第三节幂级数 巴一、函数项级数的一般概念 幂级数及其收敛性 巴三、幂级数的运算 巴四、小结思考题
、函数项级数的一般概念 1.定义: 设u1(x),2(x),…,un(x),是定义在/≤R上的 午函数则∑1(x)=1(x)+1(x)+…+1(x)+ 工工工 称为定义在区间上的(函数项无穷级数 例如级数∑x=1+x+x2+ n-=0 上页
一、函数项级数的一般概念 1.定义: 设u1 ( x),u2 ( x),,un ( x),是定义在I R 上 的 函数,则 = + ++ + = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 u x u x u x un x n n 称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数. 1 , 2 0 = + + + = x x x n 例如级数 n
2收敛点与收敛域: 如果x∈I,数项级数∑un(x0)收敛 n=1 则称x为级数∑u1(x)的收敛点否则称为发散点 = 函数项级数∑n(x)的所有收敛点的全体称为收敛域, n=1 所有发散点的全体称为发散域 上页
2.收敛点与收敛域: 如果x I 0 ,数项级数 =1 0 ( ) n n u x 收敛, 则称x0为级数 ( ) 1 u x n n = 的收敛点, 否则称为发散点. 所有发散点的全体称为发散域. 函数项级数 ( ) 1 u x n n = 的所有收敛点的全体称为收敛域
3.和函数: 在收敛域上,函数项级数的和是的函数(x), 称(x)为函数项级数的和函数 s(x)=1(x)+2(x)+…+un(x)+…(定义域是?) 函数项级数的部分和Sn(x),imsn(x)=S(x) n→ 工工工 余项r(x)=S(x)-Sn(x) limr,、(x)=0(x在收敛域上) 注意函数项级数在某点x的收敛问题实质上 是数项级数的收敛问题 上页
lim s (x) s(x) n n = → 函数项级数的部分和 余项 r (x) s(x) s (x) n = − n lim ( ) = 0 (x在收敛域上) → rn x n 注意 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上 是数项级数的收敛问题. 3.和函数: s(x) = u1 (x) + u2 (x) ++ un (x) + 在收敛域上,函数项级数的和是x 的函数s(x), 称s(x)为函数项级数的和函数. (定义域是?) s (x), n
例1求级数∑(1y的收敛域 c解由达朗贝尔判别法 u,n(x) n 1 (n→>∞) u,(x)n+1 1+x 1+x (1)当 1+x 1, 即x>0或x<-2时,原级数绝对收敛 上页
例 1 求级数 n n n n x ) 1 1 ( ( 1) 1 + − = 的收敛域. 解 由达朗贝尔判别法 ( ) ( ) 1 u x u x n n+ n x n + + = 1 1 1 ( ) 1 1 → + → n x 1, 1 1 (1) + x 当 即 x 0或x −2时, 原级数绝对收敛. 1+ x 1
(2)当,>1,→1+x(1 收敛 n: n 王当x=-2时,级数∑发散; n-=1 n 牛故级数的收敛域为(-,2)10+∞ 上页
1, 1 1 (2) + x 当 1+ x 1, 即− 2 x 0时, 原级数发散. 当 x = 0时, = − 1 ( 1) n n n 级数 收敛; 当 x = −2时, =1 1 n n 级数 发散; 故级数的收敛域为(−,−2)[0,+). (3) 当|1+ x |= 1, x = 0或x = −2
二、幂级数及其收敛性 王1定义:形如∑(x-xy的级数称为那级数 n=0 当x=0时,∑anx,其中an为幂级数系数 H-=0 2.收敛性: 例如级数∑x n=1+x+x+…’ H=0 尽当x之时收敛当x≥时,发散 收敛域(-1,1);发散域(-∞,-1J1,+) 上页 圆
二、幂级数及其收敛性 1.定义: 形如 n n an (x x ) 0 0 = − 的级数称为幂级数. 0 , , 0 0 n n x an x = 当 = 时 其中an为幂级数系数. 2.收敛性: 1 , 2 0 = + + + = x x x n 例如级数 n 当x 1时,收敛; 当x 1时,发散; 收敛域(−1,1); 发散域(−,−1][1,+);
定理1(Abe定理) 牛如果级数∑a1x在x=2x(x≠0处收敛则 n=0 它在满足不等式xx0的一切处发散 o 证明(1)∵∑nx0"收敛,: lima,o=0, n=0 上页
定理 1 (Abel 定理) 如果级数 n=0 n an x 在 ( 0) x = x0 x0 处收敛,则 它在满足不等式 x x0 的一切x 处绝对收敛; 如果级数 n=0 n an x 在x = x0处发散,则它在满足 不等式 x x0 的一切x 处发散. 证明 lim 0, 0 = → n n n (1) , a x 0 0 收敛 n= n an x
彐M,使得nx≤M(m=0,2,) n ax =a.x nO n ≤M 0 0 0 当<时,等比级数∑M收敛, 0 H=0 0 ∑anx"收敛,即级数∑a1x收敛; =0 =0 上页
( 0,1,2, ) a x0 M n = n 使得 n M, n n n n n n x x a x a x 0 0 = n n n x x a x 0 0 = n x x M 0 1 , 0 当 时 x x , 0 0 等比级数 收敛 n n x x M = , 0 收敛 = n n an x ; 0 即级数 收敛 n= n an x
(2)假设当x=x时发散, 而有一点x适合x>x0使级数收敛, 由(1)结论则级数当x=x0时应收敛, 这与所设矛盾. 几何说明 收敛区域 发散区域_R0R发散区域 上页
(2) , 假设当x = x0时发散 而有一点x1适合 x1 x0 使级数收敛, 则级数当x = x0时应收敛, 这与所设矛盾. 由(1)结论 x o • • • • • • • • • • • − R R 几何说明 收敛区域 发散区域 发散区域