第七节 可降阶的高阶微分方程 基本解法是 通过代换将其化成较低阶的 方程来求解
第七节 可降阶的高阶微分方程 基本解法是： 通过代换将其化成较低阶的 方程来求解
y=f(x (k) )型 特点:不显含未知函数y及y,…,y 解法:令y6)=P(x) 则y6+=P",y0)=P 代入原方程,得 P(x)的(n-k)阶方程 P-)=f(x,P(x)…,P(x).求得P(x) 将y)=P(x)连续积分k次,可得通解
代入原方程, 得 解法： 特点： , , . ( −1) k 不显含未知函数 y及 y y ( ) ( ) y P x k 令 = , . (k 1) (n) (n k ) y P y P + − 则 = = ( , ( ), , ( )). ( ) ( 1) P f x P x P x n−k n−k− = P(x)的(n-k)阶方程 求得 P(x), ( ) , 将 y (k ) = P x 连续积分k次 可得通解. ( , , , ) ( ) ( ) ( −1) = n k n 一、 y f x y y 型
作为上述类型有两种更特殊的情况: y=f(x) 等式右端不显含末知函数及末知函数的导数,可 对两端直接积分n次求其通解,通解中有n个任意 常数 y=f(x, y) p=y,则=y”,原方程成为P=f(x,p) 这是一个一阶微分方程,可用已掌握的方法解出p,再由 axp(x)解出方程的通解
作为上述类型有两种更特殊的情况： . ( ) ( ) y f x n 一 = 等式右端不显含末知函数及末知函数的导数，可 对两端直接积分n次求其通解，通解中有n个任意 常数 二.y = f (x, y ) 令p = y ,则p = y ,原方程成为P = f (x, p) 这是一个一阶微分方程，可用已掌握的方法解出p,再由 p(x)解出方程的通解 dx dy =
例:求解微分方程y"=x+snx 解:y coS x+Cl,y=rx-sin x++ C2 P 366 3 y-x+Cy=x'+Gx+c, y(0)=1,y(0)=,∴C2=1, 2 所求曲线方程为y=6x2+2x+1 例:求解微分方程x"+y=0 解:设y'=p,则有xp+p=0,解之得 Cdy V=CI InIx+ x dx
例:求解微分方程y = x +sin x 1 2 3 1 2 sin 6 1 cos , 2 1 解: y = x − x + c y = x − x + c x + c P.366 3 1 2 1 6 1 , 2 1 , 1, 2 1 (0) 1, (0) 6 1 , 2 1 3 2 1 1 2 3 1 2 = + + = = = = = + = + + y x x y y c c y x c y x c x c 所求曲线方程为 例:求解微分方程xy + y = 0 1 2 1 , ln : , 0, y c x c dx dy x c p y p xp p = = = + 解 设 = 则有 + = 解之得
例1求方程xy6-y4)=0的通解 解设y=P(x)y)=P(x) 代入原方程xP-P=0,(P≠0 解线性方程,得P=Cx即y4=C1x, 两端积分得y”=1x2+C2 2 1x5+2x3+3x2+C4x+Cs, 120 6 原方程通解为y=d1x3+d2x3+d3x2+d2x+
0 . 求方程 xy(5) − y (4) = 的通解 解 ( ), (4) 设 y = P x 代入原方程 xP − P = 0, 解线性方程, 得 P = C1 x 两端积分,得 原方程通解为 ( ) (5) y = P x （P 0） , 1 (4) 即 y = C x , 2 1 2 2 y = C1 x + C , , 120 6 2 4 5 1 5 2 3 3 2 x C x C C x C x C y = + + + + 4 5 2 3 3 2 5 1 y = d x + d x + d x + d x + d 例 1
二、y=f(y,…y)型 特点:右端不显含自变量x 解法:设y=p()则y=.电=p, dy dx d 'p.p ay 小y 代入原方程得到新函数P(y)的(n-1)阶方程, y 求得其解为=P(y)=9(,C1,…,Cn1) dh 原方程通解为 =x+C 19
设 y = p( y) , dy dP p dx dy dy dp 则 y = = 代入原方程得到新函数 P( y)的(n − 1)阶方程， 求得其解为 原方程通解为 , ( , , , ) 1 1 n n x C y C C dy = + − 特点： 右端不显含自变量x. 解法： ( ) , 2 2 2 2 dy dP P dy d P y = P + , ( ) ( , , , ), = = C1 Cn−1 P y y dx dy ( , , , ) ( ) ( ) ( −1) = n k n 二、 y f y y y 型
作为上述类型的特殊情况是: 三y=f(y,y) 求解时设=(=.a dy dx dy 原方程成为中=(yD)这是一个一阶微分方程 例2求方程y”-y42=0的通解 dP 解设y=p(y) y 代入原方程得4PP2=0即P2)=0 dP y 由y dP 小y P=0,可得P=C1y d=C,原方程通解为y=CcC d
0 . 求方程 yy − y 2 = 的通解 解 , dy dP 设 y = p( y), 则 y = p 代入原方程得 0, 2 − P = dy dP y P ( − P) = 0, dy dP 即 P y 由 − P = 0， dy dP y , 1 可得 P = C y . 1 2 C x 原方程通解为 y = C e , 1 C y dx dy = 例 2 . ( , ) : 三 y = f y y 作为上述类型的特殊情况是 原方程成为 这是一个一阶微分方程 求解时设 则 ( , ), ( ), f y p dy dp p dy dp p dx dy dy dp y p y y = = = =
