荆州职业技术学院：《高职高专应用数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第九章 无穷级数（9.3）幂级数

第三节 幂级数

、函数项级数的一般概念 1.定义 设u1(x),u2(x),…,un(x)是定义在/cR上的 函数则∑un(x)=1(x)+n2(x)+ +L.(x)+ 称为定义在区间I上的(函数项)无穷级数 例如级数∑x=1+x+x2+ H=0

1.定义: 设u1 (x),u2 (x),,un (x),是定义在I  R上的 函数,则       ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 u x u x u x un x n n 称为定义在区间I上的(函数项)无穷级数. 1 , 2 0        x x x n 例如级数 n

2.收敛点与收敛域: 如果x0∈I,数项级数∑un(x)收敛 n=1 则称x为级数∑n(x)的收敛点,否则称为发散点 H=1 函数项级数∑u1(x)的所有收敛点的全体称为收敛域, 所有发散点的全体称为发散域

2.收敛点与收敛域: 如果x  I 0 ,数项级数  1 0 ( ) n n u x 收敛, 则称x0 为级数 ( ) 1 u x n  n   的收敛点, 否则称为发散点. 所有发散点的全体称为发散域. 函数项级数 ( ) 1 u x n  n   的所有收敛点的全体称为收敛域

3.和函数 在收敛域上,函数项级数的和是κ的函数s(x), 称s(x)为函数项级数的和函数 s(x)=1(x)+u2(x)+…+un(x)+…(定义域是?) 函数项级数的部分和记为s(x) 余项记为r(x)=s(x)-sn(x) 那末在收敛域上,Ims(x)=s(x)imr(x)=0 n→0 注意函数项级数在某点x的收敛问题实质上 是常数项级数的收敛问题

lim s (x) s(x) n n   函数项级数的部分和记为 余项记为 r (x) s(x) s (x) n   n 那末在收敛域上， lim ( )  0  r x n n 注意 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上 是常数项级数的收敛问题. 3.和函数: s(x)  u1 (x)  u2 (x)  un (x)  在收敛域上,函数项级数的和是x 的函数s(x), 称s(x)为函数项级数的和函数. (定义域是?) s (x), n

例1求级数∑(1 mn1+-)"的收敛域 解由达朗贝尔判别法 ux n+1 (n→>∞) u(x n+11+x (1)当 1+x 即x>0或x<-2时,原级数绝对收敛

例 1 求级数 n n n n x ) 1 1 ( ( 1) 1      的收敛域. 解 由达朗贝尔判别法 ( ) ( ) 1 u x u x n n n x n     1 1 1 ( ) 1 1     n x 1, 1 1 (1)   x 当 即 x  0或x  2时, 原级数绝对收敛.  1 x  1

例1求级数∑()(,1y的收敛域(续) (2)当,1 >1,→1+x<1 +x 即-2<x<0时,原级数发散 (3)当1+x=1,→x=0或x=-2, 当x=时级数∑(收敛 当x=-2时,级数∑ 1发散 H=1 故级数的收敛域为(-∞,-2)∪[0,+0)

1, 1 1 (2)   x 当  1 x  1, 即 2  x  0时, 原级数发散. 当 x  0时,     1 ( 1) n n n 级数 收敛; 当 x  2时,   1 1 n n 级数 发散; 故级数的收敛域为 (,2)[0,). (3) 当|1 x | 1,  x  0或x  2, 例 1 求级数 n n n n x ) 1 1 ( ( 1) 1      的收敛域. （续）

、幂级数及其收敛性 1.定义:形如∑an(x-x0)”的级数称为幂级数 0 当xn=0时,∑ax",其中为级数系数 2.收敛性: 例如级数∑x"=1+x+x2+ H=0 当x<时,收敛;当x≥1时,发散; 收敛域(-1,1);发散域(-∞,-1112+∞);

1.定义: 形如 n n n a ( x x ) 0  0    的级数称为幂级数. 0 , , 0 0 n n n x a x   当  时 其中 n a 为幂级数系数. 2.收敛性: 1 , 2 0        x x x n 例如级数 n 当 x  1时,收敛; 当 x  1时, 发散; 收敛域(1,1); 发散域(,1][1,);

定理1(Abel定理) 如果级数∑anx”在x=x0(x0≠0)处收敛,则 n=0 它在满足不等式xx0的一切x处发散 证明(1):∑ax收敛 lima,xo=0, n→00

定理 1 (Abel 定理) 如果级数  n0 n n a x 在 ( 0) x  x0 x0  处收敛,则 它在满足不等式 0 x  x 的一切x处绝对收敛; 如果级数  n0 n n a x 在x  x0 处发散,则它在满足 不等式 0 x  x 的一切x 处发散. 证明 lim 0,  0   n n n (1) , a x 0  0 收敛  n n n  a x

日M,使得,x≤M(n=02,) (如果数列的极限存在,则该数列有界) x x 0 n =a.x ≤M 0 0 0 当<时,等比级数∑M收敛 x ∑anx收敛,即级数∑anx绝对收敛 n=0 n=0

( 0,1,2, ) a x0  M n   n 使得 n  M, n n n n n n x x a x a x 0 0   n n n x x a x 0 0   n x x M 0  1 , 0 当  时 x x  , 0 0 等比级数 收敛 n n x x  M   , 0  收敛    n n n a x （如果数列的极限存在，则该数列有界） 即级数 绝对收敛  n0 n n a x

(2)假设当x=x时发散, 而有一点x1适合x1>x使级数收敛, 由(1)结论则级数当x=x时应收敛 这与所设矛盾 几何说明 收敛区域 发散区域R发散区域

(2) , 假设当x  x0时发散 而有一点 1 x 适合 1 0 x  x 使级数收敛, 则级数当 0 x  x 时应收敛, 这与所设矛盾. 由(1)结论 x o             R R 几何说明 收敛区域 发散区域 发散区域