第7节 正弦级数和余弦级数
第7节 正弦级数和余弦级数
、奇函数和偶函数的傅里叶级数 般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦 项,又含有余弦项但是,也有一些函数的傅里叶级 数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项 定理 (1)当周期为2元的奇函数f(x)展开成傅里叶级数 时,它的傅里叶系数为 a.=0 (n=0,1,2,…) f(x) sin ndx(n=1,2,…) 兀0
一、奇函数和偶函数的傅里叶级数 (1)当周期为2的奇函数 f ( x)展开成傅里叶级数 时,它的傅里叶系数为 ( )sin ( 1,2, ) 2 0 ( 0,1,2, ) 0 = = = = b f x nxdx n a n n n 定理 一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦 项,又含有余弦项.但是,也有一些函数的傅里叶级 数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项
(2)当周期为2兀的偶函数∫(x)展开成傅里叶级 数时,它的傅里叶系数为 2c兀 f(x)cos ndx (n=0, 1, 2, .) 兀0 (n=1,2,…) 证明(1)设/(x)是奇函数 f(x) cos ndx=0(n=0,1,2,3,…) 奇函数
(2)当周期为2的偶函数 f ( x)展开成傅里叶级 数时,它的傅里叶系数为 0 ( 1,2, ) ( )cos ( 0,1,2, ) 2 0 = = = = b n a f x nxdx n n n 证明 (1)设f (x)是奇函数, = − an f (x)cos nxdx 1 = 0 (n = 0,1,2,3, ) 奇函数
f(x)sin ndx Jo f(x)sin ndx 偶函数 1 同理可证(2) 定理证毕 定义如果f(x)为奇函数,傅氏级数∑ b, sin nx 称为正弦级数 如果f(x)为偶函数,傅氏级数0+∑ a cos nx 2 称为余弦级数
= 0 ( )sin 2 f x nxdx (n = 1,2,3, ) 同理可证(2) 定义 如果 f (x)为奇函数,傅氏级数 b nx n n sin 1 = 称为正弦级数. 如果 f (x)为偶函数, 傅氏级数 a nx a n n cos 2 1 0 + = 称为余弦级数. = − bn f (x)sinnxdx 1 偶函数 定理证毕
例1设f(x)是周期为2兀的周期函数,它在 m)上的表达式为f(x)=x,将f(x)展开成 傅氏级数 解所给函数满足狄利克雷充分条件 在点x=(2k+1)m(k=0,±1,±2,…)处不连续, 收敛于f(x-0)+f(=元+0)+(-=0 2 2 在连续点x(x≠(2k+1)m)处收敛于f(x)
例 1 设 f (x) 是周期为2 的周期函数,它 在 [−,)上的表达式为 f ( x) = x ,将f (x) 展开成 傅氏级数. 解 所给函数满足狄利克雷充分条件. 在点x = (2k +1)(k = 0,1,2, )处不连续, 2 f ( − 0) + f (− + 0) 收敛于 2 + (−) = = 0, 在连续点x(x (2k +1))处收敛于f (x)
x≠(2k+1)π时f(x)是以2π为周期的奇函数, 和函数图象 3 2丌3兀 T 0,(n=0,1,2,…)
− − 3 − 2 − 2 3 x y0 x (2k +1)时 f (x)是以2为周期的奇函数, 和函数图象a = 0, (n = 0,1,2,) n
2 2 b =o f()sin ndx=Jo xsin ndx T x cos r sinn 公2 n coS n n1+1 (n=1,2,) n n f(r=2(sinx-sin 2x+sin 3x -") 3 n+1 2 (-1) SInn n-=1 n (-∞<x<+x≠土π,±3π,…)
= 0 ( )sin 2 bn f x nxdx = 0 sin 2 x nxdx − + = 2 0 ] cos sin [ 2 n nx n x nx = − n n cos 2 ( 1) , 2 +1 = − n n (n = 1,2, ) sin3 ) 3 1 sin2 2 1 f (x) = 2(sin x − x + x − sin . ( 1) 2 1 1 = + − = n n nx n (− x +; x , 3, )
例2将周期函数(t)= Elint展开成傅氏级数, 其中E是正常数 解所给函数满足狄利克雷充分条件,在整个 数轴上连续 (t) u()为偶函数, b.=0 (=1,2,) 2 T T 2 2 Im r2c ( t)dt TEsintd-4E T T
例 2 将周期函数u(t) = Esin t 展开成傅氏级数, 其中E是正常数. 解 所给函数满足狄利克雷充分条件, 在整个 数轴上连续. u(t)为偶函数, = 0, bn = 0 0 ( ) 2 a u t dt t u(t) − 2 − 0 2 E = 0 sin 2 E tdt , 4 = E (n = 1,2, )
2 2 a,=u(t)cos ndt T r oE sint cos ndt E sin(n+1t-sin(n-1tldt E cos(n+1)t cos(n-1)t n+1 (n≠1) T 4E 当n=2k (2k)2-1 (k=1,2,) 当n=2k+1
= 0 ( )cos 2 a u t ntdt n = 0 sin cos 2 E t ntdt + − − = 0 [sin(n 1)t sin(n 1)t]dt E = + = − − = 0, 2 1 , 2 [(2 ) 1] 4 2 n k n k k E 当 当 (k = 1,2, ) − − + + + − = 1 0 cos( 1) 1 cos( 1) n n t n E n t (n 1)
2 -u(t)cos tdt=Jo Esintcos tdt=0, T 4E11 (t) cos 2t-cos 4t- cos 6t -.) 兀23 15 35 2E ∑ cos∠nx T 2-1 4n (-∞<t<+)
= 1 0 ( )cos 2 a u t tdt = 0 sin cos 2 E t tdt = 0, cos 6 ) 35 1 cos 4 15 1 cos 2 3 1 2 1 ( 4 ( ) − − − − = t t t E u t (− t +) ]. 4 1 cos 2 [1 2 2 1 2 = − − = n n E nx