第二节偏导数 偏导数的定义及其计算法 偏导数的定义与导数的定义有类似的地方,要注意两者的 相同之处与不同之处 lim f(x0+△x)-f(x0) 称函数y=f(x)在点x的导 dx △x?O △x 数。 lim f(xo+ Ax, yo)-f(xo, yo △x?0 △x 称函数z=f(x,y)在点(xo,y处对x的偏导数 也可记作或=,(xny0),(xn,y ? 函数z=f(x,y)在点(x,y)处对y的偏导数,可类似地定义和 表示
第二节 偏导数 一．偏导数的定义及其计算法 偏导数的定义与导数的定义有类似的地方，要注意两者的 相同之处与不同之处。 x x0 dx dy = = 0 lim Dx ? x f x x f x D ( 0 + D ) - ( 0 )称函数 y = f(x)在点x0 的导 数。 0 0 y y x x x z = ? = ? = 0 lim Dx ? x f x x y f x y D ( 0 + D , 0 ) - ( 0 , 0 ) 称函数z = f(x, y)在点(x0 ,y0 )处对x 的偏导数 ，也可记作 0 0 y y x x x f = ? = ? 或zx (x0 , y0 ),fx (x0 , y0 ) 函数z = f(x, y)在点(x0 ,y0 )处对y 的偏导数，可类似地定义和 表示
如果在上述定义中,将点。,y。换成(x,y),可得函数=r(x,y) 分别对x及y的偏导函数的定义。习惯上仍称偏导函数为偏 导数,称偏导数为偏导数在某点的值。 由于在多元函数偏导数的计算中,实际上只有一个自变量在变动, 其余自变量都是固定的,所以求偏导数时只要把其余的自变量 暂时看成常量,具体方法是与一元函数的求导完全类似的。 例1求二元函数z=sin(xy)+cs2(xy)分别关于变量x和 变量y的偏导数和偏导数在点0,x)的值。 解: y cos(xy)- 2y cos(xy)sin(xy)= y cos(xy)[1-2 sin(xy) x cOS(xy)- 2x cos(xy)sin(xy)= x cos(xy)[1-2 sin(xy)] z,(0,-)=0
如果在上述定义中，将点(x0 ,y0 )换成(x, y)，可得函数z = f(x, y) 分别对x 及y 的偏导函数的定义。习惯上仍称偏导函数为偏 导数，称偏导数为偏导数在某点的值。 由于在多元函数偏导数的计算中,实际上只有一个自变量在变动， 其余自变量都是固定的，所以求偏导数时只要把其余的自变量 暂时看成常量，具体方法是与一元函数的求导完全类似的。 例 1 求二元函数 sin( ) cos( ) 2 z = xy + xy 分别关于变量 x和 变量 y 的偏导数和偏导数在点 ) 2 (0, p 的值。 解： zx = y cos(xy) - 2y cos(xy)sin(xy) = y cos(xy)[1 - 2 sin(xy)] zy = x cos(xy) - 2x cos(xy)sin(xy) = x cos(xy)[1 - 2 sin(xy)] ) 2 (0, p zx = 2 p ， ) 2 (0, p zy =0
例2.求三元函数a=x2(x>0,x?1分别关于变量x,y,z 的偏导数 y 解:u.=yx 1 y y x21nxy,=(-)x21n 例3.设z=e,求证:x22+y22=2 证 9z ?z 1 e y 2 2z,证毕 ox 偏导数的几何意义 对于一元函数y=f(x)在点x0的导数?x),其几何意义 为曲线y=f(x)过点(x0,yo)的切线的斜率
例 2．求三元函数 z y u = x (x > 0,x ? 1)分别关于变量 x,y,z 的偏导数 解： -1 = z y x x z y u ，uy = z 1 z y x ln x ，uz = x x z y z y ( ) ln 2 - 例 3．设 , ) 1 1 ( x y z e - + = 求证： z y z y x z x 2 2 2 = ? ? + ? ? 证： x z ? ? = ) 1 1 ( 2 1 x y e x - + ， y z ? ? = 2 1 y ) 1 1 ( x y e - + ， \ 2 x x z ? ? + 2 y y z ? ? =2 ) 1 1 ( x y e - + =2z,证毕 二．偏导数的几何意义 对于一元函数 y = f(x)在点x0的导数f(?x0 )，其几何意义 为曲线 y = f(x)过点(x0 ,y0 )的切线的斜率
下面讨论二元函数z=x(x,y)在点(x,y)对变量x的偏 导数的几何意义: 设x)为曲面=-y上的一点,过点作 平面y=y,截此曲面得曲线,其方程为z=x(x,y),那 末一元函数的导数 dz df(x,y =f2(xo,y),而前者表示曲线 dx X-Xo 过点 (x,y0)的切线对x轴的斜率,因此偏导数(xo,yo)的几何意 义是曲面z=f(x,y)被平面y=y所截得的曲线在点M。处 的切线对x轴的斜率。同理,偏导数f,(x。,y)的几何意义 是曲面z=x(x,y)被平面x=x0所截得的曲线在点M。处的 切线对y轴的斜率
下面讨论二元函数z = f(x, y)在点(x0 , y0 )对变量 x的偏 导数的几何意义 : 设 M0 (x0 , y0 ,f(x0 , y0 ))为曲面z = f(x, y)上的一点，过 M0 作 平面 y = y0，截此曲面得曲线，其方程为 z = f(x, y0 )，那 末一元函数的导数 x x0 dx dz = = 0 ( , 0 ) dx x x df x y = =fx (x0 ,y0 )，而前者表示曲线 z = f(x, y0 ) 过点 (x0 , y0 )的切线对 x 轴的斜率，因此偏导数fx (x0 , y0 )的几何意 义是曲面 z = f(x, y)被平面 y = y0所截得的曲线在点 M0 处 的切线对 x 轴的斜率。同理，偏导数 fy (x0 , y0 )的几何意义 是曲面 z = f(x, y)被平面 x = x0所截得的曲线在点 M0 处的 切线对 y 轴的斜率
例4.曲线2=4在点(2,4,5)处的切线对于x轴 的倾角是多少? 解:根据偏导数的几何意义,所求夹角的正切 为 X z(2,4)= 4 (另一种做法是在平面y=4上,曲线的方程为z=+4, 4 切线对于x轴的倾角的斜率是tan0=2=1,=z) aX 化对于一元函数,如果在某点可导,必定在该点连续。下 面讨论对于二元函数,函数在某点“偏导数存在”与在该点 “连续“两者之间有没有必然联系?
例 4．曲线 4 4 2 2 = + = y x y z 在点（2，4，5）处的切线对于 x 轴 的倾角是多少？ 三．化对于一元函数，如果在某点可导，必定在该点连续。下 面讨论对于二元函数，函数在某点“偏导数存在”与在该点 “连续“两者之间有没有必然联系？ 解： 根据偏导数的几何意义，所求夹角的正切 为 1 2 (2,4) 2 = = x = x x z ， 4 p \ q = （另一种做法是在平面 y=4 上，曲线的方程为 4 4 2 = + x z ， 切线对于 x 轴的倾角的斜率是tan q = dx x =2 dz =1， 4 p \ q = ）
例5.设r(x,y)=x2+y2 +y2? 求偏导数f.00和 0,x2+ 0 E,0.0,并判定该函数在点(0,0)是否连续? 解:由前面讨论可知,点(0,0)是函数r(x,y)的间断点。 lim f(0,0)= f(0+Ax,0)-f00=0 △x?0 △ 11m f,(0,0)= f(0,0+△y)-f(0,0) △y?0 △ 因此,对于二元函数,在某点偏导数存在不能保证在该点 连续。通过其它实例还能说明二元函数在某点连续同样不 能保证在该点偏导数存在。 因此二元函数在某点连续与二元函数在某点偏导数存在是两 个互不关联的概念
解：由前面讨论可知，点（0，0）是函数f(x, y)的间断点。 fx (0,0)= 0 lim Dx ? x f x f D (0 + D ,0) - (0,0) =0 fy (0,0)= 0 lim Dy ? y f y f D (0,0 + D ) - (0,0) =0 因此，对于二元函数，在某点偏导数存在不能保证在该点 连续。通过其它实例还能说明二元函数在某点连续同样不 能保证在该点偏导数存在。 例 5．设 f(x, y)= 0, 0 , 0 2 2 2 2 2 2 + = + ? + x y x y x y xy ，求偏导数 fx (0,0)和 fy (0,0)，并判定该函数在点（ 0，0）是否连续？ 因此二元函数在某点连续与二元函数在某点偏导数存在是两 个互不关联的概念
究其原因,可以这样分析:由一元函数的讨论可知,函数可导 比函数连续的要求高,因此函数在某点连续不能保证函数在该 点的偏导数存在;由二元函数的讨论可知,连续是某点邻域内 各方位共有的性质,而偏导数存在,只是x轴和y轴方向的性质 因此,函数在某点偏导数存在也不能保证函数在该点连续。 四.高阶偏导数 设函数z=f(x,y)关于变量x和变量y的一阶偏导数为 f(x,y),f,(x,y),如果这两个函数的偏导数也存在,则称 fx(x, y), ??z ) f(x, y) 为函数z=(x,y)的二阶偏导数(共有四个)
究其原因，可以这样分析：由一元函数的讨论可知，函数可导 比函数连续的要求高，因此函数在某点连续不能保证函数在该 点的偏导数存在；由二元函数的讨论可知，连续是某点邻域内 各方位共有的性质，而偏导数存在，只是x轴和y轴方向的性质。 因此，函数在某点偏导数存在也不能保证函数在该点连续。 四．高阶偏导数 设函数z = f(x, y)关于变量 x 和变量 y 的一阶偏导数为 fx (x, y),fy (x, y),如果这两个函数的偏导数也存在，则称 ( ) f (x, y) x z x = xx ? ? ? ? ， ( ) f (x, y) x z y = xy ? ? ? ? ( ) f (x, y) y z x = yx ? ? ? ? ， ( ) f (x, y) y z y = yy ? ? ? ? 为函数z = f(x, y)的二阶偏导数（共有四个）
关于函数z=f(x,y)的三阶,四阶,。。a阶偏导数的定义 依次类推。二阶及二阶以上偏导数统称高阶偏导数。高阶 偏导数的计算与一阶偏导数的计算完全类似。 例6.设z=x1n(xy),求z(x,y)和z(x,y) HF: 2.(x, y)= In(xy)+x?y=1+ In(xy) xy Z(x, y) y)=0,z( 例7.证明函数a=1满足拉普拉斯方程?+ -u1 其中x X
关于函数z = f(x, y)的三阶，四阶，。。。，n 阶偏导数的定义 依次类推。二阶及二阶以上偏导数统称高阶偏导数。高阶 偏导数的计算与一阶偏导数的计算完全类似。 例 6．设z = x ln(xy),求z xxy (x,y)和z xyy (x,y) 解： ( , ) ln( ) 1 ln(xy) xy y zx x y = xy + x ? = + x zxx x y 1 ( , ) = ，zxxy (x, y)=0，zxy (x, y)= y 1 ，zxyy (x, y)= 2 1 y - 例 7．证明函数 r u 1 = 满足拉普拉斯方程 2 2 x u ? ? + 2 2 y u ? ? + 2 2 z u ? ? =0， 其中 2 2 2 r = x + y + z
例7.证明函数n=1满足拉普拉斯方程2+20+ =0 ?x2? 其中x=√x2+y2+z2 证 Qu ?r or ?x ?r x? 3r 1 3x 由函数自变量的对称性可得 =1+y,2=-1+32,因此+2+22=0 9z ox 称f(x,y)和f(x,y)为函数z=f(x,y)的二阶混合偏导数, 可以证明:如果两个二阶混合偏导数在区域D内连续,那 末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等,即二阶混合 偏导数在连续的条件下与求导的次序无关
例 7．证明函数 r u 1 = 满足拉普拉斯方程 2 2 x u ? ? + 2 2 y u ? ? + 2 2 z u ? ? =0， 其中 2 2 2 r = x + y + z 证： x r r u x u ? ? ? ? = ? ? = 2 3 ) 1 ( r x r x r - ? = - ， 2 2 x u ? ? = 6 3 2 3 r x r r x r ? ? - ? - = 5 2 3 1 3 r x r - + 由函数自变量的对称性可得 2 2 y u ? ? = 3 1 r - + 5 2 3 r y ， 2 2 z u ? ? = 3 1 r - + 5 2 3 r z ，因此 2 2 x u ? ? + 2 2 y u ? ? + 2 2 z u ? ? =0 称fxy (x, y)和fyx (x, y)为函数z = f(x, y)的二阶混合偏导数， 可以证明：如果两个二阶混合偏导数在区域 D 内连续，那 末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等，即二阶混合 偏导数在连续的条件下与求导的次序无关