第二十二章各种积分间的联系与场论初步 §1各种积分间的联系 1.应用格林公式计算下列积分: ()y一xyk,其中L为椭圆+2=1,取正向 dx+(x-y)dy ()∮(x+y)d-(x2+y3),L是顶点为4(.DB(32)C25)的三角形的边界 取正向 (4)∮(x2+y2)x-(x2-y2)d,L为x2+y2=1,取正向 (5)∮e"sinx+e- sin ydy,L为矩形a≤x≤bc≤y≤d的边界,取正向 ()∮e[(ysmx+c(x+y)+(xsm+c(x+y)d,其中L是任意逐 段光滑闭曲线. 2.利用格林公式计算下列曲线所为图形的面积 (1)双纽线 (2)笛卡儿叶形线x2+y3=3ay(a>0 (3)x=a(1+cos2t)sint,y=asin2 t cOS I,0≤t≤2z 3.利用高斯公式求下列积分: ()Jx+ydd+2hy,其中 (a)S为立方体0≤x,y,z≤a的边界曲面外侧 (b)S为锥面x2+y2=2(0≤z≤h),下侧 (2)x3dhd+y2zdr+=2adh,其中S是单位球面的外侧 (3)设S是上半球面z=a2-x2-y2的上侧,求 dyd- ydEdx =dxdy Jx'dyd +(x'y-=)d=dx+(2xy+y2=) dxd
第二十二章 各种积分间的联系与场论初步 §1 各种积分间的联系 1． 应用格林公式计算下列积分： (1) 2 2 L xy dy x ydx − ，其中 L 为椭圆 2 2 2 2 1 x y a b + = ，取正向； (2) ( ) ( ) L x y dx x y dy + + − ， L 同(1)； (3) 2 2 2 ( ) ( ) L x y dx x y dy + − + ，L 是顶点为 A B C (1,1), (3,2), (2,5) 的三角形的边界， 取正向； (4) 2 3 3 2 ( ) ( ) L x y dx x y dy + − − ， L 为 2 2 x y + =1 ，取正向； (5) sin sin y x L e xdx e ydy − + ， L 为矩形 a x b c y d , 的边界，取正向； (6) ( sin cos sin cos ( )) ( ( )) xy L e y xy x y dx x xy x y dy + + + + + ，其中 L 是任意逐 段光滑闭曲线． 2． 利用格林公式计算下列曲线所为图形的面积： (1) 双纽线 2 2 r a = cos 2 ； (2) 笛卡儿叶形线 3 3 x y axy + = 3 ( a 0 )； (3) 2 2 x a t t y a t t t = + = (1 cos )sin , sin cos ,0 2 ． 3． 利用高斯公式求下列积分： (1) 2 2 2 S x dydz y dzdx z dxdy + + ，其中 (a) S 为立方体 0 , , x y z a 的边界曲面外侧； (b) S 为锥面 2 2 2 x y z z h + = (0 ) ，下侧． (2) 3 3 3 S x dydz y dzdx z dxdy + + ，其中 S 是单位球面的外侧； (3) 设 S 是上半球面 2 2 2 z a x y = − − 的上侧，求 (a) S xdydz ydzdx zdxdy + + ， (b) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 S xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy + − + + ；
()(x-y2+=2)+(y-2+x)da+(=-x+y2)dh,S是 (x-a)2+(y-b)+(=-c)2=R2的外侧 4.用斯托克斯公式计算下列积分: (1)x2yx+d+z,其中 (a)L为圆周x2+y2=a2,z=0,方向是逆时针, (b)L为y2+x2=1,x=y所交的椭圆,从x轴正向看去,按逆时针方向 (2)(y-)+(=x)中+(x-y)d,L是从(a0)经(a0)至(00a)回 到(a0.0)的三角形 )(y2+2)+(x2+2)+(x2+y2),其中 (a)L为x+y+z=1与三坐标轴的交线,其方向与所围平面区域上侧构成右手法 (b)L是曲线x2+y2+z2=2Rx,x2+y2=2x(00),它的方向与所 围曲面的上侧构成右手法则 (4)中,yzx+zd+xz,L是x2+y2+22=a2,x+y+=0,从x轴正向看去圆周 是逆时针方向 5.设L为平面上封闭曲线,l为平面上任意方向,证明 cos(n, 1)ds=0 其中n是L的外法线方向 6.设S是封闭曲面,1为任意固定方向,证明 f] cos(n, I)ds=0 7.求=∮[xcos(mx)+yos(n,y)4,L为包围有界区域D的光滑闭曲线,7为 L的外法向 8.证明高斯积分 os(r, n
(4) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 S x y z dydz y z x dzdx z x y dxdy − + + − + + − + ， S 是 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x a y b z c R − + − + − = 的外侧． 4． 用斯托克斯公式计算下列积分： (1) 2 3 L x y dx dy zdz + + ，其中 (a) L 为圆周 2 2 2 x y a z + = = , 0 ，方向是逆时针， (b) L 为 2 2 y z x y + = = 1, 所交的椭圆，从 x 轴正向看去，按逆时针方向； (2) ( ) ( ) ( ) L y z dx z x dy x y dz − + − + − ， L 是从 (a,0,0) 经 (0, ,0 a ) 至 (0,0,a) 回 到 (a,0,0) 的三角形； (3) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 L y z dx x z dy x y dz + + + + + ，其中 (a) L 为 x y z + + =1 与三坐标轴的交线，其方向与所围平面区域上侧构成右手法 则， (b) L 是曲线 2 2 2 2 2 x y z Rx x y rx r R z + + = + = 2 , 2 (0 , 0) ，它的方向与所 围曲面的上侧构成右手法则； (4) L ydx zdy xdz + + ， L 是 2 2 2 2 x y z a x y z + + = + + = , 0 ，从 x 轴正向看去圆周 是逆时针方向． 5． 设 L 为平面上封闭曲线， l 为平面上任意方向，证明 cos , 0 ( ) L n l ds = ， 其中 n 是 L 的外法线方向． 6． 设 S 是封闭曲面， l 为任意固定方向，证明 cos , 0 ( ) S n l dS = ． 7． 求 cos , cos , ( ) ( ) L I x n x y n y ds = + ，L 为包围有界区域 D 的光滑闭曲线， n 为 L 的外法向． 8．证明高斯积分 cos( ) 0 , L ds r r n =
其中L是平面上一单连通区域σ的边界,而r是L上一点到外某一定点的距离,n是L的 外法线方向.又若r表示L上一点到σ内某一定点的距离,则这个积分之值等于2丌 9.计算高斯积分 其中S为简单封闭光滑曲面,n为曲面S上在点(5,7,5)处的外法向 r=(-x)1+(n-y)j+(-)kr=试对下列两种情形进行讨论: (1)曲面S包围的区域不含(x,y=)点 (2)曲面S包围的区域含(xy,)点 10.求证: dxdvdz I 29pcosl r, n ds 其中S是包围F的分片光滑封闭曲面,n为S的外法线方向.F=(xy),厂=y1.分下 列两种情形精心讨论: (1)V中不含原点(0,0,0); (2)V中含原点(0,0,0)时,令 drdy.lim dxdydz 其中V是以原点为心,以E为半径的球 利用高斯公式变换以下积分 (1)‖xdy+xdax+yddh (2) coSa+cos B+.cosy ds ax 其中cosa,cosβ,cosγ是曲面的外法线方向余弦 12.设u(x,y)yv(x,y)是具有二阶连续偏导数的函数,并设 a-u a 证明 (1)‖△adh=|-ds
其中 L 是平面上一单连通区域 的边界，而 r 是 L 上一点到 外某一定点的距离， n 是 L 的 外法线方向．又若 r 表示 L 上一点到 内某一定点的距离，则这个积分之值等于 2 ． 9．计算高斯积分 ( ) 2 cos , S dS r r n ， 其 中 S 为 简 单 封 闭 光 滑 曲 面 ， n 为曲面 S 上在点 ( , , ) 处的外法向， r i j k r = − + − + − = ( x y z r ) ( ) ( ) , ．试对下列两种情形进行讨论： (1) 曲面 S 包围的区域不含 ( x y z , , ) 点； (2) 曲面 S 包围的区域含 ( x y z , , ) 点． 10．求证： ( ) 1 cos 2 , V S dxdydz dS r = r n ， 其中 S 是包围 V 的分片光滑封闭曲面， n 为 S 的外法线方向． r = ( x y z , , ),r = r ．分下 列两种情形精心讨论： (1) V 中不含原点（0，0，0）； (2) V 中含原点（0，0，0）时，令 lim 0 V V V dxdydz dxdydz r r − = → + ， 其中 V 是以原点为心，以 为半径的球． 11．利用高斯公式变换以下积分： (1) S xydxdy xzdzdx yzdydz + + ； (2) cos cos cos S u u u dS x y z + + ， 其中 cos ， cos ，cos 是曲面的外法线方向余弦． 12．设 u x y v x y ( , , , ) ( ) 是具有二阶连续偏导数的函数，并设 2 2 2 2 u u u x y = + ． 证明： (1) l u udxdy ds n = ；
(3)‖(a△v-△a)ddy=-v-ux-|ds 其中为闭曲线所围的平面区域,。n,c c'cn为沿/外法线的方向导数 auau a1 13.设△t= S是V的边界曲面,证明: (1)‖ ubayd=lxds ol dS Cr dhdz+‖ uAudxdyd Oy(az 式中在V及其边界曲面S上有连续的二阶偏导数,一为沿曲面S的外法线的方向导数. 14.计算下列曲面积分 D)∫(x2-y)+(y-2)+2(-)h,其中S是++二=1 (二≥0)下侧; (2)J(x+cosy)dh+(y+os)dk+(=+s)d,S是立体的边界面, 而立体由x+y+=1和三坐标面围成 (3)JF,as,其中F=x+yj+=km是S的外法向,S为x2+y2+=2=a (二≥0)上侧 +1++2x2k++x)y3ddx++==1 ≥0)后侧 15.证明由曲面S所包围的体积等于 V=ll(cosa+ycos B+:cos r)ds 式中cosa,cosβ,cosy为曲面S的外法线的方向余弦
(2) l u v u v u v udxdy dxdy ds x x y y n = − + + ； (3) ( ) l u v u v v u dxdy v u ds n n − = − − ． 其中 为闭曲线 l 所围的平面区域， , u v n n 为沿 l 外法线的方向导数． 13．设 222 2 2 2 , uuu u S x y z = + + 是 V 的边界曲面，证明： (1) V S u udxdydz dS n = ； (2) 2 2 2 S V V u u u u u dS dxdydz u udxdydz n x y z = + + + ． 式中 u 在 V 及其边界曲面 S 上有连续的二阶偏导数， u n 为沿曲面 S 的外法线的方向导数． 14．计算下列曲面积分： (1) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 S x y dydz y z dzdx z y x dxdy − + − + − ，其中 S 是 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + = ( 0) z 下侧； (2) ( cos cos cos , ) ( ) ( ) S x y dydz y z dzdx z x dxdy S + + + + + 是立体 的边界面， 而立体 由 x y z + + =1 和三坐标面围成； (3) S F n dS ，其中 3 3 3 F i j k n = + + x y z , 是 S 的外法向， S 为 2 2 2 2 x y z a + = ＋ ( 0) z 上侧； (4) 3 3 3 3 2 3 3 2 2 2 , S x y z yz dydz z x dzdx x y dxdy S a b c + + + + + 是 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + = ( x 0) 后侧． 15．证明由曲面 S 所包围的体积等于 ( ) 1 cos cos cos 3 S V x y z dS = + + ， 式中 cos ， cos ，cos 为曲面 S 的外法线的方向余弦．
16.若L是平面 x cosa+ ncos B+ =coSy-p=0上的闭曲线,它所包围区域的面积 为S,求 d x cos a cOS 其中L依正向进行 17.设P,Q,R有连续偏导数,且对任意光滑闭曲面S,有 ∫ph+Qd+Rdp=0 证明 0 ax dy a 18.设P(xy),Q(x,y)在全平面上有连续偏导数,而且以任意点(x,y)为中心,以 任意正数r为半径的上半圆/:x=x0+rco,y=y+rsn6(0≤0≤x),恒有 「P(xy)d+g(xy) 求证:P(x,y)≡0 §2积分与路径无关 验证下列积分与路径无关,并求它们的值: (x-y)(dx-dy) Bx沿在右半平面的路径 (6, 8)xdx+ ydy 沿不通过原点的路径 (4)J0/(x+)(+d),式中f(a)是连续函数 )[o(x)d+v(y),其中9,v为连续函数 (4,3)Jsdx+xedy+xyd=:
16．若 L 是平面 x y z p cos cos cos 0 + + − = 上的闭曲线，它所包围区域的面积 为 S ，求 cos cos cos L dx dy dz x y z ， 其中 L 依正向进行． 17．设 P Q R , , 有连续偏导数，且对任意光滑闭曲面 S ，有 0 S Pdydz Qdzdx Rdxdy + + = ． 证明 0 P Q R x y z + + = ． 18．设 P x y Q x y ( , , , ) ( ) 在全平面上有连续偏导数，而且以任意点 ( x y 0 0 , ) 为中心，以 任意正数 r 为半径的上半圆 l ： 0 0 x x r y y r = + = + cos , sin (0 ) ，恒有 ( , , 0 ) ( ) l P x y dx Q x y dy + = ， 求证： ( , 0, 0 ) Q P x y x ． §2 积分与路径无关 1． 验证下列积分与路径无关，并求它们的值： (1) ( )( ) ( ) (1,1) 0,0 x y dx dy − − ； (2) ( ) (1,2) 2 2,1 ydx xdy x − 沿在右半平面的路径； (3) ( ) (6,8) 2 2 1,0 xdx ydy x y + + 沿不通过原点的路径； (4) ( )( ) ( ) ( , ) 0,0 a b f x y dx dy + + ，式中 f u( ) 是连续函数； (5) ( ) ( ) ( ) (1,2) 2,1 x dx y dy + ，其中 ， 为连续函数； (6) ( ) (6,1,1) 1,2,3 yzdx xzdy xydz + + ；
Satnxdx+ydy-== ()[+1+2,其中国,(小在球面x2+y2+2=a2上 (x1=) 2.求下列全微分的原函数 )d+(x2-2xy-y2) IcoS) in x)dx+(2ycos x-x sin y)dy b b (x2-2y)x+(y2-2x)dy+( 2xv)dz 5)e sin y+2xy)dx 2x2y) x2 ldx 3y dy+52dz 3.函数F(xy)应满足什么条件才能使微分式F(x,y)(xx+yob)是全微分 验证 Pdx+Ody 2 Ax+2 Bxy+Cy 适合条件 ,其中A,B,C为常数,AC-B2>0.求奇点(0,0)的循环 常数 5.求/=t+yz ,其中L是不经过原点的简单闭曲线,取正向.设L围 x 成的区域为D (1)D不包含原点 (2)D包含原点在其内部 d 其中L是不经过(-20)和(2,0)点的简单闭曲线 设(x,y)在单连通区域D上有二阶连续偏导数,证明u(xy)在D内有
(7) ( ) (2,3, 4) 2 3 1,1,1 xdx y dy z dz − + − ； (8) ( ) ( 2 2 2 ) 1 1 1 , , , , 2 2 2 x y z x y z xdx ydy zdz x y z + + + + ，其中 ( ) 1 1 1 x y z , , ，( ) 2 2 2 x y z , , 在球面 2 2 2 2 x y z a + + = 上． 2．求下列全微分的原函数： (1) ( ) ( ) 2 2 2 2 x xy y dx x xy y dy + − + − − 2 2 ； (2) ( ) ( ) 2 2 2 cos sin 2 cos sin x y y x dx y x x y dy − + − ； (3) 2 a b by ax dx dy dz z z z − − + + ； (4) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x yz dx y xz dy z xy dz − + − + − 2 2 2 ； (5) ( ) ( ) 2 2 sin 2 cos 2 x x e y xy dx e y x y dy + + + ； (6) ( ) ( ) 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 2 3 5 x y x dx y dy z dz x y x y x y − + + − + + − − ． 3．函数 F x y ( , ) 应满足什么条件才能使微分式 F x y xdx ydy ( , )( + ) 是全微分． 4．验证 2 2 1 2 2 xdy ydx Pdx Qdy Ax Bxy Cy − + = + + 适合条件 P Q y x = ，其中 A ， B ，C 为常数， 2 AC B− 0． 求奇点 (0,0) 的循环 常数． 5．求 2 2 L xdx ydy I x y + = + ，其中 L 是不经过原点的简单闭曲线，取正向． 设 L 围 成的区域为 D ． (1) D 不包含原点； (2) D 包含原点在其内部． 6．求 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 L y y x x I dx dy x y x y x y x y − − + = + + + − + + + − + + + ， 其中 L 是不经过 (−2,0) 和 (2,0) 点的简单闭曲线． 7．设 u x y ( , ) 在单连通区域 D 上有二阶连续偏导数，证明 u x y ( , ) 在 D 内有
a-ua-u +=0的充要条件是对D内任一简单光滑闭曲线L,都有 ax 其中二为L沿外法线的方向导数 8.计算积分 +ydx+(x-ydy 其中L是从点A(-10)到B(0)的一条不通过原点的光滑曲线,它的方程是 y=f(x)(-1≤xs1) 9.计算积分 I=LxIn(x2+y2-1dx+yIn(x+y2-1)dy 其中L是被积函数的定义域内从点(2,0)至(0,2)的逐段光滑曲线 §3场论初步 1.求l=x2+2y2+32+2xy-4x+2y-4在点O(00.0,A(1,1,B(1-1,-1)的梯度,并求梯度为零的 2.计算下列向量场F的散度和旋度: 1)F (2) F=(xys, xy2=, xy22) )F=(x 3.证明F=(y=(2x+y+),x(x+2y+z),x(x+y+2z)是有势场并求势函数 4.设P=x2+54y+3y,Q=5x+3x2-2,R=(4+2)xy-4x
2 2 2 2 0 u u x y + = 的充要条件是对 D 内任一简单光滑闭曲线 L ，都有 0 L u ds n = ， 其中 u n 为 L 沿外法线的方向导数． 8．计算积分 ( ) ( ) 2 2 L x y dx x y dy I x y + + − = + ， 其中 L 是从点 A(−1,0) 到 B(1,0) 的一条不通过原点的光滑曲线，它的方程是 y f x x = − ( ) 1 1 ( ) ． 9．计算积分 ( ) ( ) 2 2 2 2 ln 1 ln 1 L I x x y dx y x y dy = + − + + − ， 其中 L 是被积函数的定义域内从点 (2,0) 至 (0,2) 的逐段光滑曲线． §3 场论初步 1．求 2 2 2 u x y z xy x y z = + + + − + − 2 3 2 4 2 4 在点 O (0,0,0), A (1,1,1), B (-1,-1,-1)的梯度，并求梯度为零的 点． 2．计算下列向量场 F 的散度和旋度： (1) 2 2 2 2 2 2 F = + + + ( , , ) y z z x x y ； (2) 2 2 2 F = ( , , ) x yz xy z xyz ； (3) ( , , ) x y z yz zx xy F = ． 3．证明 F = + + + + + + ( (2 ), ( 2 ), ( 2 )) yz x y z xz x y z xy x y z 是有势场并求势函数． 4．设 2 P x y yz Q x xz R xy z = + + = + − = + − 5 3 , 5 3 2, ( 2) 4 ．
(1)计算∫Pd+g小h+R,其中L是螺旋线x=acos,y= asin,==ct(0≤t≤2) (2)设F=(P,Q,R),求roF (3)在什么条件下F为有势场,并求势函数 5.设φ为可微函数,F=(x,y,),r=P,求 grad o(r),div(qp(r)F),rot(o(r)) 6.求向量场F=(-y,x,2)沿曲线L的环流量: (1)L为Oxy平面上的圆周x2+y2=1,z=0,逆时针方向 (2)L为Oxy平面上的圆周(x-2)2+y2=R2,z=0,逆时针方向 (3)L为Oxy平面上任一逐段光滑简单闭曲线,它围成的平面区域D的面积为S.证 明F沿L的环流量为2S 4)设有一平面:ax+by+cx=d(c≠0),取丌为上侧,丌上有一逐段光滑简单闭曲 线L,其方向关于z为正向.L围成的平面区域的面积为S,问F沿L的环流量是什么? 7.求向量场F=grad( arctan2)沿曲线L的环流量: (1)L不环绕二轴 (2)L环绕z轴一圈; (3)L环绕z轴n圈 8.设向量场F={PQ,R在除原点(000外有连续的偏导数,在球面x2+y2+2=r2 上F的长度保持一固定值,F的方向与矢径r=(x,y,)相同,而且F的散度恒为零, 证明此向量场为=F(k是常数) 9.设有一数量场u=(x,y,z),除(0,00)点外有连续偏导数,其等值面是以原点为中心 的球面.又数量场的梯度场的散度为零,证明此数量场与(r=√x2+y2+2)仅差一 个常数,其中c1为某固定常数 10.设G是空间开区域,u=(x,y,z)在G上有二阶连续偏导数.证明u=(x,y,z)在G 内调和的充要条件是对G内任意简单分片光滑曲面S,都有
(1) 计算 L Pdx Qdy Rdz + + ，其中 L 是螺旋线 x a t y a t z ct = = = cos , sin , (0 2 ) t ； (2) 设 F = ( , , ) P Q R ，求 rotF ； (3) 在什么条件下 F 为有势场，并求势函数． 5．设 为可微函数， r r = = ( , , ), x y z r ，求 grad r ( ) ，div ( ( ) ) r r ，rot ( ( ) ) r r ． 6．求向量场 F = −( , , ) y x z 沿曲线 L 的环流量： (1) L 为 Oxy 平面上的圆周 2 2 x y + =1， z = 0 ，逆时针方向； (2) L 为 Oxy 平面上的圆周 2 2 2 ( 2) x y R − + = ， z = 0 ，逆时针方向； (3) L 为 Oxy 平面上任一逐段光滑简单闭曲线，它围成的平面区域 D 的面积为 S ．证 明 F 沿 L 的环流量为 2 S ． (4) 设有一平面 : ax by cz d + + = ( 0) c ，取 为上侧， 上有一逐段光滑简单闭曲 线 L ，其方向关于 为正向． L 围成的平面区域的面积为 S ，问 F 沿 L 的环流量是什么？ 7．求向量场 (arctan ) y grad x F = 沿曲线 L 的环流量： (1) L 不环绕 z 轴； (2) L 环绕 z 轴一圈； (3) L 环绕 z 轴 n 圈． 8．设向量场 F = P Q R , , 在除原点(0,0,0)外有连续的偏导数，在球面 2 2 2 2 x y z t + + = 上 F 的长度保持一固定值， F 的方向与矢径 r = ( , , ) x y z 相同，而且 F 的散度恒为零， 证明此向量场为 3 k r F r = （ k 是常数）． 9．设有一数量场 u x y z = ( , , ) ，除(0,0,0)点外有连续偏导数，其等值面是以原点为中心 的球面．又数量场的梯度场的散度为零，证明此数量场与 1 c r ( 2 2 2 r x y z = + + ) 仅差一 个常数，其中 1 c 为某固定常数． 10．设 G 是空间开区域， u x y z = ( , , ) 在 G 上有二阶连续偏导数．证明 u x y z = ( , , ) 在 G 内调和的充要条件是对 G 内任意简单分片光滑曲面 S ，都有
0 s u dS n = ．