级数的概念及其性质 我们在中学里已经遇到过级数一一等差数列与等比数列,它们都属于项数为有限的特殊情形。下 面我们来学习项数为无限的级数,称为无穷级数 无穷级数的概念 设已给数列a,a2,…,a,…把数列中各项依次用加号连接起来的式子an+a2+…+an+…称为无穷 级数,简称级数.记作 ∑a a1+a+…+at+…,数列的各项a,a2,…称为级 数的项,an称为级数的通项 取级数最前的一项,两项,…,n项,…相加,得一数列S1=a1,S=a+a,…,Sa=a1+a2+…+an, 这个数列的通项Sn=a1+a2+…+an称为级数x-1的前n项的部分和,该数列称为级数的部分和数 列 lim s= s 如果级数的部分和数列收敛:→ 那末就称该级数收敛,极限值S称为级数的和 例题:证明级数:2减0+)12+23+34+、x和”的和是1 122.33.4 x(+1) 11 证明 y+1 当n→∞时,Sn→1.所以级数的和是1 级数的性质 1级数收敛的必要条件,收敛的级数∑4,的通项当n一时趋于零,即,如40 注意:此条件只是级数收敛的必要条件,而不是充分条件 a,=2→0 例如:级数 M虽然在n→∞时,通项M 数却是发散的 此级数为调和级数,在此我们不加以证明 2如果级数∑a收敛而它的和是S,那末每一项乘上常数c后所得到的级数∑a,也是收敛 的,而且它的和是cS如果Σax发散,那末当c≠0时∑a也发散
级数的概念及其性质 我们在中学里已经遇到过级数——等差数列与等比数列，它们都属于项数为有限的特殊情形。下 面我们来学习项数为无限的级数，称为无穷级数。 无穷级数的概念 设已给数列 a1,a2,…,an,…把数列中各项依次用加号连接起来的式子 a1+a2+…+an+…称为无穷 级数，简称级数.记作： 或 ，即： =a1+a2+…+an+…，数列的各项 a1,a2,…称为级 数的项，an 称为级数的通项. 取级数最前的一项，两项，…，n 项，…相加，得一数列 S1=a1，S2=a1+a2，…，Sn=a1+a2+…+an，… 这个数列的通项 Sn=a1+a2+…+an 称为级数 的前 n 项的部分和，该数列称为级数的部分和数 列。 如果级数的部分和数列收敛： ，那末就称该级数收敛，极限值 S 称为级数的和。 例题：证明级数： 的和是 1. 证明： 当 n→∞时，Sn→1.所以级数的和是 1. 级数的性质 1.级数收敛的必要条件：收敛的级数 的通项 a n 当 n→∞时趋于零，即： 注意：此条件只是级数收敛的必要条件，而不是充分条件。 例如：级数 虽然在 n→∞时，通项 ，级数却是发散的。 此级数为调和级数，在此我们不加以证明。 2.如果级数 收敛而它的和是 S，那末每一项乘上常数 c 后所得到的级数 ，也是收敛 的，而且它的和是 cS.如果 发散，那末当 c≠0 时 也发散
3两个收敛的级数可以逐项相加或相减。4在任何收敛的级数中,不改变连在一起的有限项的 次序而插入括号,所得的新级数仍收敛,其和不变 注意:无限项的所谓和是一种极限,与有限项的和在本质上是有区别的。 5.在一个级数的开头添入或去掉有限个项并不影响这个级数的收敛或发散 正项级数的收敛问题 对于一个级数,我们一般会提出这样两个问题:它是不是收敛的?它的和是多少?显然第一个问 题是更重要的,因为如果级数是发散的,那末第二个问题就不存在了。下面我们来学习如何确定 级数的收敛和发散问题 我们先来考虑正项级数(即每一项an≥0的级数)的收敛问题。 判定正项级数敛散性的基本定理 定理:正项级数x-1收敛的充分与必要条件是部分和Sn上有界如果Sn上无界,级数x-1发 散于正无穷大 例女 如:p级数 ,当p>1时收敛,当p≤1时发散。 注意:在此我们不作证明 正项级数的审敛准则 准则一:设有两个正项级数∑ax及2b,而且asbm=1.2.)如果∑与收敛,那末∑a也 收敛:如果∑an发散,那末∑b也发散 例如:级数n223+X x2是收敛的,因为当n>1时,有n2≤2”,而等 级数2是收敛的 准则二:设有两个正项级数2a与E,如果令孔≠0 那末这两个级数或者同时收敛, 或者同时发散。 关于此准则的补充问题 a 如果 那末当∑收敛时,∑a也收敛:如果b,那末当∑发散时, ∑an也发散 lim tan 例如: 是收敛的因为 ,而n是收敛的
3.两个收敛的级数可以逐项相加或相减。4.在任何收敛的级数中，不改变连在一起的有限项的 次序而插入括号，所得的新级数仍收敛，其和不变。 注意：无限项的所谓和是一种极限，与有限项的和在本质上是有区别的。 5.在一个级数的开头添入或去掉有限个项并不影响这个级数的收敛或发散。 正项级数的收敛问题 对于一个级数，我们一般会提出这样两个问题：它是不是收敛的？它的和是多少？显然第一个问 题是更重要的，因为如果级数是发散的，那末第二个问题就不存在了。下面我们来学习如何确定 级数的收敛和发散问题。 我们先来考虑正项级数(即每一项 a n≥0 的级数）的收敛问题。 判定正项级数敛散性的基本定理 定理：正项级数 收敛的充分与必要条件是部分和 Sn 上有界.如果 Sn 上无界，级数 发 散于正无穷大。 例如：p 级数： ，当 p>1 时收敛，当 p≤1 时发散。 注意：在此我们不作证明。 正项级数的审敛准则 准则一：设有两个正项级数 及 ，而且 a n≤bn(n=1,2,…）.如果 收敛，那末 也 收敛；如果 发散，那末 也发散. 例如：级数 是收敛的，因为当 n>1 时，有 ≤ ，而等比 级数 是收敛的 准则二：设有两个正项级数 与 ，如果 那末这两个级数或者同时收敛， 或者同时发散。 关于此准则的补充问题 如果 ，那末当 收敛时， 也收敛；如果 ，那末当 发散时， 也发散. 例如： 是收敛的.因为 ，而 是收敛的
注意:以上这两个准则来判定一个已知级数的敛散性,都需要另选一个收敛或发散的级数,以 资比较下面我们来学习两个只依赖于已知级数本身的审敛准则 lin 准则三:设有正项级数∑a,如果极限 存在,那末当λ1时级 数收敛 意:此准则就是达朗贝尔准则这种判定方法称为检比法 例如:级数123是收敛的,因为当n→∞时 an+l 2>1 y+1n+ Vax=a 准则四(柯西准则):如果极限x 存在,那末当1级数∑a 发散 例如,级数”是发故的,因为当n一时,4”=mx3→ 一般常数项级数的审敛准则 当级数中的正数项与负数项均为无穷多时,就称级数为一般常数项级数 绝对收敛与条件收敛 设有一般常数项级数 a1+2+…+a+ 取各项的绝对值所构成的级数 +k2 +……++ 称为对应于原级数的绝对值级数 绝对收敛的准则:如果对应的绝对值级数收敛,那末原级数也收敛 注意:此时称1+a2t+a+“为绝对收敛, 如果级数+p+…+k+”发故而级数1+a2+…+a2 则称1ta2++aa+“为条件收斂 关于绝对收敢与条件收敛的问题 个绝对收敛级数的正数项与负数项所组成的级数都是收敛的 个条件收敛级数的正数项与负数项所组成的级数都是发散的 例题:证明:当1时,级数an2为一绝对收敛级数
注意：以上这两个准则来判定一个已知级数的敛散性，都需要另选一个收敛或发散的级数，以 资比较.下面我们来学习两个只依赖于已知级数本身的审敛准则. 准则三：设有正项级数 .如果极限 存在，那末当 λ＜1 时级数收敛，λ＞1 时级 数收敛. 注意：此准则就是达朗贝尔准则.这种判定方法称为检比法. 例如： 级 数 是 收 敛 的 ， 因 为 当 n→∞ 时 ， . 准则四(柯西准则)：如果极限 存在，那末当 λ＜1 级数 收敛，λ＞1 级数 发散. 例如：级数 是发散的，因为当 n→∞时， 一般常数项级数的审敛准则 当级数中的正数项与负数项均为无穷多时，就称级数为一般常数项级数. 绝对收敛与条件收敛 设有一般常数项级数 取各项的绝对值所构成的级数 称为对应于原级数的绝对值级数. 绝对收敛的准则：如果对应的绝对值级数收敛，那末原级数也收敛. 注意：此时称 为绝对收敛， 如果级数 发散而级数 收敛， 则称 为条件收敛。 关于绝对收敛与条件收敛的问题 一个绝对收敛级数的正数项与负数项所组成的级数都是收敛的； 一个条件收敛级数的正数项与负数项所组成的级数都是发散的。 例题：证明：当 λ>1 时，级数 为一绝对收敛级数
nX 证明:因为n1≤n2而当x>1时x1n收敛,故级数x 收敛,从而级数力 绝 对收敛 交错级数与它的审敛准则 交错级数就是任一相邻的两项都是符号相反的数,它是一般常数项级数的一种特殊级数 交错级数可以写成:x 交错级数的审敛准则(菜布尼兹准则) >a>a2>…>a> lim a =0 如果 且 那末级数(D40收敛 例如:交错级数234是收敛的,因为它满足莱布尼兹准则的两个条件 函数项级数、幂级数 在自然科学与工程技术中运用级数这一工具时,经常用到不是常数项的级数,而是函数项的级数 而常数项级数是研究函数项级数的基础 函数项级数的概念 设有函数序列,f1(功12(,3(x)…J2(功…,其中每一个函数都在同一个区间上有定义 ∑∫(x)=f1()+∫2(x+3(x+…+∫(x) 那末表达式x1 称为定义在I上的函数项级数 下面我们来学习常见而应用广泛的一种具有如下形式的函数项级数 C0+a1x+C2x-+c3x+…+c2x2+…=cnx 它们的各项都是正整数幂的幂函数这种级数称为幂级数,其中c(n=0,1,2,)均为常数 显然,当上面级数中的变量x取定了某一个值x0时,它就变为一个常数项级数 幂级数的收敛问题 与常数项级数一样,我们把5(x)=C0+1x+c2x2+…+x2称为幂级数的部分和。如果这部 分和当n→时对区间I中的每一点都收敛,那末称级数在区间收敛。此时s(x)的极限是定义 s(x)=cnx 在区间I中的函数,记作:sx).这个函数s(x)称为级数的和函数,简称和,记作 对于幂级数,我们关心的问题仍是它的收敛与发散的判定问题,下面我们来学习关于幂级数的 收敛的判定准则。 幂级数的审做准则
证明：因为 ≤ 而当 λ>1 时 收敛，故级数 收敛，从而级数 绝 对收敛. 交错级数与它的审敛准则 交错级数就是任一相邻的两项都是符号相反的数，它是一般常数项级数的一种特殊级数. 交错级数可以写成： 交错级数的审敛准则(莱布尼兹准则)： 如果 且 ，那末级数 收敛. 例 如 ：交错级 数 是收敛的 ，因为 它满足 莱布 尼兹准 则的两 个条 件： 及 函数项级数、幂级数 在自然科学与工程技术中运用级数这一工具时，经常用到不是常数项的级数，而是函数项的级数. 而常数项级数是研究函数项级数的基础。 函数项级数的概念 设有函数序列， ，其中每一个函数都在同一个区间 I 上有定义， 那末表达式 称为定义在 I 上的函数项级数。 下面我们来学习常见而应用广泛的一种具有如下形式的函数项级数： 它们的各项都是正整数幂的幂函数.这种级数称为幂级数，其中 cn(n=0,1,2,…)均为常数. 显然，当上面级数中的变量 x 取定了某一个值 x0 时，它就变为一个常数项级数。 幂级数的收敛问题 与常数项级数一样，我们把 称为幂级数的部分和。如果这部 分和当 n→∞时对区间 I 中的每一点都收敛，那末称级数在区间 I 收敛。此时 sn(x)的极限是定义 在区间 I 中的函数，记作:s(x). 这个函数 s(x)称为级数的和函数，简称和，记作： 对于幂级数，我们关心的问题仍是它的收敛与发散的判定问题，下面我们来学习关于幂级数的 收敛的判定准则。 幂级数的审敛准则
准则:设有幂级数x-0 如果极限”/P 那末,当冈时,幂级数发散,其中R可以是零,也可以是 由上面的准则我们可知:幂级数的收敛区间是关于原点对称的区间<R 在这个区间内级数 收敛,在这个区 间外级数发散区间<R 称为幂级数的收敛区间,简称区。正数R为幂级数的收做半径 关于此审敛准则问题 讨论幂级数收敛的问题主要在于收敛半径的寻求。当 时,级数的敛散性不能由准则来判 定,需另行讨论。 例题:求幂级数2.53.5 的收敛区间. 解答:该级数的收敛半径为 R= lim 所以此幂级数的敛区是(-5,5) 在x=5与x=5,级数分别为23 234前者发散,后者收敛 故级数的收敛区间是[-5,5) 幂级数的性质 axx" 2bmX 性质1:设有两个幂级数 与 ,如果 =f1(x),-R1<x<R =f2(x),-R2<x<R2 (ax±bn)x2 =f1(xf2(x),-R<X<R其中R=min(R1R2) 性质2:幂级数80的和S(x)在敛区内时连续的
准则：设有幂级数 .如果极限 ，那末，当 时，幂级数收敛，而且绝 对收敛；当 时，幂级数发散，其中 R 可以是零，也可以是+∞. 由上面的准则我们可知：幂级数的收敛区间是关于原点对称的区间 .在这个区间内级数 收敛，在这个区 间外级数发散.区间 称为幂级数的收敛区间，简称敛区。正数 R 为幂级数的收敛半径. 关于此审敛准则问题 讨论幂级数收敛的问题主要在于收敛半径的寻求。当 时，级数的敛散性不能由准则来判 定，需另行讨论。 例题：求幂级数 的收敛区间. 解答：该级数的收敛半径为： 所以此幂级数的敛区是（-5，5）. 在 x=5 与 x=-5，级数分别为 前者发散，后者收敛. 故级数的收敛区间是[-5,5) 幂级数的性质 性质 1：设有两个幂级数 与 ，如果 =f1(x)，-R1<x<R1 =f2(x)，-R2<x<R2 则 =f1(x)±f2(x)，-R<x<R 其中 R=min(R1,R2) 性质 2：幂级数 的和 s(x)在敛区内时连续的
性质3:幂级数0的和S(x)在敛区内的任一点均可导,且有逐项求导公式 s(x)=c1+22x+3x2…+mC2x2=2 求导后的幂级数与原级数有相同的收敛半径 性质4:幂级数x0的和S(x)在敛区内可以积分,并且有逐项积分公式 5x)-5ax+2x+…+5xa+…=∑2,x1 积分后所得的幂级数与原级数有相同的收敛半径 由以上这些性质可知:幂级数在其敛区内就像普通的多项式一样,可以相加相减可以逐项求导, 逐项积分 函数的幂级数展开式 通过前面的学习我们看到,幂级数不仅形式简单,而且有一些与多项式类似的性质。而且我们还 发现有一些可以表示成幂级数。为此我们有了下面两个问题 问题1:函数f(x)在什么条件下可以表示成幂级数 f(x)=c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+…+c2(x-a)2+… 问题2:如果f(x)能表示成如上形式的幂级数,那末系数cn(n=0,12,3,)怎样确定? 下面我们就来学习这两个问题。 泰勒级数 我们先来讨论第二个问题假定f(x)在a的邻区内能表示成 f(x)=+1(x-O)+(2(x-a)+…+2(x-)+这种形式的幂级数,其中a是事先给定某 常数,我们来看看系数cn与f(x)应有怎样的关系。 由于f(x)可以表示成幂级数,我们可根据幂级数的性质,在x=a的邻区内f(x)可任意阶可导 对其幂级数两端逐次求导。得: f(x)=c1+2(x-a)+33(x-a02+… f"x)=2C2+3c3(x-a)+ 在f(x)幂级数式及其各阶导数中,令x=a分别得 =f(a),=f'a, c2=-f(a,,c,==()(a)
性质 3：幂级数 的和 s(x)在敛区内的任一点均可导，且有逐项求导公式： = 求导后的幂级数与原级数有相同的收敛半径。 性质 4：幂级数 的和 s(x)在敛区内可以积分，并且有逐项积分公式： 积分后所得的幂级数与原级数有相同的收敛半径。 由以上这些性质可知：幂级数在其敛区内就像普通的多项式一样,可以相加,相减,可以逐项求导, 逐项积分。 函数的幂级数展开式 通过前面的学习我们看到，幂级数不仅形式简单，而且有一些与多项式类似的性质。而且我们还 发现有一些可以表示成幂级数。为此我们有了下面两个问题： 问 题 1 ： 函 数 f(x) 在什么条件下可以表示成幂级数 ； 问题 2：如果 f(x)能表示成如上形式的幂级数，那末系数 cn(n=0,1,2,3,…)怎样确定？ 下面我们就来学习这两个问题。 泰勒级数 我们先来讨论第二个问题.假定 f(x)在 a 的邻区内能表示成 这种形式的幂级数，其中 a 是事先给定某一 常数，我们来看看系数 cn 与 f(x)应有怎样的关系。 由于 f(x)可以表示成幂级数，我们可根据幂级数的性质，在 x=a 的邻区内 f(x)可任意阶可导. 对其幂级数两端逐次求导。得： ， ， ……………………………………………… ， ……………………………………………… 在 f(x) 幂 级 数 式 及 其 各 阶 导 数 中 ， 令 x=a 分别得：
把这些所求的系数代入f(x=0+1(x-a+(x-2+…+2(x-)0+…得 f(x)=f(+∫ta(x-a)+a(x-2)+…x<(a)(a(x 该式的右端的幂级数称为f(x)在x+a处的泰勒级数 关于泰勒级数的问题 上式是在f(可以展成形如f(x)=0+2(x-a)+2(x-a)+…+2(x-)+…的幂级数的假 定下得出的实际上,只要f(x)在x=a处任意阶可导,我们就可以写出函数的泰勒级数 问题:函数写成泰勒级数后是否收敛?是否收敛于f(x)? 函数写成泰勒级数是否收敛将取决于f(x)与它的泰勒级数的部分和之差 r2(=f(x)-[f(a+fta(x-a)+2( x-2)-+… y(x-a)” 是否随n→+∞而趋向于零如果在某一区间1中有(x)=0x∈r 那末f(x)在x=a处的泰 勒级数将在区间I中收敛于f(x)。此时,我们把这个泰勒级数称为函数f(x)在区间I中的泰勒展 开式 泰勒定理 设函数f(x)在x=a的邻区内n+1阶可导,则对于位于此邻区内的任一x,至少存在一点cc在a 与x之间,使得 f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+ h(x-a)2+”2(x)其中”()= 此公式也被称为泰勒公式。(在此不加以证明) 在泰勒公式中,取a=0,此时泰勒公式变成 f(x)-f(0)+y0x+10,x2+ (+1) 其中c在0与x之间 此式子被称为麦克劳林公式 函数f(x)在x=0的泰勒级数称为麦克劳林级数当麦克劳林公式中的余项趋于零时,我们称相 应的泰勒展开式为麦克劳林展开式 f(x)=()+f0x+3++ 即 几种初等函数的麦克劳林的展开式 1指数函数ex x=1+x+-+…+-+…,-00<x<+0 2正弦函数的展开式
把这些所求的系数代入 得： 该式的右端的幂级数称为 f(x)在 x+a 处的泰勒级数. 关于泰勒级数的问题 上式是在 f(x)可以展成形如 的幂级数的假 定下得出的.实际上，只要 f(x)在 x=a 处任意阶可导，我们就可以写出函数的泰勒级数。 问题：函数写成泰勒级数后是否收敛？是否收敛于 f(x)？ 函数写成泰勒级数是否收敛将取决于 f(x)与它的泰勒级数的部分和之差 是否随n→＋∞而趋向于零.如果在某一区间I 中有 那末f(x)在x=a 处的泰 勒级数将在区间 I 中收敛于 f(x)。此时，我们把这个泰勒级数称为函数 f(x)在区间 I 中的泰勒展 开式. 泰勒定理 设函数 f(x)在 x=a 的邻区内 n+1 阶可导，则对于位于此邻区内的任一 x，至少存在一点 c,c 在 a 与 x 之间，使得： 此公式也被称为泰勒公式。(在此不加以证明） 在泰勒公式中，取 a=0，此时泰勒公式变成： 其中 c 在 0 与 x 之间 此式子被称为麦克劳林公式。 函数 f(x)在 x=0 的泰勒级数称为麦克劳林级数.当麦克劳林公式中的余项趋于零时，我们称相 应的泰勒展开式为麦克劳林展开式. 即： 几种初等函数的麦克劳林的展开式 1.指数函数 e x 2.正弦函数的展开式
nx=x-33-丌1+“+(D1x21 x3 x5 x? +…,-∞<x<+o 3函数(1+x严的展开式 (1+x)=1+mx+m-1)2+…+(m-1)…(m-n+1)x2+
3.函数(1+x)m的展开式