第八节高阶线性微分方程 一、概念的引入 四二、线性微分方程的解的结构 巴三、降阶法与常数变易法 四四、小结思考题
生一、概念的引入 例:设有一弹簧下挂一重物,如果使物体具有一个初 始速度v≠0,物体便离开平衡位置,并在平衡位置 附近作上下振动试确定物体的振动规律x=x(t) 圭 解受力分析 工工工 1恢复力∫=-cx; 2阻力R= 王页下
一、概念的引入 例:设有一弹簧下挂一重物,如果使物体具有一个初 始速度v0 0,物体便离开平衡位置,并在平衡位置 附近作上下振动.试确定物体的振动规律x = x(t). 解 受力分析 1.恢复力 f = −cx; 2. ; dt dx 阻力 R = − x x o
∴F=Ma,∴,m d'x 女2=-cx-HA x+2nd+kx=0物体自由振动的微分方程 若受到铅直干扰力F= H sin pt, 工工工 dx+2nx+kx= hsin pt强迫振动的方程 dt dt d E LLc +2 B dt +o u =sin ot dt LC 串联电路的振荡方程
F = ma, , 2 2 dt dx cx dt d x m = − − 2 0 2 2 2 + + k x = dt dx n dt d x 物体自由振动的微分方程 若受到铅直干扰力 F = H sin pt, k x h pt dt dx n dt d x 2 sin 2 2 2 + + = 强迫振动的方程 t LC E u dt du dt d u Lc m c c c 2 sin 2 2 0 2 + + = 串联电路的振荡方程
dy+ P(x)n+o(x)y=f(x) d x 二阶线性微分方程 当f(x)=0时,二阶线性齐次微分方程 当f(x)≠0时,二阶线性非齐次微分方程 n阶线性微分方程 上y+P(x)y)+…+Pn1(x)y+P(x)y=f(x 上页
二阶线性微分方程 ( ) ( ) ( ) 2 2 Q x y f x dx dy P x dx d y + + = 当 f (x) = 0时， 二阶线性齐次微分方程 当 f (x) 0时， 二阶线性非齐次微分方程 n阶线性微分方程 ( ) ( ) ( ) ( ). 1 ( 1) 1 ( ) y P x y Pn x y Pn x y f x n n + + + − + = −
二、线性微分方程的解的结构 1.二阶齐次方程解的结构: y"+P(x)y+Q(x)y=0(1) 定理1如果函数y(x)与y2(x)是方程(的两个 解,那末y=C11+C2y2也是(1)的解.(C1,C2是常 数) 问题:y=C1y1+C2y2定是通解吗? 上页
二、线性微分方程的解的结构 1.二阶齐次方程解的结构: 定理 1 如果函数 ( ) y1 x 与 ( ) y2 x 是方程(1)的两个 解,那末 1 1 2 2 y = C y + C y 也是(1)的解.（ 1 2 C , C 是常 数） 问题: y = C1 y1 + C2 y2一定是通解吗？ y + P(x) y + Q(x) y = 0 (1)
定义:设y,y2,…,yn为定义在区间内的 个函数.如果存在个不全为零的常数,使得 王当x在该区间内有恒等式成立 k1y1+k2y2+…+knyn=0, 那么称这n个函数在区间内线性相关.否则 称线性无关 例如当x∈(+∞时,c,e,c2线性无关 l,cos2x,sin2x线性相关 上页
定义：设 n y , y , , y 1 2 为定义在区间I 内的n 个函数．如果存在n 个不全为零的常数，使得 当x在该区间内有恒等式成立 k1 y1 + k2 y2 ++ kn yn = 0， 那么称这n个函数在区间I 内线性相关．否则 称线性无关 例如 x x 2 2 1，cos , sin x x x e e e 2 , ，− 线性无关 线性相关 当 x (−, + )时
特别地:若在Ⅰ上有”(x) (-)关常数, 则函数y1(x)与y2(x)在I上线性无关 定理2:如果y;(x)与y2(x)是方程(1)的两个线 性无关的特解,那么y=C1y1+C2y2就是方程(1) 的通解. 牛例如y"+y=0,y=c0x,y2=smx 且B=mx≠常数,p=Ccx+Cmnx 上页
特别地: 若在 I 上有 常数， ( ) ( ) 2 1 y x y x 则函数 ( ) y1 x 与 ( ) y2 x 在 I 上线性无关. 定理 2：如果 ( ) 1 y x 与 ( ) 2 y x 是方程(1)的两个线 性无关的特解, 那么 1 1 2 2 y = C y + C y 就是方程(1) 的通解. 例如 y + y = 0, cos , sin , y1 = x y2 = x tan , 1 且 2 = x 常数 y y cos sin . y = C1 x + C2 x
2二阶非齐次线性方程的解的结构: 定理3设y是二阶非齐次线性方程 y+P(x)y+Q(x)y=∫(x) 的一个特解Y是与(2对应的齐次方程()的通 解,那么y=Y+y是二阶非齐次线性微分方程(2 2 的通解. 上页
2.二阶非齐次线性方程的解的结构: 定 理 3 设 * y 是二阶非齐次线性方程 y + P(x) y + Q(x) y = f (x) (2) 的一个特解, Y 是 与(2)对应的齐次方程(1)的 通 解, 那么 * y = Y + y 是二阶非齐次线性微分方程(2) 的通解
定理4设非齐次方程(2)的右端f(x)是几个函 数之和,如y”+P(x)y2+Q(x)y=f1(x)+f2(x) 而y与y2分别是方程 y+P(x)y+o()y=f(x) y"+P(x)y+e(x)y=f() 的特解,那么y1+y2就是原方程的特解 〖解的叠加原理 上页
定 理 4 设非齐次方程(2)的右端 f (x)是几个函 数之和, 如 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 y + P x y + Q x y = f x + f x 而 * 1 y 与 * 2 y 分别是方程, ( ) ( ) ( ) y + P x y + Q x y = f1 x ( ) ( ) ( ) y + P x y + Q x y = f 2 x 的特解, 那么 * 2 * 1 y + y 就是原方程的特解. 解的叠加原理
三、降阶法与常数变易法 1.齐次线性方程求线性无关特解 降阶法 设v是方程(1)的一个非零特解, 令y2=u(x)y1代入(1)式,得 y"+(2y1+P(x)y1)n+(y"+P(x)y1+Q(x)y1)u=0, 即y;u"+(2y1+P(x)y,)m'=0,令v=l, 则有yv+(2y1+P(x)y1)=0, 上页
三、降阶法与常数变易法 1.齐次线性方程求线性无关特解------降阶法 设y1是方程(1)的一个非零特解， 2 1 令 y = u(x) y 代入(1)式, 得 (2 ( ) ) ( ( ) ( ) ) 0, y1u + y1 + P x y1 u + y1 + P x y1 + Q x y1 u = 令v = u , 则有 (2 ( ) ) 0, y1 v + y1 + P x y1 v = (2 ( ) ) 0, 即 y1u + y1 + P x y1 u =