第三章极限与函数的连续性 §1极限问题的提出 §2数列的极限 1.用定义证明下列数列的极限为零: m (4)lmn+(-) (5)lim(√n+1-√m 10 n! (9) lin 1+2+3 0)im(n+a") 2.用定义证明 n→n 为偶 (3)imx,=1,其中xn= n+1 ,n为奇数 (4) lim x=3,其中 3n+1 ,n=3k+1(k=1,2,…) 2+ 3.用定义证明
第三章 极限与函数的连续性 §1 极限问题的提出 §2 数列的极限 1． 用定义证明下列数列的极限为零： (1) 2 1 lim n 1 n → n + + ； (2) sin lim n n → n ； (3) lim n n → ； (4) 2 ( 1) lim n n n → n + − − ； (5) lim ( 1 ) n n n → + − ； (6) 10 lim ! n n→ n ； (7) lim 1 n n n a → a ( ) ； (8) ! lim n n n → n ； (9) 2 1 2 3 lim n n → n + + + + ； (10) 1 lim 1 n n a a n − → ( + ) . 2．用定义证明： (1) 2 2 3 lim n 2 1 n n → n + = − ； (2) 2 lim n n n → n + = ； (3) lim n n x → = ，其中 1 , 1 , n n n n x n n n − = + 为偶数， 为奇数； (4) lim n n x → = ，其中 3 1 , 1 ( 1, 2, ) 2 , 2 3 n n k n x n k k n n n k n n = + = = + = + + = + − + ， ， . 3．用定义证明：
(1)若 lim a=a,则对任一正整数k,有 lim a=a (2)若 lim a=a,则lim|an|=|al反之是否成立? 3)若iman=a,且a>b,则存在N,当n>N时,有a>b (4)若 且 a>0, 则imy=√a 4.极限的定义改成下面形式是否可以?(其中“彐”是逻辑符号,表示“存在”) (1)VE>0,彐N>0,当n≥N时,有|xn-a0,彐N>0,当n>N时,有|x-a|≤E (2)VE>0,彐N>0,当n>N时,有|xn-a|kME(M为常数) 5.若{xnyn}收敛,能否断定{xn}、{y}也收敛? 6.设x≤a≤yn(n=12,…),且lim(n-xn)=0,求证 lim x, =a, lim y=a 7.利用极限的四则运算法则求极限: 3n3+2n2-n+1 (1) lim 3m2+2 (2) lim (-2)"+3” (4)lim(+√2+…+y10) 8.求下列极限 (2) lim( +1 +1m2+2 (5) lim( )cos n:
(1) 若 lim n n a a → = ，则对任一正整数 k ，有 lim n k n a a + → = ； (2) 若 lim n n a a → = ，则 lim | n n a a → = .反之是否成立？ (3) 若 lim n n a a → = ，且 a b ，则存在 N ，当 n N 时，有 n a b ； (4) 若 lim n n a a → = ，且 0 n a ，则 lim n n a a → = . 4．极限的定义改成下面形式是否可以？（其中“ ”是逻辑符号，表示“存在”.） (1) ， N 0 ，当 n N 时,有 n | - |< x a ； (2) ， N 0 ，当 n N 时,有 n | - | x a ； (2) ， N 0 ，当 n N 时,有 n | - | x a M （ M 为常数）. 5．若 x yn n 收敛，能否断定 xn 、 yn 也收敛？ 6．设 ( 1, ) n n = x a y n ，且 lim ( ) 0 n n n y x → − = ，求证： lim n n x a → = ， lim n n y a → = . 7．利用极限的四则运算法则求极限： (1) 3 2 3 2 3 2 1 lim n 3 2 n n n → n n + − + − + ； (2) 1 1 ( 2) 3 lim ( 2) 3 n n n n n→ + + − + − + ； (3) 1 1 2 lim 1 1 4 4 n n n → + + + + + + ； (4) lim ( 1 ) n n n n→ + + + . 8．求下列极限： (1) 1 1 1 lim ( ) 1 2 ( 1) n→ n n + + + + ； (2) 2 2 2 1 1 1 lim ( ) ( 1) (2 ) n→ n n n + + + + ； (3) 2 2 2 1 1 1 lim ( ) 1 2 n n n n n → + + + + + + ； (4) 2 1 3 2 1 lim ( ) 2 2 2n n n → − + + + ； (5) 1 lim (1 ) cos 2 n n n → − ；
7)lim(√√2√2…√2) (8)lim【(n+1)2-n”],00,xn=√c+xn1,n=2,3,…; (4)x=1,x=1+ n=1,2, 1+x
(6) lim n→ n − ； (7) lim n n → ( ) ； (8) lim [( 1) ] n n n n n → + − ， 0 1 a ； (9) lim n 2 n → n − ； (10) 1 1 lim 2 n n n → n ( − ) ( ) ； (11) 1 lim n n n → ！ ； (12) lim ln n n n n → . 9．证明：若 an ， bn 中一个是收敛数列，另一个是发散数列，则 a b n n 是发 散数列；又问 a bn n 和 ( 0) n n n a b b 是否也是发散数列？为什么？ 10．设 ( 1)n n = − x ，证明 xn 发散. 11．若 1 2 , , , m a a a 为 m 个正数，证明： 1 2 1 2 lim max( , , , ) n n n n m m n a a a a a a → + + + = . 12．设 lim n n a a → = ，证明： (1) [ ] lim n n n a a → n = ； (2) 若 0, 0 n a a ，则 lim 1 n n n a → = . 13．利用单调有界原理，证明 lim n n x → 存在，并求出它： (1) 1 2 1 2 , 2 , 2, n x x x n − = = = ； (2) 1 1 , , 2, n n x c x c x n − = = + = ； (3) n n c x n = （c > 0） ！ ； (4) 1 0 1 , 1 , 1, 1 n n n x x x n x − − = = + = + . 14．若 1 1 = = x a y b a b , 0 ( ) , 1 1 , , 2 n n n n n n x y x x y y + + + = =
证明: lim x=lmy 明:若a>0,且lim=1>1,lima=0 16.设iman=a,证明: a:(又问,它的逆命题成立否?) n (2)若an>0,则 lim /a, a2…an=a 17.应用上题的结果证明下列各题: 1(a>0 (3)lim√n=1 lin (6)若mnh1=a(>0),则mb 18.用定义证明下列数列为无穷大量 (1){n (3){hn} (4) 19.证明:若{x}为无穷大量,{y}为有界变量,则{x±yn}为无穷大量 20.(1)两个无穷大量的和的极限如何?试讨论各种可能性? (2)讨论无穷大量和无穷小量的和、差、商的极限的情形 (3)讨论无穷大量和无穷小量的乘积可能发生的各种情形 21.利用lm1+ ,求下列极限: +1
证明： lim lim n n n n x y → → = . 15．证明：若 0 n a ，且 1 lim 1 n n n a l → a + = ， lim n n a → = . 16．设 lim n n a a → = ，证明： (1) 1 2 lim n n a a a a → n + + + = ；（又问，它的逆命题成立否？） (2) 若 0 n a ，则 1 2 lim n n n a a a a → = . 17．应用上题的结果证明下列各题： (1) 1 1 3 lim n n → n + + + + = ； (2) lim 1 ( 0) n n a a → = ； (3) lim 1 n n n → = ； (4) 1 lim 0 n n n → = ！ ； (5) 1 lim n n n n → + + + + = ； (6) 若 1 lim ( ) n n n n b a b b + → = ，则 lim n n n b a → = . 18．用定义证明下列数列为无穷大量： (1) n ； (2) n！ ； (3) ln n ； (4) 1 1 3 n + + + + . 19．证明：若 xn 为无穷大量， yn 为有界变量，则 x y n n 为无穷大量. 20．(1) 两个无穷大量的和的极限如何？试讨论各种可能性？ (2)讨论无穷大量和无穷小量的和、差、商的极限的情形； (3)讨论无穷大量和无穷小量的乘积可能发生的各种情形. 21．利用 1 lim 1 n n e → n + = ，求下列极限： (1) 1 lim 1 n n→ n − ； (2) 1 lim 1 1 n n→ n + + ；
)=(2 §3函数的极限 1.用极限定义证明下列极限: (x-2)(x-1) (5)lim√x2+5=3 x(x-1)1 (7)1m=-6= (8)m~1 2.用极限的四则运算法则求下列极限: (1)lim x→02x2-x-1 (2) lim x2-1 x+12x2-x-1 (n,m为正整数
(3) 1 lim 1 2 n n→ n + ； (4) 2 1 lim 1 n n→ n + . §3 函数的极限 1．用极限定义证明下列极限： (1) 2 1 3 1 lim x 9 2 x →− x − = − ； (2) 2 3 3 1 lim x 9 6 x → x − = − ； (3) 1 1 lim 2 1 x x x → − = − ； (4) 1 ( 2)( 1) lim 0 x 3 x x → x − − = − ； (5) 2 2 lim 5 3 x x → + = ； (6) 2 1 ( 1) 1 lim x 1 2 x x → x − = − ； (7) 2 3 lim x 9 x → x = − ； (8) 1 lim 1 x 2 x → x − = + ； (9) 2 lim x 1 x x → x + = + ； (10) 2 2 5 lim 1 x 1 x → x − = − . 2．用极限的四则运算法则求下列极限： (1) 2 2 0 1 lim x 2 1 x → x x − − − ； (2) 2 2 1 1 lim x 2 1 x → x x − − − ； (3) 3 2 3 0 ( 1) (1 3 ) lim x 2 x x → x x − + − + ； (4) 2 1 lim x x x x → − ； (5) 3 1 2 lim x 3 x → x + − − ； (6) 2 2 3 5 6 lim x x x → x x − + − + ； (7) 1 1 lim 1 n m x x → x − − （ n m, 为正整数）；
3.设f(x)>0,证明:若lmf(x)=A,则lm√f(x)=√A,其中正整数n≥2 4.证明:若limf(x)=A,则limf(x)|=|4|,但反之不真 5.求下列函数字所示点的左右极限 在x x<1 在x (3)f(x) x|1 在 (4)f(x)=--[] 在 n是正整数 在x=0 6.求下列极限 5x-7 (5)lim x+3x X- x 7.用变量替换求下列极限:
(8) 4 1 2 3 lim 2 x x x → + − − . 3．设 f x( ) 0 ，证明：若 0 lim ( ) x x f x A → = ，则 0 lim ( ) n n x x f x A → = ，其中正整数 n . 4．证明：若 0 lim ( ) x x f x A → = ，则 0 lim | ( ) | | | x x f x A → = ，但反之不真. 5．求下列函数字所示点的左右极限： (1) 2 1, ( ) 1, 2 , 1, x f x x x x = = + 在 x =1 ； (2) 2 1 sin , ( ) , x x f x x x x = + 在 x =0 ； (3) 2 | | 1 ( ) , 1 x f x x x = + 在 x =0 ； (4) 1 1 f x( ) [ ], x x = − 在 1 x = n ， n 是正整数； (5) 2 , ( ) 0, , 0, x x f x x x x = = + 在 x = . 6．求下列极限： (1) 2 2 1 lim x 2 1 x → x x − − − ； (2) 5 7 lim 2 x x x x →+ − + ； (3) 2 lim ( 1 x x x →+ + − ) ； (4) 2 lim ( 1 x x x →− + − ) ； (5) 2 2 3 lim x x x → x + ； (6) 2 sin lim x 4 x x →+ x − ； (7) cos lim x x x →− x − ； (8) lim x 1 xxx →+ x + + + . 7．用变量替换求下列极限： (1) 0 1 lim [ ] x x x → + ； (2) 0 lim ln ( 0) a x x x a → + ；
4)lim 设f(x)在(a,+∞)上单调上升, lim x=+∞,若imf(x)=A,求证:lmf(x)=A (A可以为无穷) 9.设f(x)在集合X上定义,则f(x)在X上无界的充要条件是:存在x∈X n=12,…,使lim|f(x)|=+∞ 0.利用重要极限求极限: (2) lim tan 3x (7) arctan x (10) lin cos(n arccos x) (n为奇数) (11) (12)Iimm(mn为整数) (15) lim [cos√n+l-cos√n: (r√n2+i)(为整数)
(3) ln lim 0 a x x a →+ x ( ) ； (4) 1 lim x x x →+ . 8．设 f x( ) 在 + ( , ) a 上单调上升， lim n n x → = + ，若 lim ( ) n n f x A → = ，求证： lim ( ) x f x A →+ = （ A 可以为无穷）. 9．设 f x( ) 在集合 X 上定义，则 f x( ) 在 X 上无界的充要条件是：存在 , n x X = n 1, 2, ，使 lim ( ) | n f x → = + . 10．利用重要极限求极限： (1) 0 sin 2 lim x x → x ； (2) 2 2 0 sin lim (sin ) x x → x ； (3) 0 tan 3 lim x sin 5 x → x ； (4) 3 0 2sin sin lim x x x → x − ； (5) 2 0 cos 5 cos 3 lim x x x → x − ； (6) 3 0 tan sin lim x x x → x − ； (7) 0 arctan lim x x → x ； (8) 0 sin 4 lim 1 1 x x x → + − ； (9) 2 0 1 cos lim 1 cos x x → x − − ； (10) 0 cos( arccos ) lim x n x n → x ( ) 为奇数 ； (11) 4 tan 1 lim 4 x x x → − − ； (12) sin lim , x sin mx m n → nx （ 为整数） ； (13) 2 cos lim 2 x x x → − ； (14) 1 lim sin x x →+ x ； (15) lim [cos cos ] x n n →+ + − ； (16) 2 lim sin ( 1) x n n →+ + ( ) 为整数 ；
(18)lim(+mx)(n为整数) (21) lim +3x-1 (22) lim(sin x) 11.证明 lim cos不存在 12.证明limD(x)不存在,其中 ∫1,x为有理数 0,x为无理数 13.求极限 用定义证明: (1)若limf(x)=+∞,limg(x)=A,则lim[f(x)+g(x)=+∞ 若 g(x)=A(>0), lim [f(x)g(x) 15.若lmf(x)=A,limg(x)=B,证明:lm[f(x)g(x=AB 6.证明limf(x)=A的充要条件是:对任何数列x→+∞(n→∞),有 f(xn)→A( 17.证明limf(x)=+∞的充要条件是:对任何数列x→x(n→∞),有 f(xn)→A(n→∞) 18.设函数f(x)在(0,+∞)上满足方程f(2x)=f(x),且limf(x)=A,证明 f(x)=A,x∈(0,+∞)
(17) lim x x x − → － ； (18) 1 0 lim (1 ) x x nx n → + ( ) 为整数 ； (19) cot 0 lim (1 tan ) x x x → + ； (20) 1 0 1 lim ( ) 1 x x x x → + − ； (21) 3 2 2 1 lim ( ) 3 1 x x x x − →+ + − ； (22) tan 2 lim (sin ) x x x → ； (23) 2 2 2 1 lim 1 x x x → x − − ； (24) lim 1 n x n x →+ n + − . 11．证明 0 1 lim cos x→ x 不存在 . 12．证明 0 lim ( ) x x D x → 不存在，其中 1, ( ) , . x D x x = 为有理数， 为无理数 13．求极限 lim cos cos cos 2 4 2 n n x x x →+ . 14．用定义证明： (1) 若 lim ( ) x a f x → = + ， lim ( ) x a g x A → = ，则 lim ( ) ( )] x a f x g x → + = + ； (2) 若 lim ( ) x a f x → = + ， lim ( ) x a g x A → = ( ) ，则 lim ( ) ( )] x a f x g x → = + . 15．若 lim ( ) x f x A →+ = ， lim ( ) x g x B →+ = ，证明： lim ( ) ( )] x f x g x AB →+ = . 16．证明 lim ( ) x f x A →+ = 的充要条件是：对任何数列 ( ) n → + → x n ，有 ( ( ) n ) → → f x A n . 17．证明 0 lim ( ) x x f x → + = + 的充要条件是：对任何数列 0 ( ) n → → x x n ，有 ( ( ) n ) → → f x A n . 18．设函数 f x( ) 在 + (0, ) 上满足方程 = f x f x (2 ) ( ) ，且 lim ( ) x f x A →+ = ，证明： + f x A x ( ) , (0, )
§4函数的连续性 1.用定义证明下列函数在定义域内连续: (3)y=|x 2.指出下列函数的间断点并说明其类型 (1)f(x)=x+- (2)f(x) (3)f(x)=o21: (4)f(x)=[x+[-x] SInx (5)f(x) (6) f(x)=sgn xI (7) f(x)=sgn(cos x) (8)f(x)= (9)f(x) x|≤1, x卜>1; (10)f(x) cos,|x|≤1 x-1|,|x卜1 x为有理数 (11)f(x) x为无理数 (12)f(x) x,x为有理数 x为无理数 3.当x=0时下列函数无定义,试定义f(0)的值,使f(x)在x=0连续: (1)f(x) (2)f(x)= tan 2x
§4 函数的连续性 1． 用定义证明下列函数在定义域内连续： (1) y x = ； (2) 1 y x = ； (3) y x = | | ； (4) 1 y sin x = . 2．指出下列函数的间断点并说明其类型： (1) 1 f x x ( ) x = + ； (2) 2 ( ) (1 ) x f x x = + ； (3) 2 1 f x( ) cos x = ； (4) f x x x ( ) [ ] [ ] = + − ； (5) sin ( ) | | x f x x = ； (6) f x x ( ) sgn | = ； (7) f x x ( ) sgn(cos ) = ； (8) ( ) ln f x x = ； (9) , | | 1, ( ) 1 , | 1 x x f x x = ； (10) cos , | | 1, ( ) 2 1 , | 1 x x f x x x = − ； (11) sin , , ( ) 0 , x x f x x = 为有理数 为无理数； (12) , , ( ) , x x f x x x = − 为有理数 为无理数. 3．当 = x 0 时下列函数无定义，试定义 f (0) 的值，使 f x( ) 在 = x 0 连续： (1) 3 1 ( ) 1 1 x f x x + − = + − ； (2) tan 2 ( ) x f x x = ；
(3) f(x)=sin x sin- 4.设f(x)是连续函数,证明对任何c>0,函数 f(x)0),则l=0 16.求下列极限:
(3) 1 f x x ( ) sin sin x = ； (4) ( ) x f x x = (+ ) . 4．设 f x( ) 是连续函数，证明对任何 c 0 ，函数 , ( ) , ( ) ( ), ( ) , , ( ) c f x c g x f x f x c c f x c − − = 是连续的. 5．若 f x( ) 在 0 x 点连续，那么 f x( ) 和 2 f x( ) 是否也在 0 x 点连续？反之如何？ 6．若函数 f x( ) 字 = x 0 点连续，而 g x( ) 在 = x 0 点不连续，问此二函数的和、积在 0 x 点是否连续？又若 f x( ) 和 g x( ) 在 0 x 点都不连续，问此二函数的和、积在 0 x 点是否必不 连续？ 7．证明若连续函数在有理点的函数值为 0，则此函数恒为 0. 8．若 f x( ) 在 [ , ] a b 连续，恒正，按定义证明 1 f x( ) 在 a b, 连续. 9．若 f x( ) 和 g x( ) 都在 [ , ] a b 连续，试证明 max( ( ) ( )) f x g x 和 min( ( ) ( )) f x g x 都在 [ , ] a b 连续. 10．证明：设 f x( ) 为区间 ( , ) a b 上单调函数，若 0 ( ) x a b, 为 f x( ) 的间断点，则必是 f x( ) 的第一类间断点. 11．若 f x( ) 在 [ , ] a b , 1 2 n a x x x b ，则在 1 2 [ , ] x x 中必有 ，使得 1 2 ( ) [ ( ) ( ) ( )] n f f x f x f x n = + + + . 12．研究复合函数 f g 和 g f 的连续性. 设 (1) 2 = = + f x x g x x ( ) sgn , ( ) 1 ； (2) 2 = = ( − f x x g x x x ( ) sgn , ( ) 1 ) . 13．证明：若 f x( ) 在 [ , ] a b 连续，且不存在 x a b, ] ，使 = f x( ) ，则 f x( ) 在 [ , ] a b 恒正或恒负. 14．设 f x( ) 为 [ , ] a b 上的递增函数，值域为 [ ( ), ( )] f a f b ，证明 f x( ) 在 [ , ] a b 上连续. 15 ． 设 f x( ) 在 + [ , ) a 上连续，且 0 ( ) ( 0) f x x x ， 若 1 a 0 ， 1 ( ) ( 1, 2, ) n n a f a n + = = .求证： (1) lim n n a → 存在； (2) 设 lim n n a l → = ，则 = f l l ( ) ； (3) 如果将条件改为 0 ( ) ( 0) f x x x ，则 = l 0 . 16．求下列极限： (1) 1 1 1 1 lim 2 x x x x x − + → + + ；
