实验四用 Mathematica软件作导数应用 实验目的 1.掌握用 Mathematica软件作求函数极大值和极小值的语句和方法 2.熟悉软件在建模中应用 实验过程与要求 教师利用多媒体组织教学,边讲边操作示范 实验的内容 求函数的极小值 在 Mathematica系统中用 FindMinimum函数求函数的极小值,基本格式为: FindMinimum [ftx],x, x0J 其中0为初始值,表示求出的是fx]在0附近的极小值.因此,一般需借 助于Plot函数先作出函数的图像,由图像确定初始值,再利用 Findminimum求 出fx在x0附近的极小值 实验1求y=e2sinx的极小值 AH In[1]: =y=Exp[-x/2]Sin[x] Plot[y,{x,-5,6}] FindMinimum[y, x,-3] 图像如图 、求函数的极大值 因为函数x]的图像与函数-fx]的图像关于x轴是对称的,f[x]取得极大 值时,一f[x]正好取得极小值,因此仍用 Findminimum函数求函数的极大值,基 本格式为 FindMinimum [-flxl,x, x01 其中A0为初始值,表示求出的是-fx]在x0附近的极小值,设为W,实际 上间接地求出了f[x]在x附近的极大值,为
实验四 用 Mathematica 软件作导数应用 实验目的: 1. 掌握用 Mathematica 软件作求函数极大值和极小值的语句和方法。 2. 熟悉软件在建模中应用 实验过程与要求: 教师利用多媒体组织教学,边讲边操作示范。 实验的内容: 一、求函数的极小值 在 Mathematica 系统中用 FindMinimum 函数求函数的极小值，基本格式为： FindMinimum [f[x],{x,x0}] 其中 x0 为初始值，表示求出的是 f[x]在 x0 附近的极小值.因此，一般需借 助于 Plot 函数先作出函数的图像，由图像确定初始值，再利用 FindMinimum 求 出 f[x]在 x0 附近的极小值. 实验 1 求 y e x x sin 2 − = 的极小值. 解 In[1]:= y=Exp[-x/2]Sin[x] Plot[y,{x,-5,6}] FindMinimum[y,{x,-3}] 图像如图 -4 -2 2 4 6 -2 -1 1 2 3 4 5 二、求函数的极大值 因为函数 f[x]的图像与函数-f[x]的图像关于 x 轴是对称的，f[x]取得极大 值时，-f[x]正好取得极小值，因此仍用 FindMinimum 函数求函数的极大值，基 本格式为： FindMinimum [-f[x],{x,x0}] 其中 x0 为初始值，表示求出的是-f[x]在 x0 附近的极小值，设为 W，实际 上间接地求出了 f[x]在 x0 附近的极大值，为-W
实验2求ys3x 的极值. 解In[4]:=y=3x/(1+x2) Plot[y,{x,-2,2}] FindMinimum[y, x, 0] In[7]: =FindMinimum[-y, Ix, 01] 图像如图 实验一 求下列函数的极值: +2 3 2 建模与实验 问题 一幢楼房的后面是一个很大的花园。在花园中紧靠着楼房有一个温室,温室伸 入花园宽2m,高3m,温室正上方是楼房的窗台,清洁工打扫窗台周围,他得用梯 子越过温室,一头放在花园中,一头靠在楼房的墙上,因为温室是不能承受梯子压 力的,所以梯子太短是不行的,现清洁工只有一架7m长的梯子,你认为它能达到要 求吗?能满足要求的梯子的最短长度为多少? 、实验目的 掌握求一元函数极值的驻点法,掌握 Mathemati求极小值的命令 FindMinimum 并会用它解决一些实际问题。 、预备知识
实验 2 求 2 1 3 x x y + = 的极值. 解 In[4]:= y=3x/(1+x^2) Plot[y,{x,-2,2}] FindMinimum[y,{x,0}] In[7]:=FindMinimum[-y,{x,0}] 图像如图 -2 -1 1 2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 实验一 求下列函数的极值： 3 1 2 3 2 2 2 3. 2 4. 5 2( 1) 1. 2 3 2. ( 1) 1 = − = − + = + − = − − y x x y x y x x y x 建模与实验 一、 问题 一幢楼房的后面是一个很大的花园。在花园中紧靠着楼房有一个温室，温室伸 入花园宽 2 m ，高 3m ，温室正上方是楼房的窗台，清洁工打扫窗台周围，他得用梯 子越过温室，一头放在花园中，一头靠在楼房的墙上，因为温室是不能承受梯子压 力的，所以梯子太短是不行的，现清洁工只有一架 7m 长的梯子，你认为它能达到要 求吗？能满足要求的梯子的最短长度为多少？ 二、实验目的 掌握求一元函数极值的驻点法，掌握 Mathematica 求极小值的命令 FindMinimum 并会用它解决一些实际问题。 三、预备知识
1一元函数的极值及最值的求法 2. Mathematic求极小值命令提示 FindMinimum l x, xo在选取的初始点xo附近求f()的极小值 Fim[f,,xo.x在选取的两个不同的初始点x0与xl附近求∫(x)的 极小值,当∫的微分符号形式求不出时,必须用这种命令命令形式 四、实验要求 1.动态观测梯子长度随倾角变化的变化。 2.设温室宽为a,高为b,梯子倾斜的角度为x,当梯子与温室顶端A处恰好接 触时,梯子的长度L只与x有关。试写出函数L(x)及其定义域 3.在 Mathematica环境,先用命令Cam清除x的值,再定义函数L(x,并求 4将ab赋值,画出L(x)的图形。注意自变量x的范围选取。 5.求驻点,即求方程L(x)=0的根,用语句。 6.用语句 FindMinmumun直接求L(x)的极小值并与(5)的结果比较。 7.取a=2,b=2.8,重新运行程序,结果如何? 五、实验内容与步骤 1.问题分析与建立模型 问题很容易转化为数学模型: 即:求函数4()=a+b 0 0.7, 7)1 3.程序运行结果 结果分析 当口=2b=3时,输出表明Lm=702348(x≈085277)即7米长的梯子是 不行的 当a=2b=28时,运行结果为{675659→084136}。即7米长的梯子 已足够
1． 一元函数的极值及最值的求法。 2． Mathematica 求极小值命令提示 FindMinimum f ,x, xo 在选取的初始点 xo 附近求 f (x) 的极小值； FindMinimum f ,x, xo, x1 在选取的两个不同的初始点 x0 与 x1 附近求 f (x) 的 极小值，当 f 的微分符号形式求不出时，必须用这种命令命令形式。 四、实验要求 1．动态观测梯子长度随倾角变化的变化。 2．设温室宽为 a ，高为 b ，梯子倾斜的角度为 x ，当梯子与温室顶端 A 处恰好接 触时，梯子的长度 L 只与 x 有关。试写出函数 L(x) 及其定义域。 3. 在 Mathematicca 环境，先用命令 Clearx 清除 x 的值，再定义函数 L(x) ，并求 导。 4.将 a ,b 赋值，画出 L(x) 的图形。注意自变量 x 的范围选取。 5．求驻点，即求方程 L(x) = 0 的根，用语句。 6．用语句 FindMinumum 直接求 L(x) 的极小值并与（5）的结果比较。 7．取 a = 2 ,b = 2.8 ，重新运行程序，结果如何？ 五、实验内容与步骤 1．问题分析与建立模型 问题很容易转化为数学模型： 即： 求函数 ( ) x b x a L x cos sin = + 在区间 2 0, 的最小值。因 2 0 x ，所以 可用手算得唯一稳定点 arctan 3 a b x = 从而得梯子的最小长度为： ( ) 2 3 3 2 3 2 Lmin = a + b 然而代入 a,b 的值，却使我们无法用手算得到数值结果，故宜上机计算 2．运行以下 Mathematica 程序 In[1]：= clear a,b, x Lx := a / cos[x]+b/sin[ x] − ； diff = DLx, x ； a = 2, b = 3 ； PlotL(x),7,x,0.7,1, Axesorigin− 0.7,7 3．程序运行结果 4．结果分析 当 a = 2,b = 3 时，输出表明 7.02348 ( 0.852771) Lmin x 。即 7 米长的梯子是 不行的。 当 a = 2,b = 2.8 时，运行结果为 6.75659,x →0.84136 。即 7 米长的梯子 已足够
练习与思考 1.梯子长度问题思考 (1)取a=1.8,在只用6.5m长梯子的情况下,温室最多能修建多高? (2)一条1m宽的通道与另一条2m宽的通道相交成直角,一个梯子需要水平绕过 拐角,试问梯子的最大长度是多少? 11≤x≤ 2.作函数 的图形,并验证是否满足拉格朗日定理条件 3.求y=2x3-6x2-18+1极值
练习与思考 1. 梯子长度问题思考 （1）取 a =1.8 ，在只用 6.5 m 长梯子的情况下，温室最多能修建多高？ （2）一条 1 m 宽的通道与另一条 2 m 宽的通道相交成直角，一个梯子需要水平绕过 拐角，试问梯子的最大长度是多少？ 2. 作函数 ( ) ,1 2 1 4 = x x f x 的图形，并验证是否满足拉格朗日定理条件。 3. 求 2 6 18 1 3 2 y = x − x − + 极值