第六节含参变量的积分 巴一、含参变量的积分的连续性 巴二、含参变量的积分的微分 巴三、莱布尼茨公式 四四、小结
生一、含參变量积分的连续性 设函数∫(x,y)是在矩形R(a≤x≤b,≤b≤B) 王上的连续函数在b上任意确定的一个值于是 庄f(x,)是变量ya,月上的一个一元连续函数 牛从而积分f(x,y)存在,这个积分的值依赖于取 工工工 定的x值.当x的值改变时,一般来说这个积分的值也 跟着改变.这个积分确定一个定义在a,bl上的x的函 数,我们把它记作(x),即 9x)= (x,)p(a≤x≤b)() 上页
( ) = ( , ) ( ). () x f x y dy a x b 一、含参变量积分的连续性 是变量 在 上的一个一元连续函数, 设函数 f (x, y) 是在矩形 R(a x b, b ) f (x, y)dy [, ] 上的连续函数. 在 上任意确定 的一个值, 于是 (x), x [a,b] x f (x, y) y 从而积分 x [a,b] x 存在, 这个积分的值依赖于取 定的 值. 当 的值改变时,一般来说这个积分的值也 跟着改变. 这个积分确定一个定义在 上的 的函 数, 我们把它记作 即
这里变量x在积分过程中是一个常量,通常称它为 参变量 定理1如果函数∫(x,y在矩形 R(asxsb, asbsB) 上连续,那么由积分 g(x)=f(x,y)(a≤x≤b) 确定的函数q(x)在[,b上也连续 工工工 证设x和x+△x是[a,b上的两点,则 q(x+△x)-g(x) =(x+△,y)-∫(x,y).(1) 圆[t 上页
定理1 如果函数 f (x, y) 在矩形 R(a x b, b ) = (x) f (x, y)dy (a x b) [a,b] 上连续，那么由积分 确定的函数 (x) 在 上也连续. 证 设 x 和 x + x 是 [a,b] 上的两点，则 [ ( , ) ( , )] . (1) ( ) ( ) = + − + − f x x y f x y dy x x x 这里变量 在积分过程中是一个常量，通常称它为 参变量. x
由于∫(x,y)在闭区域R上连续,从而一致连续 因此对于任意取定的E>0,存在δ>0,使得对于R内 的任意两点(x1,y1)及(x2,V2),只要它们之间的距离 小于δ,即 (x2-x1)2+(y2-y1)2<8, 就有 ∫(x2,y2)-f(x1,y1)<E 因为点x+Ax,y)与(x,y)的距离等于△x所以当 △x<时就有 ∫(x+△x,y)-f(x,y)<E. 于是由(1)式有 上页
由于 f (x, y) 在闭区域 R 上连续，从而一致连续. 因此对于任意取定的 ,存在 ,使得对于 内 的任意两点 及 ,只要它们之间的距离 小于 ,即 0 0 R ( , ) 1 1 x y ( , ) 2 2 x y ( ) ( ) , 2 2 1 2 x2 − x1 + y − y 就有 ( , ) ( , ) . 2 2 1 1 f x y − f x y 因为点 (x + x, y) 与 (x, y) 的距离等于 x ,所以当 x 时,就有 f (x + x, y) − f (x, y) . 于是由（1）式有
(x+△)-(x) ≤f(x+△x,y)-f(xy)<a(a-B 所以9(x)在[,b上连续 定理得证 注既然函数q(x)在a,b上连续那么它在[a,6上 的积分存在这个积分可以写为 ∫g(x)d=mtf(x,y)y B Ldx f(x, y)dy 牛右端积分式函数(x)先对y后对x的二次积分 王页下
( , ) ( , ) ( ). ( ) ( ) + − − + − f x x y f x y dy x x x 所以 (x) 在 [a,b] 上连续. 定理得证 注 既然函数 在 上连续,那么它在 上 的积分存在,这个积分可以写为 (x) [a,b] [a,b] ( , ) . ( ) [ ( , ) ] = = b a b a b a dx f x y dy x dx f x y dy dx 右端积分式函数 f (x, y) 先对 y 后对 x 的二次积分
定理2如果函数∫(x,y)在矩形 R(a≤x≤b,a≤y≤B) 上连续,则 (xy)/地、(a 公式(2)也可写成 ∫df(x,y)=小∫(x,y).(2) 上页
定理2 如果函数 f (x, y) 在矩形 R(a x b, y ) 上连续,则 [ f (x, y)dy]dx [ f (x, y)dx]dy. (2) b a b a = 公式（2）也可写成 ( , ) = ( , ) . (2) b a b a dx f x y dy dy f x y dx
我们在实际中还会遇到对于参变量x的不同的值, 积分限也不同的情形,这时积分限也是参变量x的函 数这样积分 0(x)=m(xy)y() 也是参变量x的函数.下面我们考虑这种更为广泛地 工工工 依赖于参变量的积分的某些性质 上页
我们在实际中还会遇到对于参变量 的不同的值， 积分限也不同的情形，这时积分限也是参变量 的函 数.这样,积分 x x ( ) ( ) ( ) ( ) x f x, y dy (3) x x = 也是参变量 的函数.下面我们考虑这种更为广泛地 依赖于参变量的积分的某些性质. x
定理3如果函数∫(x,y在矩形 R(a≤x≤b,asy≤B) 上连续,又函数a(x)与B(x)在区间a,b止上连续 并且c≤a(x)≤B,a≤B(x)≤B(a≤x≤b) 午则由积分(3)确定的函数(x在ab上也连续 工工工 证设x和x+△x是[a,b上的两点,则 Φ(x+△x)-Φ(x) 3(x+△x) a(x+△x) f(x+△x,y)-m,∫(x,y) 上页
定理3 如果函数 f (x, y) 在矩形 R(a x b, y ) (x) (x) [a,b] [a,b] (x) , (x) (a x b), (x) 上连续，又函数 与 在区间 上连续， 并且 则由积分（3）确定的函数 在 上也连续. 证 设 x 和 x + x 是 [a,b] 上的两点，则 ( , ) ( , ) . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x x y dy f x y dy x x x x x x x x x = + − + − + +
B(x+△x) f(x+△x,y)y a(x+△x) BO )小y a(x+△x) f(x+△,y+,∫(x+△x,y B(x+△x) B(x) f(x+△x,y)dy, a(r) Φ(x+△x)-Φ(x)= f(x+△x,yy a(x+△x) °B(x+△x 十 f(x+△x,y)dy B(r) +m(x+△,y-f(x,y).() 当△x→>0时,上式右端最后一个积分的积分限不变
( ) ( , ) , ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + + + = + + + + x x x x x x x x x x x x f x x y dy f x x y dy f x x y dy f x x y dy [ ( , ) ( , )] . (4) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + − + + + − = + + + x x x x x x x x f x x y f x y dy f x x y dy x x x f x x y dy 当 x → 0 时，上式右端最后一个积分的积分限不变
根据证明定理1时同样的理由,这个积分趋于零又 (x+△x,y)d≤Ma(x+△)-a(x) B(x) B(x+△x) f(x+△x,y)dsMB(x+△x)-B(x) 王其中M是厂(x1)在矩形R上的最大值根据() 当△x→>0时,(4)式右端的前两个积分都趋于 零.于是,当△v→>0时, Φ(x+△x)-①(x)→>0(a≤x≤b), 牛所以函数(x)在b连续 定理得证 上页
根据证明定理1时同样的理由，这个积分趋于零.又 ( , ) ( ) ( ). ( , ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) f x x y dy M x x x f x x y dy M x x x x x x x x x + + − + + − + + 其中 是 在矩形 上的最大值. 根据 与 在 上连续的假定，由以上两式可见， 当 时，（4）式右端的前两个积分都趋于 零. 于是，当 时， M f (x, y) R (x) (x) [a,b] x → 0 x → 0 (x + x) − (x) → 0 (a x b), 所以函数 (x) 在 [a,b] 上连续. 定理得证
