第五节 全微分方程
第五节 全微分方程
、全微分方程及其求法 1.定义:若有全微分形式 d(x,y)=P(x,y)+(x,y)为全微分方程 则称 或恰当方程 例如xk+ydy=0,P=x,O=y oP oQ 0 ∴du(x,y)=xdx+ydy, 因此,方程x+=0是全微分方程
一、全微分方程及其求法 1.定义: 则称 P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy 若有全微分形式 例如 xdx + ydy = 0, 为全微分方程 或恰当方程 du(x, y) = xdx + ydy, 因此，方程 是全微分方程. . x Q y P = 全微分方程 = 0 = x Q y P P = x,Q = y, xdx+ ydy = 0
2.解法 P(x,y)+Q(x,y)=0全微分方程 aP 80 方法1:应用曲线积分与路径无关 av a 可求出以(x,y)=P(x,y)dx+q(x0,y)y ∫Qxy)+P(x,yx, 因此,方程的通解为: 方法2:用直接凑全微分的方法 比如,全微分方程xdx+by=04d=(x2+y)=0 2 x+y 因此,方程的通解为: 2
2.解法: P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 方法1：应用曲线积分与路径无关. x Q y P = 可求出 = + y y x x u x y P x y dx Q x y dy 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) , 0 0 Q x y dy P x y0 dx x x y y = + u(x, y) = C ; 方法2： 用直接凑全微分的方法. 全微分方程 因此，方程的通解为： 比如，全微分方程 xdx+ ydy = 0 ( ) 0 2 1 2 2 d x + y = 因此，方程的通解为： C x y = + 2 2 2
例1求方程(x3-3xy2)dx+(y3-3x2y)小y=0 的通解 解 OP6xar是全微分方程, 00 O (x,y) (xa-3xy2)dx+lydy x 3 x t 42 x 3 原方程的通解为 J C 42
. ( 3 ) ( 3 ) 0 3 2 3 2 的通解 求方程 x − xy dx + y − x y dy = 解 6 , x Q xy y P = − = 是全微分方程, = − + x y u x y x xy dx y dy 0 3 0 3 2 ( , ) ( 3 ) . 2 4 3 4 4 2 2 4 C y x y x 原方程的通解为 − + = , 2 4 3 4 4 2 2 4 y x y x = − + 例1
3x 例2求方程dx+ dy=0的通解 aP 6x 00 解y ,是全微分方程 ax 将左端重新组合小+(d 3x dy) =d(--)+d(-3)=d(--+-3) 原方程的通解为-1+x=C y y
0 . 2 3 4 2 2 求方程 3 = 的通解 − + dy y y x dx y x 解 , 6 4 x Q y x y P = − = 是全微分方程, 将左端重新组合 ) 2 3 ( 1 4 2 2 3 dy y x dx y x dy y + − ) ( ) 1 ( 3 2 y x d y = d − + . 1 3 2 C y x y 原方程的通解为− + = ), 1 ( 3 2 y x y = d − + 例2
二、积分因子法 如果P(x,y)x+(x,y)d=0不是全微分方程 定义:p(x,y)≠0连续可微函数,使方程 u(x,y)P(x,y)dx+p(x,y)Q(x,y)y=0成为全 微分方程则称(x,y)为方程的积分因子 问题:如何求方程的积分因子? 这个问题难度较大,技巧性很强 经常被选作积分因子的有下列函数: x y x+yxx212=2 等 x ty
二、积分因子法 定义 : ( x, y) 0连续可微函数，使方程 (x, y)P(x, y)dx + (x, y)Q(x, y)dy = 0成为全 微分方程.则称( x, y)为方程的积分因子. 问题: 如何求方程的积分因子? 这个问题难度较大，技巧性很强 如果P(x, y)dx +Q(x, y)dy = 0不是全微分方程, 经常被选作积分因子的有下列函数： , , . 1 , 1 , 1 , 1 2 2 2 2 2 2 2 等 x y y x x + y x x y x + y
常见的全微分表达式有: x2+ xdy-ydx xdx+ydy=d 2 xdy-ydx xdy+ yde d arctan d(In xy x-十 xdx+ ydy In(x +y) ty 2 小-yxc n 2 通常采用观察法:凭观察凑微分得到(xy)
通常采用观察法: 凭观察凑微分得到 (x, y) 常见的全微分表达式有： + + = 2 2 2 x y xdx ydy d = − x y d x xdy ydx 2 = + − x y d x y xdy ydx arctan 2 2 d( xy) xy xdy ydx = ln + = + + + ln( ) 2 1 2 2 2 2 d x y x y xdx ydy − + = − − x y x y d x y xdy ydx ln 2 1 2 2
例3求微分方程 2x(1+ y)dx-x2-yy=0的通解 解x+2xx2-yt-x2-yy=0, d(x2)+x2-y(x2)-x2-yy=0, 将方程左端重新组合,有 d(x2)+√x2-yd(x2 y)=0 原方程的通解为x2+2(x2-y)2=C 3
2 (1 ) 0 . x + x 2 − y dx − x 2 − ydy = 的通解 解 将方程左端重新组合,有 例3 求微分方程 2 2 0, 2 2 xdx + x x − ydx − x − ydy = ( ) ( ) 0, 2 2 2 2 d x + x − yd x − x − ydy = ( ) ( ) 0, 2 2 2 d x + x − yd x − y = 原方程的通解为 ( ) . 3 2 2 3 2 2 x + x − y = C
例5求微分方程 _x2+x3+y的通解 du 1+x y,1 解1整理得 dx 1+x J=-x, A常数变易法:对应齐方通解y=1+x 设y C(x) 4 xx .C(x)=- C 1+x 34 1 dx B公式法y=c1“-x2gh“+C 3 通解为y+x+3+4 xx
. 1 2 3 求微分方程 的通解 x x x y dx dy + + + = − 解1 整理得 , 1 1 2 y x dx x dy = − + + A 常数变易法: B 公式法: . 3 4 3 4 C x x 通解为 y + xy + + = . 1 x C y + 对应齐方通解 = . 1 ( ) x C x y + 设 = . 3 4 ( ) 3 4 C x x C x = − − + [ ], 1 1 1 2 1 y e x e dx C d x x d x x + − = + + − 例5
解2整理得(x+x2+y)+(1+x)y=0 aP 00 ,∴是全微分方程 ay A用曲线积分法: (x,y)=(x2+x3+y)x+d B凑微分法: dy+(xdy+ ydx)+x dx+xdx=0, 4 x dy+d(xy)+d+d=0, 3 d(y+xy+ )=0
解2 整理得 ( ) (1 ) 0, 2 3 x + x + y dx + + x dy = 1 , x Q y P = = 是全微分方程. A 用曲线积分法: ( , ) ( ) , 0 0 2 3 = + + + x y u x y x x y dx dy B 凑微分法: ( ) 0, 2 3 dy + xdy + ydx + x dx + x dx = 0， 3 4 ( ) 3 4 + + + = x d x dy d xy d ) 0. 3 4 ( 3 4 + + + = x x d y xy