第二章数列极限 习题 1数列极限概念 1) n (1)对下列e分别求出极限定义中相应的N E1=0.1,E2=0.01,E3=0.001 (2)对E1,E2,E3可找到相应的N,这是否证明了an趋于0?应该怎样做才对 (3)对给定的ε是否只能找到一个N? 2、按ε-N定义证明: 时B+1;(2)m3n2+n3 (1)lm 二:(3)lm (4) lim=0:(5)lm2=0(a>0)。 3、根据例2,例4和例5的结果求出下列极限,并指出哪些是无穷小数列 (1) lim:(2) lim V3:(3) lim:(4)lim (5)lim (6)im"10:(7)im 4、证明:若iman=a,则对任一正整数k,有 lim a+k=a 5、试用定义1’证明: (1)数列{-}不以1为极限:(2)数列{n-}发散。 6、证明定理21,并应用它证明数列(1+-1))的极限是1 n 7、证明:若lman=a,则lm|an=a。当且仅当a为何值时反之也成立? 8、按ε-N定义证明: (1)im(√n+1-√n)=0 (2)lm 1+2+3+…+n
1 第二章 数列极限 习题 §1 数列极限概念 1、设 n a = n n 1+ (−1) ，n=1，2，…，a=0。 （1）对下列ε分别求出极限定义中相应的 N： 1 =0.1， 2 =0.01， 3 =0.001； （2）对 1 ， 2 ， 3 可找到相应的 N，这是否证明了 n a 趋于 0？应该怎样做才对； （3）对给定的ε是否只能找到一个 N？ 2、按ε—N 定义证明： （1） n→ lim n +1 n =1；（2） n→ lim 2 3 2 1 3 2 2 = − + n n n ；（3） n→ lim n n n! ； （4） n→ lim sin n =0；（5） n→ lim n a n =0（a>0）。 3、根据例 2，例 4 和例 5 的结果求出下列极限，并指出哪些是无穷小数列： （1） n→ lim n 1 ；（2） n→ lim n 3 ；（3） n→ lim 3 1 n ；（4） n→ lim n 3 1 ； （5） n→ lim n 2 1 ；（6） n→ lim n 10 ；（7） n→ lim n 2 1 。 4、证明：若 n→ lim n a = a，则对任一正整数 k，有 n→ lim n k a + = a。 5、试用定义 1 证明： （1）数列{ n 1 }不以 1 为极限；（2）数列{ n n (−1) }发散。 6、证明定理 2.1，并应用它证明数列{ n n ( 1) 1 − + }的极限是 1。 7、证明：若 n→ lim n a = a，则 n→ lim | n a |= |a|。当且仅当 a 为何值时反之也成立？ 8、按ε—N 定义证明： （1） n→ lim ( n +1 − n) =0； （2） n→ lim 3 1 2 3 n + + ++ n =0；
(3)ima.=1,其中 ,n为偶数, n+n n为奇数。 §2收敛数列的性质 、求下列极限: (1)lm (3)lim (4)lm(Vn2+n-n);(5)lm(+√2+…+√10); (6) lim 2、设lman=a,limb=b,且a<b。证明:存在正数N,使得当nN时有a<b。 3、设{an}为无穷小数列,{bn}为有界数列,证明:{anbn}为无穷小数列 4、求下列极限: (2)lm(√222…y2) (3)lm (4)lim (5)lm(+ (n+ l) (2m) l (6)Iim n→① 5、设{an}与{bn}中一个是收敛数列,另一个是发散数列。证明{an±bn}是发散数 列,又问{anbn}和{}(b≠0)是否必为发散数列? 2
2 （3） n→ lim n a =1，其中 , 1 n n − n 为偶数， n a = n n + n 2 ，n 为奇数。 §2 收敛数列的性质 1、求下列极限： （1） n→ lim 4 2 3 3 1 3 3 2 + + + + n n n n ；（2） n→ lim 2 1 2 n + n ；（3） n→ lim 1 1 ( 2) 3 ( 2) 3 + + − + − + n n n n ； （4） n→ lim ( ) 2 n + n − n ；（5） n→ lim ( 1 2 10) n n n + ++ ； （6） n→ lim n n 3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 1 2 2 + + + + + + 。 2、设 n→ lim n a = a， n→ lim n b = b，且 aN 时有 n a < n b 。 3、设{ n a }为无穷小数列，{ n b }为有界数列，证明：{ n a n b }为无穷小数列。 4、求下列极限： （1） n→ lim ) ( 1) 1 2 3 1 1 2 1 ( + + + + n n ； （2） n→ lim ( 2 2 2 2) 4 8 2n ； （3） n→ lim ) 2 2 1 2 3 2 1 ( 2 n n − + ++ ； （4） n→ lim n n 1 1− ； （5） n→ lim ) (2 ) 1 ( 1) 1 1 ( 2 2 2 n n n + + + + ； （6） n→ lim ) 1 2 1 1 1 ( 2 2 2 n n n + n + + + + + 。 5、设{ n a }与{ n b }中一个是收敛数列，另一个是发散数列。证明{ n a ± n b }是发散数 列，又问{ n a n b }和{ n n b a }（ n b ≠0）是否必为发散数列？
6、证明以下数列发散: (1){(-1) 力)1:(2)1mW1:(3)c03x 7、判断以下结论是否成立(若成立,说明理由:若不成立,举出反例) (1)若{a2k-1}和{a2x}都收敛,则{an}收敛 (2)若{ax-2},{ax1和{a3k}都收敛,且有相同极限,则{an}收敛 8、求下列极限: 132n-1 242 ∑ (2)lm n (3)im[(n+1)“-n"].00,则lman=1 §3数列极限存在的条件 、利用lm(1+-)"=e求下列极限 (1)im(1--)” (2)lmn(1+-)” (3)lm(1+—)”; (4)lim(1+ (5)lm(1+-2) 2、试问下面的解题方法是否正确: 求lm2"。 解:设an=2”及man=a。由于an=2an,两边取极限(n→∞)得a=2a,所以
3 6、证明以下数列发散： （1）{ 1 ( 1) + − n n n }；（2）{ n n (−1) }；（3）{ 4 cos n }。 7、判断以下结论是否成立（若成立，说明理由；若不成立，举出反例）： （1）若{ a2k−1 }和{ a2k }都收敛，则{ n a }收敛； （2）若{ a3k −2 }，{ a3k−1 }和{ a3k }都收敛，且有相同极限，则{ n a }收敛 8、求下列极限： （1） n→ lim n n 2 2 1 4 3 2 1 − ； （2） n→ lim ! ! 1 n p n p = ； （3） n→ lim [( +1) − ],0 1 n n ； （4） n→ lim (1 )(1 ) (1 ),| | 1 2 2 + + + n 。 9、设 a a am , , , 1 2 为 m 个正数，证明： n→ lim n n m n n a1 + a2 +a =max{ a a am , , , 1 2 }。 10、设 n→ lim n a = a 。证明： （1） n→ lim n nan [ ] = a ； （2）若 a>0， n a >0，则 n→ lim n an =1。 §3 数列极限存在的条件 1、利用 n→ lim n n ) 1 (1+ = e 求下列极限： （1） n→ lim n n ) 1 (1− ； （2） n→ lim 1 ) 1 (1 + + n n ； （3） n→ lim n n ) 1 1 (1 + + ； （4） n→ lim n n ) 2 1 (1+ ； （5） n→ lim n n ) 1 (1 2 + 。 2、试问下面的解题方法是否正确： 求 n→ lim n 2 。 解：设 n a = n 2 及 n→ lim n a = a。由于 n a = 2 n−1 a ，两边取极限（n→∞）得 a = 2 a，所以
3、证明下列数列极限存在并求其值: (1)设a1=√2,an1=V2a 2n,n=1,2, (2)设a=√c(c>0),a +a.,n=1,2, (3)a=-(c>0),n=1,2 4、利用{(1+-)”}为递增数列的结论,证明{(1+—)”}为递增数列 5、应用柯西收敛准则,证明以下数列{an}收敛 in 1 sin 2 sin n (1)a (2)a.=1+ 6、证明:若单调数列{an}含有一个收敛子列,则{an}收敛: 7、证明:若a,>0,且lm==l》1,则 lim a=0 8、证明:若{an}为递增(递减)有界数列,则 lim a,=supi a,i(inf( a,))o 又问逆命题成立否? 9、利用不等式b+-am>(n+1)an(b-a),b>a>0 证明:{(1+-)}为递减数列,并由此推出{(1+-)”}为有界数列 10、证明:e-(1+-)"-。 提示:利用上题可知e(1+-);又易证(1+-)b1),作出其等差中项a2=+与等比中项 b2=√a1b1,一般地令 证明:lman与lmbn皆存在且相等
4 a = 0。 3、证明下列数列极限存在并求其值： （1）设 1 a = 2 ， n+1 a = 2an ，n=1，2，…； （2）设 1 a = c （c>0）， n+1 a = an c + ，n=1，2，…； （3） n a = n! c n （c>0），n=1，2，…。 4、利用{ n n ) 1 (1+ }为递增数列的结论，证明{ n n ) 1 1 (1 + + }为递增数列。 5、应用柯西收敛准则，证明以下数列{ n a }收敛： （1） n a = n n 2 sin 2 sin 2 2 sin 1 2 + ++ ； （2） n a = 2 2 2 1 3 1 2 1 1 n + + ++ 。 6、证明：若单调数列{ n a }含有一个收敛子列，则{ n a }收敛： 7、证明：若 n a >0，且 n→ lim n+1 n a a =l>1，则 n→ lim n a =0。 8、证明：若{ n a }为递增（递减）有界数列，则 n→ lim n a =sup{ n a }（inf{ n a }）。 又问逆命题成立否？ 9、利用不等式 n+1 b - n+1 a >（n+1） n a （b-a），b>a>0 证明：{ 1 ) 1 (1 + + n n }为递减数列，并由此推出{ n n ) 1 (1+ }为有界数列。 10、证明：|en n ) 1 (1+ | 1 b ），作出其等差中项 2 a = 2 a1 + b1 与等比中项 b2 = a1b1 ，一般地令 2 1 n n n a b a + + = ，bn+1 = anbn ，n=1，2，…。 证明： n→ lim n a 与 n→ lim n b 皆存在且相等
12、设{an}为有界数列,记 =sup{an,an+,…)},an=inf{an,ant,…} 证明:(1)对任何正整数n,an≥an; (2){an}为递减有界数列,{an}为递增有界数列,且对任何正整数n,m有an≥am; (3)设an和an分别是{an}和{an}的极限,则a≥a; (4){an}收敛的充要条件是 总练习题 求下列数列的极限 (1)lmm3+3”:(2)lm":(3)lm(m+2-2√m+1+n) 2、证明: (1)imn2q"=0(k1):(2) lim lg n=0(a≥1);(3)lm 3、设lma=a,证明: (1)ma+a2+、、×=a(又问由此等式能否反过来推出iman=a); (2)若an>0(n=1,2,…),则lim{/a;a2…an=a 4、应用上题的结论证明下列各题: 1+二+-+……+ (1)lim =0;(2)imVa=1(a>0) (3)imn=1 (4)lm 0; 1+√2+√3+ (5)lim (6)lm n
5 12、设{ n a }为有界数列，记 − n a =sup{ n a ， n+1 a ，…}， − n a =inf{ n a ， n+1 a ，…}。 证明：（1）对任何正整数 n， − n a ≥ − n a ； （2）{ − n a }为递减有界数列，{ − n a }为递增有界数列，且对任何正整数 n，m 有 − n a ≥ − m a ； （3）设 − n a 和 − n a 分别是{ − n a }和{ − n a }的极限，则 − a ≥ − a ； （4）{ n a }收敛的充要条件是 − a = − a 。 总练习题 1、求下列数列的极限： （1） n→ lim n n n 3 3 + ；（2） n→ lim n e n 5 ；（3） n→ lim ( n + 2 − 2 n +1 + n)。 2、证明： （1） n→ lim n n q 2 =0（|q|0（n=1，2，…），则 n→ lim n a1a2 an = a。 4、应用上题的结论证明下列各题： （1） n→ lim n n 1 3 1 2 1 1+ + ++ =0；（2） n→ lim n a =1（a>0）； （3） n→ lim n n =1； （4） n→ lim n n! 1 =0； （5） n→ lim n n n ! = e； （6） n→ lim n 1+ 2 + 3 ++ n =1；
(7)若lmb=a(b)0),则lnbn=a (8)若ln(anan-1)=d,则m n 5、证明:若{an}为递增数列,{bn}为递减数列,且lmn(an-bn)=0, 则lma与lmb都存在且相等 设数列{an}满足:存在正数M,对一切n有 An=a2-a1|+|a3-a2|+…+|an-an1|≤M 证明:数列{an}与{An}都收敛 证明:数列{an}收敛,且其极限为√σ。 8、设a>b>0,记 a+ 2 证明:数列{an}与{bn}的极限都存在且等于√ab1。 9、按柯西收敛准则叙述数列{an}发散的充要条件,并用它证明下列数列{an}是发散 (1)a2-(-1yn;(2)a=smx;(3)a-1+1+…+1 S,=max a,, b), T,=min(a,, b),n=1,2, 证明:(1)mSn=max{a,b};(2) lim t=min{a,b} 提示:参考第一章总练习题1。 习题答案 §1数列极限概念 3、(1)0,无穷小数列:(2)1;(3)0,无穷小数列
6 （7）若 n→ lim n n b b +1 = a（ n b >0），则 n→ lim n bn = a； （8）若 n→ lim （ n a - n−1 a ）= d，则 n→ lim n an = d。 5、证明：若{ n a }为递增数列，{ n b }为递减数列，且 n→ lim （ n a - n b ）=0， 则 n→ lim n a 与 n→ lim n b 都存在且相等。 6、设数列{ n a }满足：存在正数 M，对一切 n 有 | | | | | | An = a2 − a1 + a3 − a2 ++ an − an−1 ≤M。 证明：数列{ n a }与{ An }都收敛。 7、设 a>0，σ>0， 1 a = ( ) 2 1 a a + ， ( ) 2 1 1 n n n a a a + = + ，n=1，2，…。 证明：数列{ n a }收敛，且其极限为 。 8、设 1 a > 1 b >0，记 n a = 2 an−1 + bn−1 ， n b = 1 1 2 1 1 − − − − n + n n n a b a b ，n=2，3，…。 证明：数列{ n a }与{ n b }的极限都存在且等于 a1b1 。 9、按柯西收敛准则叙述数列{ n a }发散的充要条件，并用它证明下列数列{ n a }是发散 的： （1） n a = n n (−1) ；（2） n a = 2 sin n ；（3） n a = n 1 2 1 1+ ++ 。 10、设 n→ lim n a = a， n→ lim n b = b。记 n S = max{ n a ， n b }，Tn = min{ n a ， n b }，n=1，2，…。 证明：（1） n→ lim n S = max{ a ，b }；（2） n→ lim Tn = min{ a ，b }。 提示：参考第一章总练习题 1。 习题答案 §1 数列极限概念 3、（1）0，无穷小数列；（2）1；（3）0，无穷小数列；
(4)0,无穷小数列;(5)0,无穷小数列;(6)1:(7)1 2收敛数列的性质 1、(1)一;(2)0:(3)-:(4) (5)10:(6)2 、(1)1:(2)2:(3)3;(4)1:(5)0:(6)1。 8、(1)0(提示:先证320~4n+1 (2)1(提示:n0,取N=一]+1,则当n>N时 n+1 n+1 n —,KE,所以m =1。 n+1 2、(§1第4题)证明:若lman=a,则对任一正整数k,有 lim a+k=a 证明:若lman=a,则由定义知:任给E>0,存在N,当nN时,|an-an>N,所以ank-a<E,故man+k=a 3、(§2第1(4)题)lim(√n2+n-n)。 (√n2+n-n)=lim +n+n
7 （4）0，无穷小数列；（5）0，无穷小数列；（6）1；（7）1。 §2 收敛数列的性质 1、（1） 4 1 ；（2）0；（3） 3 1 ；（4） 2 1 ；（5）10；（6）2。 4、（1）1；（2）2；（3）3；（4）1；（5）0；（6）1。 8、（1）0（提示：先证明 n n 2 2 1 4 3 2 1 − N 时， | n +1 n |N 时，| n a - a|N 时，n+k>n>N，所以| n k a + -a|< ，故 n→ lim n k a + = a。 3、（§2 第 1（4）题） n→ lim ( ) 2 n + n − n 。 解： n→ lim ( ) 2 n + n − n = n→ lim n n n n + + 2 = 1 1 1 1 + + n = 2 1
4、(§2第2题)设lman=a,lmbn=b,且ab。证明:存在正数N,使得当n>N 时有an0,根据两个已知极限分别存在的N1、N 当n>M时,|an-aN时有an2时,(1--<1,且lm=lm1=1 2 故由迫敛性定理知,imt1-2=1 6、(§3第3(1)题)证明下列数列 设a1=√2 ,n=1,2 极限存在并求其值 证明:已知a=2<,设an(2,则an1=√2an<,所以(an有上界2 而 1(an<2),于是{an}是递增且有上界的数列。 由单调有界定理知{an}极限存在。设其为a,对等式 2an两边取极限有 a2=2a,解之得a1=0(舍去),a2=2,故lan=2
8 4、（§2 第 2 题）设 n→ lim n a = a，n→ lim n b = b，且 aN 时有 n a 0，根据两个已知极限分别存在的 N1 、 N2 ， 当 n> N1 时，| n a - a| N2 时，| n b - b| b - 0 = 2 1 （a + b）。 取 N = max{ N1， N2 }，当 n>N 时，必有 n a N 时有 n a 2 时， 2 1 1（ n a <2），于是{ n a }是递增且有上界的数列。 由单调有界定理知{ n a }极限存在。设其为 a ，对等式 n+1 a = 2an 两边取极限有 2 a =2a，解之得 1 a =0（舍去）， 2 a =2，故 n→ lim n a =2