精品课程《数学分析》课外训练方案 第十九章含参变量积分 基本概念 这一章所要讲的积分,它的被积函数除了依赖积分变量外,还依赖于其它的变量,这 变量在积分的过程中是保持不变的。例 J=L In(1-2rcosp+r)dp in Bt 这里变量r或a与B是非积分变量。显然,对于此类积分,积分出来的值要与这些变量有 关。因为它们又不是积分变量,所以人们特别称这些变量为参变量 含参变量积分分为两类:一类是含参变量的正常积分,也就是,所考虑的积分的积分区 间[a,b]是有限的,并且函数f(x,y)在[a,b都是有界可积的;另一类是含参变量的广义积 分,也就是,或者积分区间不是有限的,或者即使积分区间是有限的,但被积函数f(x,y) 在积分区间上是无界的 定理1设函数∫(x,y)是矩形区域 [a,b;c,d]={(x,y)|a≤x≤b;c≤y≤d} 的连续函数,则由含参变量积分确定的函数 p(y)=f(,y)dreCIc,d] 且 ∫:9()d=∫小(xy)=(xy
精品课程《数学分析》课外训练方案 第十九章 含参变量积分 一、基本概念 这一章所要讲的积分，它的被积函数除了依赖积分变量外，还依赖于其它的变量，这些 变量在积分的过程中是保持不变的。例 2 0 J r ln(1 2 cos r ) π = − ϕ + dϕ ∫ 0 at sin t I e d t t ∞ − β = ∫ 这里变量 r 或α 与 β 是非积分变量。显然，对于此类积分，积分出来的值要与这些变量有 关。因为它们又不是积分变量，所以人们特别称这些变量为参变量。 含参变量积分分为两类：一类是含参变量的正常积分，也就是，所考虑的积分的积分区 间 是有限的，并且函数 在 都是有界可积的；另一类是含参变量的广义积 分，也就是，或者积分区间不是有限的，或者即使积分区间是有限的，但被积函数 在积分区间上是无界的。 [a,b] f (x, y) [a,b] f (x, y) 定理 1 设函数 f (x, y) 是矩形区域 [ , abc; , d] = {(x, y) | a ≤ ≤x b;c ≤ y ≤ d} 的连续函数，则由含参变量积分确定的函数 ( ) ( , ) [ , ] b a ϕ y f = ∈ x y dx C c ∫ d 且 ( ) ( , ) ( , ) d b b d d c c a a c ϕ y dy = = dy f x y dx dx f x y dy ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1
精品课程《数学分析》课外训练方案 定理2设函数f(x,y)在矩形域{,b,c,d]有定义,且f(x,y)关于y的偏导数y在 [a,b;c,d]上连续,则o(y)在[c,d]上可微,并且 定理3设函数f(x,y)以及∫y(x,y)都在矩形域[abc,d]连续,而函数a(y)与b(y) 以及它们的导数都在[c,d]上连续,并且当c≤y≤d时,a≤a(y)≤b,a≤b(y)≤b, 则函数o()=[f(x,y)d在区间上cd]可微,并且 p(y)=L/(, y)dy=f[b(y), y]b(y)-fa(y),y]a'(y) 基本方法和基本要求 1、会用定理1和定理2计算参变量积分 2、会用定理3计算非正常参变量积分并会计算某些积分的导数。 三、典型例题 例1计算J dx,0<a<b<+∞ 解设g(x)= 知g(x)=xd。于是J(a,b)=(|x'dhy)dtx,因为 f(x,y)=x在矩形域[0,1;a,b上连续,由定理1.1,有 fordy)dx= 例2计算J=2a2dx 1-a3y2cos2x,其中l<1
精品课程《数学分析》课外训练方案 定理 2 设函数 f (x, y) 在矩形域[a,b;c, d] 有定义，且 f (x, y) 关于 y 的偏导数 y f ∂ ∂ 在 [a,b;c, d] 上连续，则ϕ( y) 在[c, d] 上可微，并且 ∫ ∂ ∂ = b a dx y f x y y ( , ) ( ) / ϕ 定理 3 设函数 以及 都在矩形域 连续，而函数 与 以及它们的导数都在 上连续，并且当 f (x, y) ( , ) / f x y y [a,b;c, d] a( y) b( y) [c, d] c ≤ y ≤ d 时， a ≤ a( y) ≤ b ， ， 则函数 在区间上 可微，并且 a ≤ b( y) ≤ b ∫ = ( ) ( ) ( , ) a y ϕ y f x y dy b( y) b( y) [c, d] ( ) ( , ) [ ( ), ] ( ) [ ( ), ] ( ) / / ( ) / y f x y dy f b y y b y f a y y a y a y = y = − ∫ ϕ 。 二、基本方法和基本要求 1、会用定理 1 和定理 2 计算参变量积分； 2、会用定理 3 计算非正常参变量积分并会计算某些积分的导数。 三、典型例题 例 1 计算 dx x x x J b a ∫ − = 1 0 ln ，0 < a < b < +∞ 。 解 设 x x x g x b a ln ( ) − = ， 知 = ∫ 。于是 b a y g(x) x dy J (a,b) = x dy dx b a y ( ) 1 ∫0 ∫ ,因为 在矩形域 上连续，由定理 1.1，有 y f (x, y) = x [0,1;a,b] J (a,b) = 1 1 ( ) ln 1 0 + + = ∫ ∫ a b x dy dx b a y 。 例 2 计算 ∫ ∫ − = 1 0 2 2 2 2 0 1 cos 2 a y x dy J a dx π ，其中 a < 1。 2
精品课程《数学分析》课外训练方案 解由于被积函数 在矩形域[0,0,1上连续,根据定理1.1,有 1-ay cosx J=2 cos x dx 注意到 从而 COS x n arcsin o 1-a y cos x 例3设函数叫(x)=Cm.e,求o() 解g(x) 1-teri+evl-cos'x(-sinx/ -e-vi-sinT COS x sInx.e cosx.e 四、自测题 1.求下列极限 ()lm、+a:()lmx2 cos ax dx;)lm「" 2.求下列积分 (1) In(a'-sin'xkdx(a>1) (2) In(1-2a cosx+axx(lak) (3) In(a'sin x+b- cos xdx(a, b*0) arctan(a tan x) dx (ak 1) tan x 6-x (a>0,b>0) In x 3.讨论下列积分在指定区间上的一致收敛性
精品课程《数学分析》课外训练方案 解 由于被积函数 a y x 2 2 2 1 cos 1 − 在矩形域 ;0,1] 2 [0, π 上连续，根据定理 1.1，有 ∫ ∫ − = 1 0 2 2 2 2 0 1 cos 2 a y x dy J a dx π ∫ ∫ − = 2 0 2 2 2 1 0 1 cos 2 π a y x dx a dy 注意到 2 2 2 0 2 2 2 1 a y cos x 2 1 a y dx − = − ∫ π π ，从而 = − = ∫ ∫ 1 0 2 2 2 2 0 1 cos 2 a y x dy J a dx π ∫ − 1 0 2 2 2 1 2 a y a π = π arcsina 。 例 3 设函数 ∫ − = x x x t x e cos sin 1 2 ϕ( ) ，求 ( ) 。 / ϕ x 解 ( ) = / ϕ x t e e x e x x x x x x x x t 1 ( sin ) cos 2 2 2 1 cos 1 sin cos sin 2 1− − − − + − − ∫ = x x x x x x x t t e x e x e 2 2 2 1 cos 1 sin cos sin 2 1 1 sin cos − − − − − ⋅ − ⋅ ∫ 。 四、自测题 1． 求下列极限 (1) 1 2 2 0 1 lima x a dx → − + ∫ ； (2) 2 2 0 0 lim cos a x ax dx → ∫ ； (3) 1 2 2 0 lim 1 a a a dx x a + → + + ∫ 2．求下列积分 (1) 2 2 2 0 ln(a sin x)dx (a 1) π − > ∫ ； (2) ； 2 0 ln(1 2a x cos a )dx (|a | 1) π − + ∫ > ∫ 。 3．讨论下列积分在指定区间上的一致收敛性： 3
精品课程《数学分析》课外训练方案 So vae a dx(o 0),(i)x∈[0,b]: -gr-ardx,() aO) 6.利用欧拉积分计算下列积分 2)√x-xdx:(3)√x(1-√x) (4"xa2-x)dk(a>0):()J3 sin xcos* xdx (6) COS x B(a, b) r(a=s dx (s>0)
精品课程《数学分析》课外训练方案 (1) 2 0 (0 ) x e dx α α α +∞ − 0) ，（ii） x ∈[0,b]； (3) ，（i） 2 ( ) x e d α +∞ − − ∫−∞ x a 0) +∞ − + + ∫ (a > 0) ∫ ； (4) ； (5) 2 ( ) 0 ax bx c e dx 2 2 2 ( ) a x x e dx +∞ − + ∫−∞ (a > 0) 。 6．利用欧拉积分计算下列积分： (1) 1 0 1 4 1 dx − x ∫ ； (2) 1 2 0 x − x dx ∫ ； (3) 1 3 0 x (1− x d) x ∫ ; (4) 2 2 2 0 ) a x a x − dx (a > 0) ∫ ； (5) 6 4 2 0 sin x cos xdx π ∫ ； (6) 0 3 cos dx x π − ∫ 。 7．证明： 1 1 1 0 ( , ) (1 ) b a b x x B a b dx x α − − + + = + ∫ ； 1 0 ( ) sx s x e d α α α +∞ − − Γ = ∫ x (s > 0) 。 4