第五节隐函数的求导公式 经常碰到的几种隐函数及其求导公式 1.F(x,y) 0 2 F(x,y,z)=0 3 F(x,y,z)=0 4 F(x, Yi u, V)=0 G(X, y, Z)=0 G(x, yr u, v)=0 如果隐函数可以表示成显函数, 那末隐函数1的显函数为y=f(x), 隐函数2的显函数为z=f(x,y), 隐函数3的显函数为y 隐函数4的显函数为 = f(x,y g(x, y)
第五节 隐函数的求导公式 一．经常碰到的几种隐函数及其求导公式 1．F(x, y) = 0 2 ．F(x, y,z) = 0 3． ( , , ) 0 ( , , ) 0 = = G x y z F x y z 4． ( , , , ) 0 ( , , , ) 0 = = G x y u v F x y u v 如果隐函数可以表示成显函数， 那末隐函数 1 的显函数为 y = f(x)， 隐函数 2 的显函数为 z = f(x, y)， 隐函数 3 的显函数为 ( ) ( ) z g x y f x = = ， 隐函数 4 的显函数为 ( , ) ( , ) v g x y u f x y = =
将y=f(x)代入F(x,y)=0得F(x,r)=0,等式两边同时对 求导,由多元复合函数的求导公式可知F+P=0,因此 dx 有隐函数1的求导公式=2 dx 将z=f(x,y)代入F(x,y,2)=0得F(x,y,f 等式两文 同时对x和y求偏导,由多元复合函数的求导公式可知 F+FZ=0 F+ FZ 因此,z
将y = f(x)代入F(x, y) = 0得F(x,f(x)) = 0，等式两边同时对x 求导，由多元复合函数的求导公式可知 + = 0 dx dy Fx Fy ，因此 有隐函数 1 的求导公式 y x F F dx dy = - 将z = f(x, y)代入F(x, y,z) = 0得F(x, y,f(x, y)) = 0，等式两边 同时对 x 和 y 求偏导，由多元复合函数的求导公式可知 0 0 + = + = y z y x z x F F z F F z ， 因此， z y y z x x F F z F F z = - , = -
将 y= f(x) 代入 F(x, Y, Z)=0 G(x,y,z)=03 得 F(x,f(x),g(x))=0 等式两 g(x) G(x,f(x),g(x))=0 边同时对x求导,由多元复合函数的求导公式可知 dz F+F F 0 设△ 则 G+ G G 0 dy GG dz dx △ dx 将 代入 F(X, y, u, V) 0 得 F(x, y, f(x, y), g(x, y)) G(x, y, f(x, y), g(x, y) 等式两边同时对x和y求偏导,由多元复合函数的求导公式 可知 F+ Fu+ 0 F+ Fu,+ 0 G+G +G G+ G +G
将 ( ) ( ) z g x y f x = = 代入 ( , , ) 0 ( , , ) 0 = = G x y z F x y z ，得 ( , ( ), ( )) 0 ( , ( ), ( )) 0 = = G x f x g x F x f x g x ，等式两 边同时对 x 求导，由多元复合函数的求导公式可知 0 0 + + = + + = dx dz G dx dy G G dx dz F dx dy F F x y z x y z ，设 y z y z G G F F D = ，则 D = D - - = z x z x x z x z G G F F G G F F dx dy ， D = D - - = x y x y y x y x G G F F G G F F dx dz 将 ( , ) ( , ) v g x y u f x y = = 代入 ( , , , ) 0 ( , , , ) 0 = = G x y u v F x y u v 得 ( , , ( , ), ( , )) 0 ( , , ( , ), ( , )) 0 = = G x y f x y g x y F x y f x y g x y ， 等式两边同时对x 和y 求偏导，由多元复合函数的求导公式 可知， 0 0 + + = + + = x u x v x x u x v x G G u G v F F u F v ， 0 0 + + = + + = y u y y y y u y v y G G u G v F F u F v
因此得P。40-41的四个公式可分别求出u2,v3,u2,vy 例1.设1n arctan 求 dx 解:设(x,y)=1nx2+y arctan y X 1+ dy Ex x + y 1+ dx 例2.设x=1n2,求?2和2 ?x? 解:设r(x,y,z)=2-1nz+1ny,F F 1 2z z y(x z)
因此得 P。40—41 的四个公式可分别求出 ux ,v x ,uy ,v y 例 1．设 x y ln x y arctan 2 2 + = ，求 dx dy 解：设 x y F(x, y) ln x y arctan 2 2 = + - ， 2 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) x y x y x y x y x y x Fx + + = + - - + = 2 2 2 2 2 1 ( ) 1 x y y x x y x x y y Fy + - = + - + = ， dx dy = x y x y F F y x - + - = 例 2．设 y z z x = ln ，求 x z ? ? 和 y z ? ? 解：设 F(x, y,z)= z y z x - ln + ln ， z Fx 1 = ， z z x F y Fy z 1 , 1 2 = = - - = ( ) 2 z x + z - ， x z ? ? = z x F F - = x z z + ， y z ? ? = z y F F - = ( ) 2 y x z z +
例3.设x=x(,2),y=y(x,2),z=2(x,y)都是由方程 F(x,y,2)=0 所确定的具有连续偏导数的函数,证明: 解:2x=,y=B,2=B,国W可 2z 例4.设Φunv)具有连续偏导数,证明由方程 p(cx-az, Cy- bz)= 0 所确定的函数=f(x,y满足a2+b22= 解法1:①。=c①,④ -(a①1+bd ,代入要证的等式左边就可证明
例 3 ．设 x = x(y,z), y = y(x,z),z = z(x, y) 都是由方程 F(x, y,z) = 0 所确定的具有连续偏导数的函数，证明： = -1 ? ? ? ? ? ? ? ? x z z y y x 解： y x ? ? = x y F F - ， z y ? ? y z F F = - ， x z ? ? = z x F F - ，因此 = -1 ? ? ? ? ? ? ? ? x z z y y x 例 4 ． 设 F(u,v) 具有连续偏导数，证明由方程 F(cx - az,cy - bz) = 0 所确定的函数 z = f(x, y)满足a x z ? ? + c y z b = ? ? 解法 1：Fx = cF1 , Fy = cF2 , Fz = -(aF1 + bF2 ) x z ? ? = z x F F - ， z y y z F F = - ? ? ，代入要证的等式左边就可证明
解法2:设u=cx-az,=cy-bz 如将z=f(x,y)代入方程dex-az,cy-bz)=0 A o(cx- af(x, y), cy- bf(x, y))=0, 等式两边分别对x,y求导,得 ①2(C-a22)+①(b2x)=0,④2(-az)+①,(c-bz3)=0 ① 因此,z C① 2z +b a④+bd a①,+b0,a 解法1称为公式法,左端函数在对x求偏导数时,要把yz看 成常数,在对y求偏导数时,要把x,看成常数,在对z求偏导数时, 要把x,y看成常数; 解法2是复合函数求导法,等式两边的函数对x或y求导时, 要把看成x,y的函数
解法 2：设u = cx - az, = cy - bz 如将z = f(x, y)代入方程 F(cx - az,cy - bz) = 0 得F(cx - af(x, y),cy - bf(x, y)) = 0， 等式两边分别对 x, y 求导，得 Fu (c - azx ) + Fv (-bzx ) = 0，Fu (-azy ) + Fv (c - bzy ) = 0 因此， u v u x a b c z F + F F = ， u v v y a b c z F + F F = ，a x z ? ? + c y z b = ? ? 解法1称为公式法，左端函数在对x求偏导数时，要把y,z看 成常数,在对y求偏导数时，要把x,z看成常数,在对z求偏导数时， 要把x,y看成常数； 解法2是复合函数求导法，等式两边的函数对x或y求导时， 要把z看成x,y的函数
例5.设 X+y+Z=0 求 dx d x+ y +2 dzdz 解:++1=0, diaz 2x+2y2+2z=0.11 2(y=x) a dz 2x2 ax 2z 2y-y-z dy_2x 2 dz △ △ 从上例可见,对于隐函数(x,y)=0和r(x,y,2)=0两种类型, 用公式法求导比较方便。但对于xy2)=0和xyuv=0 G(x, y, z) 这两种类型,由于公式比较复杂,似乎按复合函数求导的思 路转化成二元一次线性方程组,再用二阶行列式求解要方便 些
例 5．设 1 0 2 2 2 + + = + + = x y z x y z 求 dz dy dz dx , 解： dz dx + dz dy +1=0， 2x dz dx +2y dz dy +2z=0, 2x 2y 1 1 D = =2(y-x) dz dx = D - 2z 2y 1 1 = x y y z - - , dz dy = x y x z z x - - = D - 2 2 1 1 从上例可见，对于隐函数F(x, y) = 0和F(x, y,z) = 0两种类型， 用公式法求导比较方便。但对于 ( , , ) 0 ( , , ) 0 = = G x y z F x y z 和 ( , , , ) 0 ( , , , ) 0 = = G x y u v F x y u v 这两种类型，由于公式比较复杂，似乎按复合函数求导的思 路转化成二元一次线性方程组，再用二阶行列式求解要方便 一些
例6.设 flux,v+ y 其中E,g具有一阶连续偏导数 glu-x,v y 求 2x 解 (xE ou yf ? 9v qu ? 1)1+2vy x92g1 +(②2Vyg2-1) 2x g xix 2x △ 2vyg? (xf12-1)(2vy9 1)f23 ?u_-uf12vyg2-1)-f29??vg(xf12+uf1?-1) △ ?x △ 例7.设y=f(x,t,而t是由方程F(x,y,t)=0 所确定的x,y的函数,其中,F都具有一阶连续偏导数, ofF?f?F 试证明: x?t ?t ?x aX 2fF ?F
例 6．设 ( , ) ( , ) 2 v g u x v y u f ux v y = - = + ，其中f,g 具有一阶连续偏导数， 求 x u ? ? ， x v ? ? 解： x u ? ? =( ) 1 f2 x v f x u u x ? ? + ? ? + ， ( 1 1) 2 uf1 x v f x u xf = - ? ? + ? ? - x v ? ? =( 1) 1 2 g2 x v g vy x u ? ? - + ? ? ， 1 (2 2 1) g1 x v vyg x u g = ? ? + - ? ? 2 1 1 1 2 1 2 ? ? - ? - ? D = g vyg xf f =(xf1 1)(2vyg2 1) f2 g1 ? - ? - - ? ? x u ? ? = D - ? ? - - ? ? uf1 (2vyg2 1) f2 g1 ， x v ? ? = D g1 ?(xf1 ? + uf1 ? - 1) 例 7．设 y = f(x,t)，而t是由方程 F(x, y,t) = 0 所确定的 x, y 的函数，其中f,F 都具有一阶连续偏导数， 试证明： t F y F t f x F t f t F x f dx dy ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? - ? ? ? ? =
例7.设y=f(x,t,而t是由方程F(x,y,t) 所确定的x,y的函数,其中f,F都具有一阶连续偏导数, 2f?f?F 试证明:y ?x ?t ?t ?x dx fF 证:由y=f(x,t)可得=+t1,由(x,y,b)=0可得 dx F+ F +E,+Et=0,则t x dx F F+F 这 X txy dx dx 2f?F ?f?F ?x ?t ?t ?x dx of?F F
例 7．设 y = f(x,t)，而t是由方程 F(x, y,t) = 0 所确定的 x, y 的函数，其中f,F 都具有一阶连续偏导数， 试证明： t F y F t f x F t f t F x f dx dy ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? - ? ? ? ? = 证：由 y = f(x,t)可得 dx dy =fx + ft tx ，由F(x, y,t) = 0可得 x + y + Ft tx = 0 dx dy F F ，则tx = t x y F dx dy F + F - dx dy =fx + ft ( t x y F dx dy F + F - )= t x t t x t y F dx dy f F - f F - f F t F y F t f x F t f t F x f dx dy ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? - ? ? ? ? =
隐函数满足什么条件才存在显函数? 三个隐函数存在定理) F(xy)=0型(隐函数存在定理1), 设r(x,y在点P(xy)的某一邻域内具有连续偏导数, 且F(xn,y0)=0,F,(x,yo)?0, 则方程r(x,y)=0在点P(xn,y)的某一邻域内 恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数y=f(x), 它满足条件y0=f(x0) 2.F(x,y,z)=0型(隐函数存在定理2),见P。38-39 3.F(x,y,u,v)=0,c(x,y,u,v)=0型(隐函数存在定理3) 见P。40
二．隐函数满足什么条件才存在显函数？ （三个隐函数存在定理） 1．F(x, y) = 0 型 （隐函数存在定理 1）， 设F(x, y)在点P(x0 , y0 )的某一邻域内 具有连续偏导数， 且F(x0 , y0 ) = 0，Fy (x0 , y0 ) ? 0， 则方程 F(x, y) = 0在点P(x0 , y0 )的某一邻域内 恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数y = f(x)， 它满足条件 y0 = f(x0 ) 2．F(x, y,z) = 0 型（隐函数存在定理 2），见P。38—39 3．F(x, y,u,v) = 0,G(x, y,u,v) = 0型（隐函数存在定理 3）， 见 P。40