习题11.3连续函数的性质 设D0,36>0,x(x-akδ),成立 又由于lmx=a,对于上述δ>0,存在K,当k>k时成立 于是当k>K时成立 l∫(x)-f(a)kE 所以 lim f(x =f(a) 2 设∫是R”上的连续函数,c为实数。设 A={x∈R"|f(x)0,则彐6>0, x(x-x0k6),成立 I f(x)-f(rokE=c-f(xo) 即有f(x)c}={x∈R"|-f(x)<-c} 为R"上的开集,所以B为R"上的闭集。 3.设二元函数 (x,y) ,(x,y)∈D=[0,1)×[O,1), 证明:∫在D上连续,但不一致连续。 证由于f在D上是初等函数,所以连续。但因为当n→+∞时, 而
习 题 11.3 连续函数的性质 1． 设D⊂ n R ， 为连续映射。如果D中的点列{x m f : D → R k}满足 x = a，且 D，证明 →∞ k k lim a∈ lim f (x ) = f (a) →∞ k k 。 证 由f 在a连续，∀ > ε 0,∃δ δ > 0,∀x x (| − a | 0，存在K ，当k > K 时成立 | | k x a − K 时成立 | ( ) ( ) | k f x − f a 0，则∃ > δ 0， 0 ∀ − x x (| x | c f = x ∈ R − x < −c 为 n R 上的开集，所以Bc为 n R 上的闭集。 3． 设二元函数 xy f x y − = 1 1 ( , ) ， (x, y) ∈ D = [0,1) ×[0,1)， 证明： f 在D上连续，但不一致连续。 证 由于 f 在D上是初等函数，所以连续。但因为当n → +∞时， 1 1 (1 ,1 ) 2 2 n n − − − 1 1 (1 ,1 ) 0 n n − − → ， 而 1 1 (1 ,1 ) 2 2 f n n − − − 1 1 f (1 ,1 ) n n − − 91
n2(4n-3)n2 →)+0 4n-12n (4n-1)(2n-1) 所以∫在D上不一致连续 设A为R"上的非空子集,定义R”上的函数f为 ∫(x)=inf{x-y‖y∈A 它称为x到A的距离。证明 (1)当且仅当x∈孑时,f(x)=0; (2)对于任意x,x"∈R”,不等式 f(x)-f(x"≤|x-x"l 成立,从而∫在R"上一致连续 (3)若A是紧集,则对于任意c>0,点集{x∈R"|f(x)≤c}是紧 集 证(1)假定x∈A,则存在A中的点列{xk},满足imx4=x,即 imn|x4-x|=0,所以f(x)=0。反之,由f(x)=0可知存在A中的点列{xk}, 满足imx4-x|=0,即lmx=x,所以x∈A。 (2)不妨假设f(x)≥f(x")。首先对于任意的k,存在x∈A,满足 f(x")丬x"-x 再利用 f(r)sx'-xxI, 两式相减,得到 0<f(x)-f(x")4x-x|-(x-x|-)x-x"|+ k 令k→∞,即得到 f(x)-f(x≤x:-x"l 由上式即可知f在R”上一致连续。 (3)由(2)知∫在R"上连续,再由习题2知点集B={x∈R"|f(x)≤ e}是闭集。由于A是紧集,所以A有界,即彐M,wx∈A,成立|xM。 vy∈B,取x∈A,使得 f(y)丬y-x 于是 ly图y-x|+|x∫(y)+1+M≤c+1+M 即B也有界。所以B为有界闭集,也就是紧集。 5.设二元函数∫在R2上连续。证明: (1)若limf(x,y)=+∞,则∫在R2上的最小值必定存在;
2 2 2 4 (4 3) 4 1 2 1 (4 1)(2 1) n n n n n n n n − =−= → + − − − − ∞， 所以 f 在D上不一致连续。 4． 设 A 为 n R 上的非空子集，定义 n R 上的函数 f 为 f (x) = inf {| x − y || y ∈ A}。 它称为 x 到 A 的距离。证明： (1)当且仅当 x ∈ A 时， f (x) = 0 ； (2)对于任意 x′, x′′∈ n R ，不等式 f (x′) − f (x′′) ≤| x′ − x′′ | 成立，从而 f 在 n R 上一致连续； （3）若 A 是紧集，则对于任意 ，点集 ≤ 是紧 集。 c > 0 {x | f (x) n ∈ R c} 证 （1）假定 x ∈ A ，则存在A中的点列{xk}，满足 ，即 ，所以 。反之，由 lim k k→∞ x = x lim 0 k k→∞ | x − x |= f (x) = 0 f (x) = 0 可知存在A中的点列{xk}， 满足lim k 0，即 k→∞ | x − x |= lim k k→∞ x = x，所以 x ∈ A 。 （2）不妨假设 f ( ) x′ ≥ f (x′′)。首先对于任意的 k，存在xk ∈ A ，满足 1 ( ) | k f k x x ′′ > −′′ x | − ， 再利用 ( ) | k f x' ≤ x' − x |， 两式相减，得到 1 1 0 ( ) ( ) | (| ) | k k f f k k − | x | −1。 于是 | | y |≤ −y x | + | x |< f M ( y) +1+ ≤ c +1+ M ， 即 B 也有界。所以 B 为有界闭集，也就是紧集。 5． 设二元函数 f 在 2 R 上连续。证明： （1）若 = +∞，则 在 + →+∞ lim ( , ) 2 2 f x y x y f 2 R 上的最小值必定存在； 92
(2)若,limf(x,y)=0,则∫在R2上的最大值与最小值至少存在 证(1)任取一点(xn,y0),由,limf(x,y)=+,可知存在R>0,当 2+y2>R2,成立f(x,y)>f(x,y0)。f(x,y)在紧集{(xy)x2+y2≤R2}上 必定取到最小值,且此最小值就是它在R2上的最小值 (2)如果∫(x,y)=0,则命题显然成立。不然的话,任取(xny),使 得函数值在此点非零。 若f(x0,y0)>0,由,limf(x,y)=0,可知存在R>0,当x2+y2>R2, →+∞ 成立∫(x,y)0,当x2+y2>R 成立f(x,y)>f(x0,y0),则f(x,y)在紧集{(x,y)x2+y2≤R2}上必定取到 最小值,且此最小值就是它在R2上的最小值。 6.设∫是R"上的连续函数,满足 (1)当x≠0时成立f(x)>0; (2)对于任意x与c>0,成立f(cx)=cf(x)。 证明:存在a>0,b>0,使得 x|≤f(x)≤b|x 证单位球面是R"上的紧集,设∫在单位球面上的最小值和最大值分 别为a和b,则有 0<a≤f(x)≤b 于是vx≠0,由于x=1,所以 f(x)=/sbr), 同理∫(x)≥a|xl。由于当x=0时不等式显然成立,所以vx∈R",成立 7.设∫:R"→R"为连续映射。证明对于R"中的任意子集A,成立 ∫(4)c∫(4)。 举例说明f(A)能够是f(A)的真子集。 证x∈A,存在A中的点列{xk},满足lmx4=x,由于映射∫在x连 续 lim f(xk=f(limx k)=f( 所以∫(x)∈f(A),即f(A)cf(A)
（2）若 2 lim2 ( , ) = 0，则 在 + →+∞ f x y x y f 2 R 上的最大值与最小值至少存在 一个。 证 （1）任取一点(x0 , y0 )，由 = +∞ + →+∞ lim ( , ) 2 2 f x y x y ，可知存在 ，当 ，成立 。 在紧集 R > 0 2 2 2 x + y > R ( , ) ( , ) 0 0 f x y > f x y f (x, y) {( , ) } 2 2 2 x y x + y ≤ R 上 必定取到最小值，且此最小值就是它在 2 R 上的最小值。 （2）如果 ，则命题显然成立。不然的话，任取 ，使 得函数值在此点非零。 f x( , y) ≡ 0 ( , ) 0 0 x y 若 f (x0 , y0 ) > 0，由 lim ( , ) 0 2 2 = + →+∞ f x y x y ，可知存在 ，当 ， 成立 ，则 在紧集 R > 0 2 2 2 x + y > R ( , ) ( , ) 0 0 f x y 0 2 2 2 x + y > R ( , ) ( , ) 0 0 f x y > f x y f (x, y) {( , ) } 2 2 2 x y x + y ≤ R 上必定取到 最小值，且此最小值就是它在 2 R 上的最小值。 6．设 f 是 n R 上的连续函数，满足 (1)当 x ≠ 0时成立 f (x) > 0 ； (2)对于任意 x与c > 0，成立 f (cx) = cf (x)。 证明：存在a > 0, b > 0，使得 a | x |≤ f (x)≤b | x |。 证 单位球面是 n R 上的紧集，设 在单位球面上的最小值和最大值分 别为 和 ，则有 f a b 0 ( < ≤ a f x) ≤ b < +∞ ， ∀ | | x = 1。 于是∀ ≠ x 0，由于 =1 x x ，所以 f ( ) f b ⎛ ⎞ = ≤ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ x x x x x , 同理 f ( ) x ≥ a x 。由于当 x = 0时不等式显然成立，所以∀x ∈ n R ，成立 a | x |≤ f (x)≤b | x |。 7．设 f : Rn → Rm为连续映射。证明对于 n R 中的任意子集 A，成立 f (A) ⊂ f (A)。 举例说明 f (A)能够是 f (A)的真子集。 证 ∀ ∈x A ，存在A中的点列{xk}，满足lim k k→∞ x = x，由于映射 在 连 续， f x lim ( ) (lim ) ( ) k k k k →∞ →∞ f x f = x = f x ， 所以 f ( ) x f ∈ (A) ，即 f (A) ⊂ f (A)。 93
取n=2,f(x,y)=e在R2上连续。令A=R2,则A=A,但 f(A)={x|x>0},f(A)={x|x≥0}, f(A)是∫(A)的真子集。 8.设∫是有界开区域DcR2上的一致连续函数。证明 (1)可以将∫连续延拓到D的边界上,即存在定义在D上的连续 函数,使得 (2)f在D上有界。 证(1)由于∫在DcR2上的一致连续,E>0,3δ>0,Vx,x"∈D (xx"k8: lf(x)-f(x")kE。 设s∈aD,任取点列{xn}(xn∈D,xn→>5),由于{x}为 Cauchy点 列,对于上述δ>0,3K,当m,n>K时,成立|xn-xkδ,于是 I f(xm)-f(x,)kE 所以{f(x是基本数列,故一定收敛。记该极限为g(<) 在|f(xn)-f(x)kE中令m→∞,得到 If(x)-gsksE 对于wx∈Dx-fk812,存在点列{xn}中某项x,满足 x4-5k/2,f(xk)-8(5)E。 于是 x-x图x-5|+|x-5k6, f(x)-g(5)图∫(x)-f(x)+|f(x)-g(5)<26 所以 lim f(x)=g(s), 由此可知{(x,)的极限g(5)只与seD有关,而与点列{xn}的选取无
取 n=2， 在 上连续。令 A= ，则 2 2 ( , ) x y f x y e− − = 2 R 2 R A = A，但 f( ) A = {x x| > 0}，f( ) A = {x x| ≥ 0}， f (A)是 f (A)的真子集。 8．设 f 是有界开区域 2 D ⊂ R 上的一致连续函数。证明： （1）可以将 f 连续延拓到D的边界上，即存在定义在D上的连续 函数 f ，使得 ~ f = f D ~ ； （2） f 在D上有界。 证 （1）由于 f 在 2 D ⊂ R 上的一致连续，∀ε > ∃ 0, δ > 0，∀ ∈ x x', " D (| x x '− " | 0，∃K ，当m n, > K 时，成立| | m n x x − < δ ，于是 | ( ) ( ) | m n f f x − x < ε ， 所以{ f (xn )}是基本数列，故一定收敛。记该极限为 g(ς )。 在| ( ) ( ) | m n f f x − x < ε 中令m → ∞，得到 | ( ) ( ) | n f g x − ς ≤ ε 。 对于∀ ∈x x D, | −ζ |< δ / 2，存在点列{xn}中某项 xk ，满足 | | / 2, | ( ) ( ) | k k x − < ζ δ f g x − ζ ≤ ε 。 于是 | | | | k k | x − ≤ x | x −ζ + x −ζ < δ ， | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | k k f g x x − ζ ≤ − f f x + f x − g ζ < 2ε ， 所以 lim ( ) ( ) x x D f g →ζ ∈ x = ζ ， 由此可知{ f (xn )}的极限 g(ζ ) 只与ς ∈∂D有关，而与点列{xn}的选取无 94
关。令 f(x), f∫( g(x),x∈D。 显然,在D上连续。现只要证明f在∂D上连续。设s∈∞D,由 lim f(x)=g(s)=f(s) 可知vE>0.,36>0,x∈D(x-skd): f(x)-f(5)k 对于vs∈D(l5-5kδ),在上式中令x→5',由 lim f(x)=f(s) 可知 (5)-f(s)≤<E, 于是得到 lim f(x=f(s) 这就证明了∫在D上连续。换言之,f是定义在D上的连续函数,满 足f (2)由于D为有界闭集,即紧集,f在D连续保证了f在D有界 从而∫在D上有界
关。令 ( ), , ( ) ( ), f f g ⎧ ∈ = ⎨ ⎩ ∈∂ D D 。 x x x x x 显然， f 在 上连续。现只要证明 在 ~ D f ~ ∂D上连续。设ς ∈∂D，由 i lim ( ) ( ) ( ) x x D f g f →ζ ∈ x = = ς ς ， 可知∀ > ε 0,∃δ > 0，∀ ∈x D ( | x −ς |< δ ) ： i | ( ) ( ) | 2 f f ε x − ς < 。 对于∀ ∈ ς' ∂D ( | ς '− < ς | δ )，在上式中令 x → ς '，由 i ' lim ( ) ( ') x x D f f →ζ ∈ x = ς ， 可知 i i ( ') ( ) 2 f f ε ς ς − ≤ < ε ， 于是得到 i i lim ( ) ( ) x x D f f →ζ ∈ x = ς ， 这就证明了 f 在~ D上连续。换言之， f 是定义在 ~ D上的连续函数，满 足 f = f D ~ 。 （2）由于 D为有界闭集，即紧集， f ~在 D连续保证了 f ~在 D有界， 从而 f 在D上有界。 95