的连续性 如果当点(xy)趋向点(x0y0)时,函数fxy)的二重极限等于f(xy)在点(x0yo)处的函数值f(xoyo), 那末称函数f(xy)在点(x0y0)处连续如果fxy)在区域D的每一点都连续,那末称它在区域D连 续 如果函数z=f(xy)在(xoyo)不满足连续的定义,那末我们就称(xoyo是f(xy)的一个间断点。 关于二元函数间断的问题 二元函数间断点的产生与一元函数的情形类似,但是二元函数间断的情况要比一元函数复杂, 它除了有间断点,还有间断线 二元连续函数的和,差,积,商(分母不为零)和复合函数仍是连续函数 例题:求下面函数的间断线 z= SIn 解答:x=0与y=0都是函数的间断线 偏导数 在一元函数中,我们已经知道导数就是函数的变化率。对于二元函数我们同样要研究它的变化 率"。然而,由于自变量多了一个,情况就要复杂的多在xOy平面内,当变点由(xoyo沿不同方 向变化时,函数f(xy)的变化快慢一般说来时不同的,因此就需要研究f(x,y)在(xoyo)点处沿不同 方向的变化率。 在这里我们只学习(x,y)沿着平行于x轴和平行于y轴两个特殊方位变动时fxy)的变化率 偏导数的定义 设有二元函数z=xy),点(xoyo)是其定义域D内一点把y固定在y0而让x在x0有增量△x, 相应地函数 z=f(xy)有增量(称为对x的偏增量) △xz=f(x0+△x}f(x0,y0)
二重极限的定义 如果定义于(ξ,η)的某一去心邻域的一个二元函数 f(x,y)跟一个确定的常数 A 有如下关系：对于 任意给定的正数 ε，无论怎样小，相应的必有另一个正数 δ，凡是满足 的一切(x,y)都使不等式 成立， 那末常数 A 称为函数 f(x,y)当(x,y )→(ξ,η)时的二重极限。 正像一元函数的极限一样，二重极限也有类似的运算法则： 二重极限的运算法则 如果当（x,y)→(ξ,η)时，f(x,y)→A，g(x,y )→B. 那末(1)：f(x,y)±g(x,y)→A±B； (2)：f(x,y).g(x,y)→A.B； (3)：f(x,y)/g(x,y)→A/B；其中 B≠0 像一元函数一样，我们可以利用二重极限来给出二元函数连续的定义： 二元函数的连续性 如果当点(x,y)趋向点(x0,y0)时，函数 f(x,y)的二重极限等于 f(x,y)在点(x0,y0)处的函数值 f(x0,y0)， 那末称函数 f(x,y)在点(x0,y0)处连续.如果 f(x,y)在区域 D 的每一点都连续，那末称它在区域 D 连 续。 如果函数 z=f(x,y)在(x0,y0)不满足连续的定义，那末我们就称(x0,y0)是 f(x,y)的一个间断点。 关于二元函数间断的问题 二元函数间断点的产生与一元函数的情形类似，但是二元函数间断的情况要比一元函数复杂， 它除了有间断点，还有间断线。 二元连续函数的和，差，积，商(分母不为零）和复合函数仍是连续函数。 例题：求下面函数的间断线 解答：x=0 与 y=0 都是函数 的间断线。 偏导数 在一元函数中，我们已经知道导数就是函数的变化率。对于二元函数我们同样要研究它的"变化 率"。然而，由于自变量多了一个，情况就要复杂的多.在 xOy 平面内，当变点由(x0,y0)沿不同方 向变化时，函数 f(x,y)的变化快慢一般说来时不同的，因此就需要研究 f(x,y)在(x0,y0)点处沿不同 方向的变化率。 在这里我们只学习(x,y)沿着平行于 x 轴和平行于 y 轴两个特殊方位变动时 f(x,y)的变化率。 偏导数的定义 设有二元函数 z=f(x,y)，点(x0,y0)是其定义域 D 内一点.把 y 固定在 y0 而让 x 在 x0 有增量△x， 相应地函数 z=f(x,y)有增量(称为对 x 的偏增量) △xz=f(x0+△x)-f(x0,y0)
如果△xz与△x之比当△x→0时的极限 )-f(x0,y0) x→0矗xAx→0 那末此极限值称为函数z=f(xy)在(xoyo)处对x的偏导数 记作:fx(xoyo)或 关于对x的偏导数的问题 函数z=f(xy)在(xoyo)处对x的偏导数,实际上就是把y固定在yo看成常数后,一元函数z=f(xyo) 在xo处的导数 同样,把x固定在x0,让y有增量△y,如果极限 存在 那末此极限称为函数z=(xy)在(x0yo)处对y的偏导数 记作f(00减1( 偏导数的求法 当函数z=f(xy)在(x0yo)的两个偏导数fx(xoyo)与fy(xoyo)都存在时, 我们称f(xy)在(xoyo)处可导。如果函数f(xy)在域D的每一点均可导 那末称函数f(xy)在域D可导。 此时,对应于域D的每一点(xy),必有一个对x(对y)的偏导数,因而在域D确定了一个新的 二元函数 称为f(xy)对x(对y)的偏导函数。简称偏导数。 例题:求z=x2siny的偏导数 解答:把y看作常量对x求导数,但y=2xsiy = X COSy 把x看作常量对y求导数,得 ay 注意:二元函数偏导数的定义和求法可以推广到三元和三元以上函数 +y+ 例题:求 z的偏导数 解答:我们根据二元函数的偏导数的求法来做 把y和z看成常量对x求导,得 把ⅹ和z看成常量对y求导,得 2++ 把ⅹ和y看成常量对z求导,得 高阶偏导数
如果△xz 与△x 之比当△x→0 时的极限 存在， 那末此极限值称为函数 z=f(x,y)在(x0,y0)处对 x 的偏导数。 记作：f'x(x0,y0)或 关于对 x 的偏导数的问题 函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x 的偏导数，实际上就是把y 固定在y0 看成常数后，一元函数z=f(x,y0) 在 x0 处的导数 同样，把 x 固定在 x0,让 y 有增量△y,如果极限 存在， 那末此极限称为函数 z=(x,y)在(x0,y0)处对 y 的偏导数. 记作 f'y(x0,y0)或 偏导数的求法 当函数 z=f(x,y)在(x0,y0)的两个偏导数 f'x(x0,y0)与 f'y(x0,y0)都存在时， 我们称 f(x,y)在(x0,y0)处可导。如果函数 f(x,y)在域 D 的每一点均可导， 那末称函数 f(x,y)在域 D 可导。 此时，对应于域 D 的每一点(x,y)，必有一个对 x(对 y)的偏导数，因而在域 D 确定了一个新的 二元函数， 称为 f(x,y)对 x(对 y)的偏导函数。简称偏导数。 例题：求 z=x2 siny 的偏导数 解答：把 y 看作常量对 x 求导数，得 把 x 看作常量对 y 求导数，得 注意：二元函数偏导数的定义和求法可以推广到三元和三元以上函数。 例题：求 的偏导数。 解答：我们根据二元函数的偏导数的求法来做。 把 y 和 z 看成常量对 x 求导，得 . 把 x 和 z 看成常量对 y 求导，得 .把 x 和 y 看成常量对 z 求导，得 . 高阶偏导数
如果二元函数z=f(xy)的偏导数fx(xy)与fy(xy)仍然可导 那末这两个偏导函数的偏导数称为z=xy)的二阶偏导数。 二元函数的二阶偏导数有四个:f"x,f"xy,f"yx,r"y 注意:fxy与fyx的区别在于:前者是先对x求偏导,然后将所得的偏导函数再对y求偏导 后者是先对y求偏导再对ⅹ求偏导当r"xy与r"yx都连续时,求导的结果于求导的先后次序无 关 例题:求函数2=x2y-3x2的二阶偏导数 解答:2=6y-6y392z 2z 全微分 我们已经学习了一元函数的微分的概念了,现在我们用类似的思想方法来学习多元函数的的 全增量,从而把微分的概念推广到多元函数。 这里我们以二元函数为例。 全微分的定义 函数z=f(xy)的两个偏导数fxxy)fyxy)分别与自变量的增量△x,△y乘积之和 fx(xy)△xfy(xy)△y 若该表达式与函数的全增量△z之差, 的高阶无穷小, 那末该表达式称为函数z=f(xy)在(xy)处(关于△x,△y)的全微分。 注意:其中△z=fx(xy)△x+fy(x,y)△y+up,(a是当p→0时的无穷小) 注意:在找函数相应的全增量时,为了使△z与偏导数发生关系,我们把由(xoyo)变到 (o+△xyo+△y)的过程分为两部:先由点(x0y0)变到点(xoyo+△y),再变到点(xo+△xyo+△y).其过 程如下图所示 例题:求 Z=e"sin(x+ 的全微分 解答:由于 zi=e sin(x +y)+e cos(x+y) ax+z2中=e[sim(x+y)+0s(x+a+e2cos(x+y)中 关于全微分的问题 如果偏导数fx(xy)fyxy)连续,那末z=f(xy)定可微
如果二元函数 z=f(x,y)的偏导数 f'x(x,y)与 f'y(x,y)仍然可导， 那末这两个偏导函数的偏导数称为 z=f(x,y)的二阶偏导数。 二元函数的二阶偏导数有四个：f"xx，f"xy，f"yx，f"yy. 注意：f"xy 与 f"yx 的区别在于：前者是先对 x 求偏导，然后将所得的偏导函数再对 y 求偏导； 后者是先对 y 求偏导再对 x 求偏导.当 f"xy 与 f"yx 都连续时，求导的结果于求导的先后次序无 关。 例题：求函数 的二阶偏导数. 解答： ， ， 全微分 我们已经学习了一元函数的微分的概念了，现在我们用类似的思想方法来学习多元函数的的 全增量，从而把微分的概念推广到多元函数。 这里我们以二元函数为例。 全微分的定义 函数 z=f(x,y)的两个偏导数 f'x(x,y),f'y(x,y)分别与自变量的增量△x,△y 乘积之和 f'x(x,y)△x+f'y(x,y)△y 若该表达式与函数的全增量△z 之差， 当 ρ→0 时，是 ρ( ) 的高阶无穷小， 那末该表达式称为函数 z=f(x,y)在(x,y)处(关于△x,△y)的全微分。 记作：dz=f'x(x,y)△x+f'y(x,y)△y 注意：其中△z=f'x(x,y)△x+f'y(x,y)△y+αρ，(α 是当 ρ→0 时的无穷小) 注意：在找函数相应的全增量时，为了使△z 与偏导数发生关系，我们把由(x0,y0)变到 (x0+△x,y0+△y)的过程分为两部：先由点(x0,y0)变到点(x0,y0+△y)，再变到点(x0+△x,y0+△y).其过 程如下图所示： 例题：求 的全微分 解答：由于 ， 所以 关于全微分的问题 如果偏导数 f'x(x,y),f'y(x,y)连续，那末 z=f(x,y)一定可微
多元复合函数的求导法 在一元函数中,我们已经知道,复合函数的求导公式在求导法中所起的重要作用,对于多元 函数来说也是如此。下面我们来学习多元函数的复合函数的求导公式。我们先以二元函数为例 多元复合函数的求导公式 链导公式 =(xD=p(x,D)均在(y)处可导函数z=F(u、)在对应的(uy)处有连续的一阶偏导数 那末复合函数2=(x,y,(x,y) 在(xy)处可导,且有链导公式 az aF a aF av 一 au ax av ax 例题:求函数21e2+y)+(x2+的一阶偏导数 解答:令 +y,则z 由于 az 2u az 1 au 22+v av 而 +as、如 由链导公式可得: az 2 a--2-c*+2y+1--1-(4y+y2+1 其中 上述公式可以推广到多元,在此不详述。 一个多元复合函数,其一阶偏导数的个数取决于此复合函数自变量的个数。在一阶偏导数的链 导公式中,项数的多少取决于与此自变量有关的中间变量的个数。 全导数 由二元函数z-uy)和两个一元函数=(P=(复合起来的函数2=[p(w(是x的 元函数 这时复合函数的导数就是一个一元函数的导数,称为全导数
多元复合函数的求导法 在一元函数中，我们已经知道，复合函数的求导公式在求导法中所起的重要作用，对于多元 函数来说也是如此。下面我们来学习多元函数的复合函数的求导公式。我们先以二元函数为例： 多元复合函数的求导公式 链导公式： 设 均在(x,y)处可导,函数 z=F(u,v)在对应的(u,v)处有连续的一阶偏导数, 那末,复合函数 在(x,y)处可导,且有链导公式： 例题：求函数 的一阶偏导数 解答：令 由于 而 由链导公式可得： 其中 上述公式可以推广到多元，在此不详述。 一个多元复合函数，其一阶偏导数的个数取决于此复合函数自变量的个数。在一阶偏导数的链 导公式中，项数的多少取决于与此自变量有关的中间变量的个数。 全导数 由二元函数 z=f(u,v)和两个一元函数 复合起来的函数 是 x 的 一元函数. 这时复合函数的导数就是一个一元函数的导数 ,称为全导数
此时的链导公式为 dz az du a dv 例题:设z=u2v,u=cosx,v=sinx,求dx 解答:由全导数的链导公式得: sin x) 将u=cosx,v=sinx代入上式,得 cos3 x-2 sin 2 x cosx dx 关于全导数的问题 全导数实际上是一元函数的导数,只是求导的过程是借助于偏导数来完成而已。 多元函数的极值 在一元函数中我们看到,利用函数的导数可以求得函数的极值,从而可以解决一些最大、最 小值的应用问题。多元函数也有类似的问题,这里我们只学习二元函数的极值问题。 二元函数极值的定义 如果在(x0yo)的某一去心邻域内的一切点(xy)恒有等式: f(x,y sf(xo, yo) 成立,那末就称函数f(xy)在点(x0,yo)处取得极大值f(xoyo);如果恒有等式: f(x,y ef(xo, yo) 成立,那末就称函数f(xy)在点(xyo)处取得极小值 f(xo,yo) 其中4=(0,0),B=(x0,0)C=(,P0) 例题:求2 3的极值。 解答:设 十 3y fy(x,y) 3x m(x,y)=6x,(xy)=-3,男(x,y)=6y 解方程组 得驻点(1,1)(0,0) 对于驻点(1)(1)=6.(=3m(D=6 B2AC=(-3)66=270 因此,f(x,P)=x+y2-3在点1)取得极小值f1=1
此时的链导公式为: 例题：设 z=u2v，u=cosx，v=sinx，求 解答：由全导数的链导公式得： 将 u=cosx，v=sinx 代入上式，得： 关于全导数的问题 全导数实际上是一元函数的导数，只是求导的过程是借助于偏导数来完成而已。 多元函数的极值 在一元函数中我们看到，利用函数的导数可以求得函数的极值，从而可以解决一些最大、最 小值的应用问题。多元函数也有类似的问题，这里我们只学习二元函数的极值问题。 二元函数极值的定义 如果在(x0,y0)的某一去心邻域内的一切点(x,y)恒有等式： f(x,y)≤f(x0,y0) 成立，那末就称函数 f(x,y)在点(x0,y0)处取得极大值 f(x0,y0)；如果恒有等式： f(x,y)≥f(x0,y0) 成立，那末就称函数 f(x,y)在点(x0,y0)处取得极小值 f(x0,y0). 其中 例题：求 的极值。 解答：设 ,则 ， . . 解方程组 ，得驻点(1,1),(0,0). 对于驻点(1,1)有 ,故 B2 -AC=(-3)2 -6 .6=-27＜0，A=6＞0 因此， 在点(1,1)取得极小值 f(1,1)=-1
对于驻点00有m(00=0.(0=-30D=0, 因此,f(x,)=x3+y3-30在点00不取得极值 多元函数的最大、最小值问题 我们已经知道求一元函数极大值、极小值的步骤,对于多元函数的极大值、极小值的求解也可 采用同样的步骤。下面我们给出实际问题中多元函数的极大值、极小值求解步骤。如下 a):根据实际问题建立函数关系,确定其定义域 b)求出驻点 c):结合实际意义判定最大、最小值 例题:在平面3x+4y-z=26上求一点,使它与坐标原点的距离最短 解答:a):先建立函数关系确定定义域 求解与原点的距离最短的问题等价于求解与原点距离的平方4=x2+y2+z 最小的问题但是P点位于所给的平面上故z=3x+4y-26把它代入上式便得到我们所需的 函数关系 +(3x+4y-20 b):求驻点 y+8(x+4y-26)=22x+17y-104) ②0 得唯一驻点x=3,y=4由于点P在所给平面上,故可知 c)}:结合实际意义判定最大、最小值 由问题的实际意义可知,原点与平面距离的最小值是客观存在的,且这个最小值就是极 小值而函数 仅有唯一的驻点所以,平面上与原点距离最短的点为P(4,-1) 从上例我们可以看出,上面函数关系也可看成是:求三元函数 在约束条件 3x+4y-z=26 下的最小值一个多元函数在一个或几个约束条件下的极值称为条件极值
对于驻点(0,0)有 ,故 B2 -AC=(-3)2 -0 .0=9＞0 因此， 在点(0,0)不取得极值. 多元函数的最大、最小值问题 我们已经知道求一元函数极大值、极小值的步骤，对于多元函数的极大值、极小值的求解也可 采用同样的步骤。下面我们给出实际问题中多元函数的极大值、极小值求解步骤。如下： a)：根据实际问题建立函数关系，确定其定义域； b)：求出驻点； c)：结合实际意义判定最大、最小值. 例题：在平面 3x+4y-z=26 上求一点，使它与坐标原点的距离最短。 解答：a)：先建立函数关系,确定定义域 求解与原点的距离最短的问题等价于求解与原点距离的平方 最小的问题.但是 P 点位于所给的平面上,故 z=3x+4y-26.把它代入上式便得到我们所需的 函数关系: ,-∞＜x＜+∞,-∞＜y＜+∞ b)：求驻点 解 得唯一驻点 x=3，y=4.由于点 P 在所给平面上,故可知 z=-1 c)：结合实际意义判定最大、最小值 由问题的实际意义可知，原点与平面距离的最小值是客观存在的，且这个最小值就是极 小值.而函数 仅有唯一的驻点.所以，平面上与原点距离最短的点为 P(3,4,-1). 从上例我们可以看出，上面函数关系也可看成是：求三元函数 ， 在约束条件 3x+4y-z=26 下的最小值.一个多元函数在一个或几个约束条件下的极值称为条件极值