第十七章多元函数微分学 第十七章多元函数微分学 §1可微性 1.求下列函数的偏导数: (1)z=x2y;(2)z=yosx;(3)z= (4)z= In(x2+y);(5)z=e; (6)z= arctan i (7)z=xyk(x);(8)u=y+- (9)u=(xy)2;(10)u=xy Ao (1)z2=2xy, zy=x(2),=-ysinz, zy =cosx (3)zx2= (x2+y2)3 (4)z2 (5) r+y (6) 1 (7) in(ry)+rt ein(ry)oos(ry)=[1+ mycos(xy)lye [1 t lycos(ry)]xe sin(ay) 1 x(ry)-,ux=(ry)ln (xy) (10)ur=yx,uy=xy x Inc,u2=yry.r Iny 设f(x,y) 求f2(x,1)
81可微性 解因为f(x,1)=x所以(x,1)=只(x,1)=1 x2+y2≠0 f(x, y) +y2=0 考察函数f在原点(0,0)的偏导数 解由于 m0+△x0)-f(0,0)=m△z=0 0-0 f(0,0+△y)-f(0,0) 所以∫(x,y)在原点关于x的偏导数为0,关于y的偏导数不存在 4.证明函数z=√x2+y2在点(0,0)连续但偏导数不存在 (x,y)+(0,0) /x2+y2=0=z(0,0) 所以函数z=√x2+y2在点(0,0)连续 由于当△x→0时 △x,0)-z(0,0)y(∠ △ 极限不存在,因而z(x,y)在点(0,0)关于x的偏导数不存在 同理可证它关于y的偏导数也下存在 5.考察函数 fc 在点(0,0)处的可微性 解由偏导数定义知 f,0)=mf(+△x,0)-f(0,0)=m△xs0
第十七章多元函数微分学 同理可得fy(0,0)=0 由于 △f-f2(0,0)△x-f2(0,0)△y (△x)2+(△y)2 x)2+(△y)2 (△x)2+(△y) 十 √(△x)2+(△y)2→0((△x)2+(△y)2→0) 所以∫在点(0,0)处可微 6.证明函数 Kx,y)-1=+y,x2+y≠0 在点(0,0)连续且偏导数存在,但在此点不可微 证因为 ,从而 =0=f (0,0) 所以,f(x,y)在点(0,0)连续 由偏导数定义知 f(0,0) f(0+△x,0)-f(0,0) lim 0-0 =0 同理f(0,0)=0 所以,f(x,y)在点(0,0)的偏导数存在 但602=02=(计(△ 考察(△z)2·△ x)2+(△212,由于当△x=△y时其值为,当 △y=0时其值为0 430
§1可微性 所以(4)+(△少不存在,故f(x,y)在点(0)0不 (△x)2·△ 7.证明函数 1 x2+y2≠0 0 在点(0,0)连续且偏导数存在,但偏导数在点(0,0)不连续,而∫ 在原点(0,0)可微 证 0=f(0,0) 因此∫在点(0,0)连续 ≠0时 f(x, y)=2xsin 0时 ∫2(0,0)=lmf(0+△x,0)-f(,0) lim△ 0 但由于lim2xsin 而 不存在(可考察y=x情况) 此当(x,y)→(0,0)时,2(x,y)的极限不存在从而f(x,y) 在点(0,0)不连续同理可证f(x,y)在点(0,0)不连续然而 △f-fx(0,0)△x-f(0,0)△ (△x)2+(△y)2 △x)2+(△y)2 所以∫在点(0,0)可微且df1(0.0=0
第十七章多元函数微分学 8.求下列函数在给定点的全微分; y4-4x2y2在点(0,0),(1,1) (2)z=2-在点(1,0),(0,1) 解(1)因 在(0,0)连续 从而z在(0,0)可微由z2(0,0)=0,zy(0,0)=0得dz10.0=0.同 理z在(1,1)由z2(1,1) 4,z,(1,1)=-4得dxl(1,y =-4(dx+dy) (2)因zx x2+3yz在(,0)0,1)处可 微且由x(1,0)=0,z(1,0)=0得dzl(n,0=0 由z2(0,1)=1,z2(0,1)=0得dzl(o,)=dr 9.求下列函数的全微分; yin(t +y ft(1)dx= yoos(x+ y)dx+[sin(x+y)+ yoos(x+ y)]d3 (2)du =e"dr+(zze"t+1)dy+(ryet-e)dz 10.求曲面z= arctan y在点(1,1,)处的切平面方程和法线方 程. 解由于z在(1,1)处可微,从而切平面存在因为 (1,1) (1,1) 1 所以切平面方程为 即 法线方程为x 1=y1-x 432
81可微性 即2(1-x)=2(y-1) 11.求曲面3x2+y2-z2=27在点(3,1,1)处的切平面方程与法 线方程 所以切平面方程为9(x-3)+(y-1)-(x-1)=0即 法线方程为=3=y1=x=1 即x-3=9(y-1)=9(1-z) 12.在曲面z=xy,上求一点,使这点的切平面平行于平面x+3 z+9=0,并写出这切平面方程和法线方程 解设所求点为P(x0,y,x0y0),点P处切平面法向量为 (x(x0,y0),zy(x0,y),-1)=(y0,x0,-1).要求切平面与平面 x+3y+x+9=0平行,故1=3=-1,从而x0=-3,yo=-1 得P点为(-3,-1,3)且点P处的切平面方程为-(x+3)-3( 1)-(z-3)=0即x+3y+z+3=0.法线方程为 x+3y+1_z-3 即3(x+3)=y+1=3(z-3) 13.计算近似值 (1)1.002×2.0032×3.0043;(2)sin29×tan46 解(1)设u=xy2z3,x0=1,y0=2,z0=3,△x=0.002 △y=0.003,△x=0.004根据a(xo+△ u(zo, yo, 20)T △y+ x(x0,y0,z0)△z.u(1,2,3)=108,ux(1,2,3)=108,y(1,2,3)= 108,2(1,2,3)=108.知 1.002×2.0032×3.004 433
第十七章多元函效微分学 ≈108+108×0.002+108×0.003+108×0.004=108.972 (2)设v=sinx tany,0 6,Vo=t, DIRn 则 而 ≈05023 14.设圆台上下底的半径分别为R=30cm,r=20cm高 cm.若R,r,h分别增加3mm,4mm,2mm.求此圆台体积变化的近 似值 解圆台体积V=(R2+R+r2)从而 △R+V·△r+Vh:△h 将R=30,r=20,h=40,及△R=0.3,△r=0.4,△h=0.2 代人上式得 v≈332×03+23×04+x×02=80m≈27(m 15.证明:若二元函数∫在点P(xo,y)的某邻域U(P)内的偏导 函数fx与f有界,则f在U(P)内连续 证由fz,在U(P)内有界设此邻域为U(P,61),存在M> 0,使|fx<M,1f1<M在U(P,81)内成立,由于 △z|=1f(x+△x,y+△y)-f(x,y) =1f(x+01△x,y+△y)△x+f(x,y+02△y)△yl ≤M|△xl+M|△yl 所以对任意的正数e,存在δ=min8v2M+1)},当△x1<8, 1△y|<δ时,有|f(x+△x,y+△y)-f(x,y)1<e,故∫在U(P,) 内连续 16.设二元函数f在区域D=[a,b]×[c,d]上连续
81可微性 (1)若在inD内有f2=0,试问f在D上有何特性 (2)若在iD内有f=f≡0,f又怎样? (3)在(1)的讨论中,关于∫在D上的连续性假设可否省略?长方 形区域可否改为任意区域? 解(1)二元函数∫在D=[a,b]×[c,d]上连续,若在intD内 有fx≡0,则f( 这是因为对intD内任意两点(x1,y),(x2,y)由中值定理知 f(x2,y)-f(x1,y)=f2(x1+0(x2-x1),y)(x2-x1)=0 即f(x2,y)=f(x1,y),由(x1,y),(x2,y)的任意性知f(x,y)= p(y) (2)若在切iD内有f=f=0,则f(x,y)=常数 事实上,对训D内任意两点(x1,y1),(x2,y2)由中值定理(课本 P1页)知存在 6=x1+a(x2-x1),n=y1+B2(y-y1)00,)>0 0,D中其它部分 在intD内fx≡0,可是不连续,f(1,1)=1,f(-1,1)=0,显然f 与x有关,结论不成立 在(1)的讨论中,长方形区域不能改为任意区域,否则结论不一定 成立例如:设 Ⅰ={(x,y)1x=0,y≥0},D=R2-1,二元函数
第十七章多元函数微分学 y, x>0 y 0,D中其它点 在D上连续,且f2≡0,但f(1,1)=1,f(-1,1)≡0即f与x有 关,结论不成立 17.试证在原点(0,0)的充分小邻域内有 证设f(a,0)= arctan+t,a0=0,=0,△a=x,△U=y 则 arctan≈f(uo,vo)+fn(u0,v)△u+f(uo,vo)△v f(u0,vo)=0,f(40,vo)=1f(uo,vo)=1 故 arctan≈1·x+1·y=x+y 8.求曲面x=2+2与平面y=4的交线在x=2处的切线 与OX轴的交角 解设该角为a,则根据导数的几何意义切线对OX轴的斜率为 x2(2,4)=51=2=1,tan=1,a=4,所以切线与OX轴交角 19.试证 (1)乘积的相对误差限近似于各因子相对误差限之和; (2)商的相对误差限近似于分子和分母相对误差限之和 证(1)设u=xy,则da=ydx+xdy,故 △ d dr (2)设v=则dv t- rdy du dr dy △ dU dxdy
§2复合函数微分法 20.测得一物体的体积V=4.45cm3,其绝对误差限为001cm3 又测得重量W=30.80g,其绝对误差限为0.01g,求由公式d=V算 出的比重d的相对误差限和绝对误差限 解△d|≈dw·△W+dy:△V △V 1△dAW+/W△V=445×001+×01≈0.017 △W △V ≈0.26% 所以d的相对误差限为0.26%,绝对误差限为0.017 §2复合函数微分法 求下列复合函数的偏导数或导数 (1)设z= arctan(xy),y=,求4; (2)设z= dz az e y (3)设x=x2+xy+y2,x=2,y=t,求华; (4)设z=x2lny,x=,y=3a-2v,求2,2; (5)设x=f(x+y,xy),求,; (6)设u auau du 解(1)令u=xy,则z= arctan,y=ex=x dz- dz au dz au dyy du dy dr 1+rly +x22=g2(1+x) (2)2=y(x2y)+x2+2.(2n2 2y(1+2+y2 437