第1页共5 数学系一年级第二学期期末考试试卷 《数学分析》B参考答案 判断题:(7×2分=14分) (1)幂级数在收敛区间内每一点绝对收敛。(√) (2)若为点集E的聚点台→的任意邻域内均含有E中异于5的点。(√) (3)f(x)在[a,b]上有界,则f(x)在[a,b]上可积 (4)若∫。f(x)收敛,则∫。f(x)d女也收敛 (×) (5)闭集必为闭域。( (6)设级数∑un收敛,则将∑un的项任意重排后所得的级数也收敛 (×) (7)∫。2(p>0)必发散 (√) 二、填空题:(4×3分=12分) xIn x x n x +c 2、当a b=时,点(1,3)为曲线y=ax3+bx2的拐点。 3、瑕积分门d在0≤P<1时收敛,在p≥1时发散 2n+1 4、幂级数x++x+…+x+…的收敛域为(-1D n+ 计算题:(5×7分=35分) 1、求椭圆x+y=1所围的面积 解:化椭圆为参数方程x= a cos t,y=bsit,t∈[0,2r] A bsin t(acost),'dt (5分) raab
第 1 页 共 5 页 数学系一年级第二学期期末考试试卷 《数学分析》B 参考答案 一 判断题： （7×2 分=14 分） （1）幂级数在收敛区间内每一点绝对收敛。（√） （2）若 为点集 E 的聚点 的任意邻域内均含有 E 中异于 的点。（√） （3 ） f (x) 在[a，b]上有界，则 f (x) 在[a，b]上可积. （×） （4）若 + a f (x)dx 收敛，则 + a f (x)dx 2 也收敛 （×） （5）闭集必为闭域。(×) （6）设级数 un 收敛，则将 un 的项任意重排后所得的级数也收敛。 （×） （7） ( 0) 0 + p x dx p 必发散。 （√） 二、填空题： （4×3 分=12 分） 1、 x ln xdx = C x x x − + 4 ln 2 1 2 2 2、当 2 3 a = − , 2 9 b = 时，点 (1,3) 为曲线 3 2 y = ax + bx 的拐点。 3、瑕积分 1 0 p x dx 在 0 p 1 时收敛，在 p 1 时发散。 4、幂级数 3 5 2 1 3 5 2 1 n x x x x n + + + + + + + 的收敛域为 ( 1,1) − 三、计算题： （5×7 分=35 分） 1、求椭圆 1 2 2 2 2 + = b y a x 所围的面积 解：化椭圆为参数方程 x = a cost, y = bsin t,t [0,2 ] (2 分) = 2 0 A bsin t(a cost) dt (5 分) = 2 0 2 ab sin tdt =ab (7 分)
第2页共5 2、im-(cos-+cos=+ cOS 解:原式=lm∑ cos (3分) (7分) tan2tdr 3、lim 解:原式=lm tan"(sn x).cosx (3分 3x2 tan"(sin x) cos x (5分) 4、要制作一个有盖的圆柱形罐头,其体积为V不变 问怎样选择其高与底面半径使得其表面积最小? 解:设其高为h,半径为r,则有 V=h s=2m4+2mh 于是S=2m2+ (2分) 故有:S(r)=4m 2 令S(r)=0得r 为S(r)的最小值点 (5分) 此时求得h 4V,且 h 2 故当r h 时其表面积最小 (7分) 5、设S(x)=∑ cos nx x∈(-,+)求(xM 解:记ln(x)
第 2 页 共 5 页 2、 ................. cos ) 2 cos 1 (cos 1 lim n n n n n n + + + → 解：原式= = → 1 cos 1 lim i n n i n (3 分) = 1 0 cos xdx = sin 1 (7 分) 3、 3 sin 0 2 0 tan lim x tdt x x → 解：原式 2 2 0 3 tan (sin ).cos lim x x x x→ = (3 分) = x x x x x x .cos sin . sin tan (sin ) lim 3 1 2 2 2 2 →0 (5 分) = 3 1 (7 分) 4、要制作一个有盖的圆柱形罐头，其体积为 V 不变， 问怎样选择其高与底面半径使得其表面积最小？ 解：设其高为 h,半径为 r,则有 = + = S r rh V r h 2 2 2 2 于是:S=2 r V r 2 2 + (2 分) 故有: 2 ' 2 ( ) 4 r V S r = r − 令 ( ) ' S r =0 得 3 2 V r = 为 S(r)的最小值点 (5 分) 此时求得 3 4 V h = ，且 1 2 = r h 。 故当 3 2 V r = ， 3 4 V h = 时其表面积最小。 (7 分) 5、设 cos ( ) , ( , ). nx S x x n n = − + 求 0 s x dx ( ) 解：记 n n nx u x n cos ( ) = ，n = 1,2,3
第3页共5 它们均在[刀上连续,且s1, 故由优级数判别法∑u1(x)在D,]上一致收敛。(4分) 从而根据函数项级数的可积性定理有 ∫sxh=∑△n=∑ SIn nx丌 (7分) √n 四、判断下列级数的敛散性: (2×4分+7分=15分) (4分) 解: 由于收敛 (2分) 故由比较判别法知 收敛 (4分) ns3 n(In 解:由积分判别法知∑一与-具有相同的敛散性(2分) 又 xhr6当P>1时收敛,当p≤1时发散 故如y当P>1时收致,当P31时发散 (4分) In(n+D) (证明条件收敛) n In(n+D) 解:(1)1im+1=+,而∑n发散,所以∑ In(n+D) n=1n+1 (3分) (2)由于( h(x+1)y_1-l(x+1) x+1(x+13时单 调递减
第 3 页 共 5 页 它们均在 [0, ] 上连续，且 3/ 2 cos 1 n n n nx ， 故由优级数判别法 ( ) n u x 在 [0, ] 上一致收敛。 (4 分) 从而根据函数项级数的可积性定理有 0 0 2 cos sin ( ) ( ) 0 0 nx nx s x dx dx n n n n = = = (7 分) 四、判断下列级数的敛散性： （2×4 分+7 分=15 分） (4 分) 1、 + + 1 5 x 1 dx 解： 2 5 1 1 1 x x + 由于 + 1 2 x dx 收敛 (2 分) 故由比较判别法知 + + 1 5 x 1 dx 收敛 (4 分) 2、 =3 (ln ) 1 n p n n 解：由积分判别法 知 =3 (ln ) 1 n p n n 与 + 3 x ln x dx p 具有相同的敛散性 (2 分) 又 + 3 x ln x dx p + = ln3 p u du 当 p 1 时收敛，当 p 1 时发散 故 =3 (ln ) 1 n p n n 当 p 1 时收敛，当 p 1 时发散 (4 分) 3、 = − + − + 1 1 1 ( 1) ln( 1) n n n n （证明条件收敛） 解：（1） = + + + + →+ 1 1 1 ln( 1) lim n n n n ， 而 =1 +1 1 n n 发散，所以 = + + 1 1 ln( 1) n n n (3 分) （2）由于 0 ( 3) ( 1) 1 ln( 1) ) 1 ln( 1) ( 2 + − + = + + x x x x x 所以 1 ln( 1) + + n n 当 n 3 时单 调递减
第4页共5 In(n+1) 且limn+1 In(x+D) lm x+1 3-Hr*/0 =lim x→+① 由牛顿一莱布尼兹公式判别法知:∑ (n+1)条件收敛 n+1 (7分) 五、把f(x)=x在(0,2)内展开成正弦级数。(8分) 解:对∫(x)作奇式周期延拓, a=0.n=0.12 b,=fr(sin" ar= xsin". COS nT= n=1,2,3 所以(x)=∑4 sIn n=I NT 4 丌x1.2丌x13丌 In SIl +-sin 当x=0,2时右边级数收敛于0 (8分) 六、证明题(6分+10分=16分) 1应用凸函数的概念证明对任意实数ab.有e2≤1 证明:设f(x)=e,由于f"(x)=e2>0, 可知f(x)=e在(-,+∞)上为严格凸函数(3分) 令=,x1=a,x2=b,由凸函数定义有f()≤(f(a)+f(b) 从而e2≤(e“+eb) (6分)
第 4 页 共 5 页 且 0 1 1 1 ln( 1) 1 ln( 1) lim lim lim = + = + + = + + →+ →+ x →+ x x n n n x x 由牛顿—莱布尼兹公式判别法知： = − + − + 1 1 1 ( 1) ln( 1) n n n n 条件收敛。 (7 分) 五、把 f x x ( ) = 在 (0,2) 内展开成正弦级数。（8 分） 解：对 f x( ) 作奇式周期延拓， an = 0,n = 0,1,2 2 0 0 2 ( )sin sin 2 l n n x n x b f x dx x dx l l = = = 4 4 1 cos ( 1) 1,2,3 n n n n n + − = − = （4 分） 所以 1 1 4 ( ) ( 1) sin 2 n n n x f x n + = = − 4 1 2 1 3 (sin sin sin ) 2 2 2 3 2 x x x = − + + 当 x = 0, 2 时右边级数收敛于 0 （8 分） 六、证明题（6 分+10 分=16 分） 1 应用凸函数的概念证明对任意实数 a,b, 有 ( ) 2 1 2 a b a b e e + e + ； 证明：设 x f (x) = e ，由于 ( ) = 0 x f x e ， 可知 x f (x) = e 在 (−,+) 上为严格凸函数 (3 分) 令 = , x1 = a, x2 = b 2 1 ， 由凸函数定义有 ( ( ) ( )) 2 1 ) 2 ( f a f b a b f + + 从而 ( ) 2 1 2 a b a b e e + e + (6 分)
2证明:f(x)=∑me在(O+∞)内收敛,但不一致收敛,而和函数在(O,+∞) 内无穷次可微。 证明:(1)、x∈(0,+∞),因为:lmn2mem=0 所以∑ne收敛。 2分 (2)、因为 n·e→+0(n→>+0 所以在(,+∞)上级数通项ne"不一致收敛于0(n→+∞) 从而∑ne"在(0,+∞)上不一致收敛。 ……5分 (3)、x∈(0.+∞),3E>0,使得x∈[E,+∞),此时有00.,使得x∈[c,+∞),此时有 0<n2esn'e",而∑ne收敛,故∑ne在E,+o)上一致 收敛,故f(x)=∑(-1)ne在[E,+∞)内可微,特别在x点可 微,由x的任意性知:f((x)=∑(-1ne在(0+∞)内可微 综上,f(x)=∑me在(0.+)内收敛,但不一致收敛,而和函数在 (0,+∞)内无穷次可微。 10分
第 5 页 共 5 页 2 证明： = − = 1 ( ) n nx f x ne 在 (0,+) 内收敛，但不一致收敛，而和函数在 (0,+) 内无穷次可微。 证明：（1）、 x (0,+) ，因为： lim 0 2 = − →+ nx n n ne 所以 = − n 1 nx ne 收敛。 …………2 分 （2）、因为 → + − − + 1 (0, ) sup | ne | n e nx x (n → +) 所以在 (0,+) 上级数通项 nx ne − 不一致收敛于 0 (n → +) 从而 = − n 1 nx ne 在 (0,+) 上不一致收敛。 …………5 分 （3）、 x (0,+)， 0, 使得 x [,+) ，此时有 nx n n e n e − − 2 2 0 ， 而 = − 1 2 n n n e 收敛，故 = − 1 2 n nx n e 在 [ ,+) 上一致收敛，因级数在 (0,+) 上收敛， nx nx ne n e − − = − 2 ( ) 连续，于是 = − = 1 ( ) n nx f x ne 在 [ ,+) 内一次可微，特别在 x 点可微，由 x 的任意性知 = − = 1 ( ) n nx f x ne 在 (0,+) 内一次可微。 ………… 7 分 同理可证， = − = − 1 ( ) ( ) ( 1) n k k k nx f x n e 在 (0,+) 内可微。 事实上， x (0,+)， 0, 使得 x [,+) ，此时有 k nx k n n e n e − − 0 ，而 = − n 1 k n n e 收敛，故 = − n 1 k nx n e 在 [ ,+) 上一致 收敛，故 = − = − 1 ( ) ( ) ( 1) n k k k nx f x n e 在 [ ,+) 内可微，特别在 x 点可 微，由 x 的任意性知： = − = − 1 ( ) ( ) ( 1) n k k k nx f x n e 在 (0,+) 内可微。 综上， = − = 1 ( ) n nx f x ne 在 (0,+) 内收敛，但不一致收敛，而和函数在 (0,+) 内无穷次可微。 …………10 分